Álgebra Ejemplos

$y = x^{4} - 12 x^{3} + 52 x^{2} - 96 x + 64$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Diferencia.

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Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{4} - 12 x^{3} + 52 x^{2} - 96 x + 64$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [52 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 96 x] + \frac{d}{d x} [64]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [52 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 96 x] + \frac{d}{d x} [64]$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [52 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 96 x] + \frac{d}{d x} [64]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$ .

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Paso 1.2.1

Como $- 12$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 12 x^{3}$ con respecto a $x$ es $- 12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{3} - 12 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [52 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 96 x] + \frac{d}{d x} [64]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$4 x^{3} - 12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [52 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 96 x] + \frac{d}{d x} [64]$

Paso 1.2.3

Multiplica $3$ por $- 12$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + \frac{d}{d x} [52 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 96 x] + \frac{d}{d x} [64]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [52 x^{2}]$ .

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Paso 1.3.1

Como $52$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $52 x^{2}$ con respecto a $x$ es $52 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 52 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 96 x] + \frac{d}{d x} [64]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 52 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 96 x] + \frac{d}{d x} [64]$

Paso 1.3.3

Multiplica $2$ por $52$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 104 x + \frac{d}{d x} [- 96 x] + \frac{d}{d x} [64]$

Paso 1.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 96 x]$ .

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Paso 1.4.1

Como $- 96$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 96 x$ con respecto a $x$ es $- 96 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 104 x - 96 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [64]$

Paso 1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 104 x - 96 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [64]$

Paso 1.4.3

Multiplica $- 96$ por $1$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 104 x - 96 + \frac{d}{d x} [64]$

Paso 1.5

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.5.1

Como $64$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $64$ con respecto a $x$ es $0$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 104 x - 96 + 0$

Paso 1.5.2

Suma $4 x^{3} - 36 x^{2} + 104 x - 96$ y $0$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 104 x - 96$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x^{3} - 36 x^{2} + 104 x - 96$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [104 x] + \frac{d}{d x} [- 96]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 36 x^{2}) + \frac{d}{d x} (104 x) + \frac{d}{d x} (- 96)$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x^{3}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 36 x^{2}) + \frac{d}{d x} (104 x) + \frac{d}{d x} (- 96)$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 36 x^{2}) + \frac{d}{d x} (104 x) + \frac{d}{d x} (- 96)$

Paso 2.2.3

Multiplica $3$ por $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 36 x^{2}) + \frac{d}{d x} (104 x) + \frac{d}{d x} (- 96)$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$ .

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Paso 2.3.1

Como $- 36$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 36 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 36 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 36 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (104 x) + \frac{d}{d x} (- 96)$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 36 (2 x) + \frac{d}{d x} (104 x) + \frac{d}{d x} (- 96)$

Paso 2.3.3

Multiplica $2$ por $- 36$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 72 x + \frac{d}{d x} (104 x) + \frac{d}{d x} (- 96)$

Paso 2.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [104 x]$ .

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Paso 2.4.1

Como $104$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $104 x$ con respecto a $x$ es $104 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 72 x + 104 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 96)$

Paso 2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 72 x + 104 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 96)$

Paso 2.4.3

Multiplica $104$ por $1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 72 x + 104 + \frac{d}{d x} (- 96)$

Paso 2.5

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.5.1

Como $- 96$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 96$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 72 x + 104 + 0$

Paso 2.5.2

Suma $12 x^{2} - 72 x + 104$ y $0$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 72 x + 104$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 104 x - 96 = 0$

Paso 4

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1.1

Diferencia.

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Paso 4.1.1.1

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [52 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 96 x] + \frac{d}{d x} [64]$

Paso 4.1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [52 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 96 x] + \frac{d}{d x} [64]$

Paso 4.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$ .

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Paso 4.1.2.1

Como $- 12$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 12 x^{3}$ con respecto a $x$ es $- 12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{3} - 12 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [52 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 96 x] + \frac{d}{d x} [64]$

Paso 4.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$4 x^{3} - 12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [52 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 96 x] + \frac{d}{d x} [64]$

Paso 4.1.2.3

Multiplica $3$ por $- 12$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + \frac{d}{d x} [52 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 96 x] + \frac{d}{d x} [64]$

Paso 4.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [52 x^{2}]$ .

