Álgebra Ejemplos

$f (x) = \frac{x^{3} - 2 x}{x^{2} - 1}$

Paso 1

Determina si la función es impar, par o ninguna para obtener la simetría.

1. Si es impar, la función es simétrica con respecto al origen.

2. Si es par, la función es simétrica con respecto al eje y.

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Factoriza $x$ de $x^{3} - 2 x$ .

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Paso 2.1.1

Factoriza $x$ de $x^{3}$ .

$f (x) = \frac{x \cdot x^{2} - 2 x}{x^{2} - 1}$

Paso 2.1.2

Factoriza $x$ de $- 2 x$ .

$f (x) = \frac{x \cdot x^{2} + x \cdot - 2}{x^{2} - 1}$

Paso 2.1.3

Factoriza $x$ de $x \cdot x^{2} + x \cdot - 2$ .

$f (x) = \frac{x (x^{2} - 2)}{x^{2} - 1}$

Paso 2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 2.2.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$f (x) = \frac{x (x^{2} - 2)}{x^{2} - 1^{2}}$

Paso 2.2.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$f (x) = \frac{x (x^{2} - 2)}{(x + 1) (x - 1)}$

Paso 3

Obtén $f (- x)$ .

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Paso 3.1

Obtén $f (- x)$ mediante la sustitución de $- x$ para todos los casos de $x$ en $f (x)$ .

$f (- x) = \frac{(- x) ({(- x)}^{2} - 2)}{((- x) + 1) ((- x) - 1)}$

Paso 3.2

Simplifica el numerador.

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Paso 3.2.1

Aplica la regla del producto a $- x$ .

$f (- x) = \frac{- x ({(- 1)}^{2} x^{2} - 2)}{(- x + 1) (- x - 1)}$

Paso 3.2.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f (- x) = \frac{- x (1 x^{2} - 2)}{(- x + 1) (- x - 1)}$

Paso 3.2.3

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$f (- x) = \frac{- x (x^{2} - 2)}{(- x + 1) (- x - 1)}$

Paso 3.3

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 3.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (- x) = - \frac{x (x^{2} - 2)}{(- x + 1) (- x - 1)}$

Paso 3.3.2

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$f (- x) = - \frac{x (x^{2} - 2)}{(- (x) + 1) (- x - 1)}$

Paso 3.3.3

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$f (- x) = - \frac{x (x^{2} - 2)}{(- (x) - 1 \cdot - 1) (- x - 1)}$

Paso 3.3.4

Factoriza $- 1$ de $- (x) - 1 (- 1)$ .

$f (- x) = - \frac{x (x^{2} - 2)}{- (x - 1) (- x - 1)}$

Paso 3.3.5

Reescribe $- (x - 1)$ como $- 1 (x - 1)$ .

$f (- x) = - \frac{x (x^{2} - 2)}{- 1 (x - 1) (- x - 1)}$

Paso 3.3.6

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$f (- x) = - \frac{x (x^{2} - 2)}{- 1 (x - 1) (- (x) - 1)}$

Paso 3.3.7

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$f (- x) = - \frac{x (x^{2} - 2)}{- 1 (x - 1) (- (x) - 1 \cdot 1)}$

Paso 3.3.8

Factoriza $- 1$ de $- (x) - 1 (1)$ .

$f (- x) = - \frac{x (x^{2} - 2)}{- 1 (x - 1) (- (x + 1))}$

Paso 3.3.9

Simplifica la expresión.

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Paso 3.3.9.1

Reescribe $- (x + 1)$ como $- 1 (x + 1)$ .

$f (- x) = - \frac{x (x^{2} - 2)}{- 1 (x - 1) (- 1 (x + 1))}$

Paso 3.3.9.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f (- x) = - \frac{x (x^{2} - 2)}{1 (x - 1) (x + 1)}$

Paso 3.3.9.3

Multiplica $x - 1$ por $1$ .

$f (- x) = - \frac{x (x^{2} - 2)}{(x - 1) (x + 1)}$

Paso 4

Una función es par si $f (- x) = f (x)$ .

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Paso 4.1

Comprueba si $f (- x) = f (x)$ .

Paso 4.2

Como $- \frac{x (x^{2} - 2)}{(x - 1) (x + 1)}$ $\neq$ $\frac{x (x^{2} - 2)}{(x + 1) (x - 1)}$ , la función no es par.

La función no es par

Paso 5

Una función es impar si