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Paso 4.1.3.1

Como $52$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $52 x^{2}$ con respecto a $x$ es $52 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 52 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 96 x] + \frac{d}{d x} [64]$

Paso 4.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 52 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 96 x] + \frac{d}{d x} [64]$

Paso 4.1.3.3

Multiplica $2$ por $52$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 104 x + \frac{d}{d x} [- 96 x] + \frac{d}{d x} [64]$

Paso 4.1.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 96 x]$ .

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Paso 4.1.4.1

Como $- 96$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 96 x$ con respecto a $x$ es $- 96 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 104 x - 96 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [64]$

Paso 4.1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 104 x - 96 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [64]$

Paso 4.1.4.3

Multiplica $- 96$ por $1$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 104 x - 96 + \frac{d}{d x} [64]$

Paso 4.1.5

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 4.1.5.1

Como $64$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $64$ con respecto a $x$ es $0$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 104 x - 96 + 0$

Paso 4.1.5.2

Suma $4 x^{3} - 36 x^{2} + 104 x - 96$ y $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 36 x^{2} + 104 x - 96$

Paso 4.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $4 x^{3} - 36 x^{2} + 104 x - 96$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 104 x - 96$

Paso 5

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $4 x^{3} - 36 x^{2} + 104 x - 96 = 0$ .

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Paso 5.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 104 x - 96 = 0$

Paso 5.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 5.2.1

Factoriza $4$ de $4 x^{3} - 36 x^{2} + 104 x - 96$ .

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Paso 5.2.1.1

Factoriza $4$ de $4 x^{3}$ .

$4 (x^{3}) - 36 x^{2} + 104 x - 96 = 0$

Paso 5.2.1.2

Factoriza $4$ de $- 36 x^{2}$ .

$4 (x^{3}) + 4 (- 9 x^{2}) + 104 x - 96 = 0$

Paso 5.2.1.3

Factoriza $4$ de $104 x$ .

$4 (x^{3}) + 4 (- 9 x^{2}) + 4 (26 x) - 96 = 0$

Paso 5.2.1.4

Factoriza $4$ de $- 96$ .

$4 x^{3} + 4 (- 9 x^{2}) + 4 (26 x) + 4 \cdot - 24 = 0$

Paso 5.2.1.5

Factoriza $4$ de $4 x^{3} + 4 (- 9 x^{2})$ .

$4 (x^{3} - 9 x^{2}) + 4 (26 x) + 4 \cdot - 24 = 0$

Paso 5.2.1.6

Factoriza $4$ de $4 (x^{3} - 9 x^{2}) + 4 (26 x)$ .

$4 (x^{3} - 9 x^{2} + 26 x) + 4 \cdot - 24 = 0$

Paso 5.2.1.7

Factoriza $4$ de $4 (x^{3} - 9 x^{2} + 26 x) + 4 \cdot - 24$ .

$4 (x^{3} - 9 x^{2} + 26 x - 24) = 0$

Paso 5.2.2

Factoriza $x^{3} - 9 x^{2} + 26 x - 24$ mediante la prueba de raíces racionales.

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Paso 5.2.2.1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 24, \pm 2, \pm 12, \pm 3, \pm 8, \pm 4, \pm 6$

$q = \pm 1$

Paso 5.2.2.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 24, \pm 2, \pm 12, \pm 3, \pm 8, \pm 4, \pm 6$

Paso 5.2.2.3

Sustituye $2$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $2$ es una raíz del polinomio.

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Paso 5.2.2.3.1

Sustituye $2$ en el polinomio.

$2^{3} - 9 \cdot 2^{2} + 26 \cdot 2 - 24$

Paso 5.2.2.3.2

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$8 - 9 \cdot 2^{2} + 26 \cdot 2 - 24$

Paso 5.2.2.3.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$8 - 9 \cdot 4 + 26 \cdot 2 - 24$

Paso 5.2.2.3.4

Multiplica $- 9$ por $4$ .

$8 - 36 + 26 \cdot 2 - 24$

Paso 5.2.2.3.5

Resta $36$ de $8$ .

$- 28 + 26 \cdot 2 - 24$

Paso 5.2.2.3.6

Multiplica $26$ por $2$ .

$- 28 + 52 - 24$

Paso 5.2.2.3.7

Suma $- 28$ y $52$ .

$24 - 24$

Paso 5.2.2.3.8

Resta $24$ de $24$ .

$0$

Paso 5.2.2.4

Como $2$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x - 2$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{x^{3} - 9 x^{2} + 26 x - 24}{x - 2}$

Paso 5.2.2.5

Divide $x^{3} - 9 x^{2} + 26 x - 24$ por $x - 2$ .

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Paso 5.2.2.5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x$

$2$

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$26 x$

$24$

Paso 5.2.2.5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$26 x$	-	$24$

Paso 5.2.2.5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$26 x$	-	$24$
			+	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Paso 5.2.2.5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x^{3} - 2 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$26 x$	-	$24$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Paso 5.2.2.5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$26 x$	-	$24$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$

Paso 5.2.2.5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$26 x$	-	$24$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$26 x$

Paso 5.2.2.5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 7 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$7 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$26 x$	-	$24$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$26 x$

Paso 5.2.2.5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$	-	$7 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$26 x$	-	$24$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$26 x$
					-	$7 x^{2}$	+	$14 x$

Paso 5.2.2.5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 7 x^{2} + 14 x$ .

				$x^{2}$	-	$7 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$26 x$	-	$24$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$26 x$
					+	$7 x^{2}$	-	$14 x$

Paso 5.2.2.5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$	-	$7 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$26 x$	-	$24$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$26 x$
					+	$7 x^{2}$	-	$14 x$
							+	$12 x$

Paso 5.2.2.5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x^{2}$	-	$7 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$26 x$	-	$24$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$26 x$
					+	$7 x^{2}$	-	$14 x$
							+	$12 x$	-	$24$

Paso 5.2.2.5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $12 x$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$7 x$	+	$12$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$26 x$	-	$24$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$26 x$
					+	$7 x^{2}$	-	$14 x$
							+	$12 x$	-	$24$

Paso 5.2.2.5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$	-	$7 x$	+	$12$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$26 x$	-	$24$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$26 x$
					+	$7 x^{2}$	-	$14 x$
							+	$12 x$	-	$24$
							+	$12 x$	-	$24$

Paso 5.2.2.5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $12 x - 24$ .

				$x^{2}$	-	$7 x$	+	$12$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$26 x$	-	$24$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$26 x$
					+	$7 x^{2}$	-	$14 x$
							+	$12 x$	-	$24$
							-	$12 x$	+	$24$

Paso 5.2.2.5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$	-	$7 x$	+	$12$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$26 x$	-	$24$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$26 x$
					+	$7 x^{2}$	-	$14 x$
							+	$12 x$	-	$24$
							-	$12 x$	+	$24$
										$0$

Paso 5.2.2.5.16

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$x^{2} - 7 x + 12$

Paso 5.2.2.6

Escribe $x^{3} - 9 x^{2} + 26 x - 24$ como un conjunto de factores.

$4 ((x - 2) (x^{2} - 7 x + 12)) = 0$

Paso 5.2.3

Factoriza.

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Paso 5.2.3.1

Factoriza $x^{2} - 7 x + 12$ con el método AC.

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Paso 5.2.3.1.1

Factoriza $x^{2} - 7 x + 12$ con el método AC.

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Paso 5.2.3.1.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $12$ y cuya suma es $- 7$ .

$- 4, - 3$

Paso 5.2.3.1.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$4 ((x - 2) ((x - 4) (x - 3))) = 0$

Paso 5.2.3.1.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$4 ((x - 2) (x - 4) (x - 3)) = 0$

Paso 5.2.3.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$4 (x - 2) (x - 4) (x - 3) = 0$

Paso 5.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

$x - 4 = 0$

$x - 3 = 0$

Paso 5.4

Establece $x - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.4.1

Establece $x - 2$ igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Paso 5.4.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 5.5

Establece $x - 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.5.1

Establece $x - 4$ igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Paso 5.5.2

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 4$

Paso 5.6

Establece $x - 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.6.1

Establece $x - 3$ igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Paso 5.6.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 3$

Paso 5.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $4 (x - 2) (x - 4) (x - 3) = 0$ verdadera.

$x = 2, 4, 3$

Paso 6

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 6.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 7

Puntos críticos para evaluar.

$x = 2, 4, 3$

Paso 8

Evalúa la segunda derivada en $x = 2$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$12 {(2)}^{2} - 72 \cdot 2 + 104$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 9.1

Simplifica cada término.

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Paso 9.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$12 \cdot 4 - 72 \cdot 2 + 104$

Paso 9.1.2

Multiplica $12$ por $4$ .

$48 - 72 \cdot 2 + 104$

Paso 9.1.3

Multiplica $- 72$ por $2$ .

$48 - 144 + 104$

Paso 9.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 9.2.1

Resta $144$ de $48$ .

$- 96 + 104$

Paso 9.2.2

Suma $- 96$ y $104$ .

$8$

Paso 10

$x = 2$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = 2$ es un mínimo local

Paso 11

Obtén el valor de y cuando $x = 2$ .

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Paso 11.1

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f (2) = {(2)}^{4} - 12 {(2)}^{3} + 52 {(2)}^{2} - 96 \cdot 2 + 64$

Paso 11.2

Simplifica el resultado.

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Paso 11.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 11.2.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $4$ .

$f (2) = 16 - 12 {(2)}^{3} + 52 {(2)}^{2} - 96 \cdot 2 + 64$

Paso 11.2.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$f (2) = 16 - 12 \cdot 8 + 52 {(2)}^{2} - 96 \cdot 2 + 64$

Paso 11.2.1.3

Multiplica $- 12$ por $8$ .

$f (2) = 16 - 96 + 52 {(2)}^{2} - 96 \cdot 2 + 64$

Paso 11.2.1.4

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f (2) = 16 - 96 + 52 \cdot 4 - 96 \cdot 2 + 64$

Paso 11.2.1.5

Multiplica $52$ por $4$ .

$f (2) = 16 - 96 + 208 - 96 \cdot 2 + 64$

Paso 11.2.1.6

Multiplica $- 96$ por $2$ .

$f (2) = 16 - 96 + 208 - 192 + 64$

Paso 11.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 11.2.2.1

Resta $96$ de $16$ .

$f (2) = - 80 + 208 - 192 + 64$

Paso 11.2.2.2

Suma $- 80$ y $208$ .

$f (2) = 128 - 192 + 64$

Paso 11.2.2.3

Resta $192$ de $128$ .

$f (2) = - 64 + 64$

Paso 11.2.2.4

Suma $- 64$ y $64$ .

$f (2) = 0$

Paso 11.2.3

La respuesta final es $0$ .

$y = 0$

Paso 12

Evalúa la segunda derivada en $x = 4$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$12 {(4)}^{2} - 72 \cdot 4 + 104$

Paso 13

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 13.1

Simplifica cada término.

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Paso 13.1.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$12 \cdot 16 - 72 \cdot 4 + 104$

Paso 13.1.2

Multiplica $12$ por $16$ .

$192 - 72 \cdot 4 + 104$

Paso 13.1.3

Multiplica $- 72$ por $4$ .

$192 - 288 + 104$

Paso 13.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 13.2.1

Resta $288$ de $192$ .

$- 96 + 104$

Paso 13.2.2

Suma $- 96$ y $104$ .

$8$

Paso 14

$x = 4$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = 4$ es un mínimo local

Paso 15

Obtén el valor de y cuando $x = 4$ .

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Paso 15.1

Reemplaza la variable $x$ con $4$ en la expresión.

$f (4) = {(4)}^{4} - 12 {(4)}^{3} + 52 {(4)}^{2} - 96 \cdot 4 + 64$

Paso 15.2

Simplifica el resultado.

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Paso 15.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 15.2.1.1

Eleva $4$ a la potencia de $4$ .

$f (4) = 256 - 12 {(4)}^{3} + 52 {(4)}^{2} - 96 \cdot 4 + 64$

Paso 15.2.1.2

Eleva $4$ a la potencia de $3$ .

$f (4) = 256 - 12 \cdot 64 + 52 {(4)}^{2} - 96 \cdot 4 + 64$

Paso 15.2.1.3

Multiplica $- 12$ por $64$ .

$f (4) = 256 - 768 + 52 {(4)}^{2} - 96 \cdot 4 + 64$

Paso 15.2.1.4

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$f (4) = 256 - 768 + 52 \cdot 16 - 96 \cdot 4 + 64$

Paso 15.2.1.5

Multiplica $52$ por $16$ .

$f (4) = 256 - 768 + 832 - 96 \cdot 4 + 64$

Paso 15.2.1.6

Multiplica $- 96$ por $4$ .

$f (4) = 256 - 768 + 832 - 384 + 64$

Paso 15.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 15.2.2.1

Resta $768$ de $256$ .

$f (4) = - 512 + 832 - 384 + 64$

Paso 15.2.2.2

Suma $- 512$ y $832$ .

$f (4) = 320 - 384 + 64$

Paso 15.2.2.3

Resta $384$ de $320$ .

$f (4) = - 64 + 64$

Paso 15.2.2.4

Suma $- 64$ y $64$ .

$f (4) = 0$

Paso 15.2.3

La respuesta final es $0$ .

$y = 0$

Paso 16

Evalúa la segunda derivada en $x = 3$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$12 {(3)}^{2} - 72 \cdot 3 + 104$

Paso 17

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 17.1

Simplifica cada término.

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Paso 17.1.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$12 \cdot 9 - 72 \cdot 3 + 104$

Paso 17.1.2

Multiplica $12$ por $9$ .

$108 - 72 \cdot 3 + 104$

Paso 17.1.3

Multiplica $- 72$ por $3$ .

$108 - 216 + 104$

Paso 17.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 17.2.1

Resta $216$ de $108$ .

$- 108 + 104$

Paso 17.2.2

Suma $- 108$ y $104$ .

$- 4$

Paso 18

$x = 3$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$x = 3$ es un máximo local

Paso 19

Obtén el valor de y cuando $x = 3$ .

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Paso 19.1

Reemplaza la variable $x$ con $3$ en la expresión.

$f (3) = {(3)}^{4} - 12 {(3)}^{3} + 52 {(3)}^{2} - 96 \cdot 3 + 64$

Paso 19.2

Simplifica el resultado.

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Paso 19.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 19.2.1.1

Eleva $3$ a la potencia de $4$ .

$f (3) = 81 - 12 {(3)}^{3} + 52 {(3)}^{2} - 96 \cdot 3 + 64$

Paso 19.2.1.2

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$f (3) = 81 - 12 \cdot 27 + 52 {(3)}^{2} - 96 \cdot 3 + 64$

Paso 19.2.1.3

Multiplica $- 12$ por $27$ .

$f (3) = 81 - 324 + 52 {(3)}^{2} - 96 \cdot 3 + 64$

Paso 19.2.1.4

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$f (3) = 81 - 324 + 52 \cdot 9 - 96 \cdot 3 + 64$

Paso 19.2.1.5

Multiplica $52$ por $9$ .

$f (3) = 81 - 324 + 468 - 96 \cdot 3 + 64$

Paso 19.2.1.6

Multiplica $- 96$ por $3$ .

$f (3) = 81 - 324 + 468 - 288 + 64$

Paso 19.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 19.2.2.1

Resta $324$ de $81$ .

$f (3) = - 243 + 468 - 288 + 64$

Paso 19.2.2.2

Suma $- 243$ y $468$ .

$f (3) = 225 - 288 + 64$

Paso 19.2.2.3

Resta $288$ de $225$ .

$f (3) = - 63 + 64$

Paso 19.2.2.4

Suma $- 63$ y $64$ .

$f (3) = 1$

Paso 19.2.3

La respuesta final es $1$ .

$y = 1$

Paso 20

Estos son los extremos locales de $f (x) = x^{4} - 12 x^{3} + 52 x^{2} - 96 x + 64$ .

$(2, 0)$ es un mínimo local

$(4, 0)$ es un mínimo local

$(3, 1)$ es un máximo local

Paso 21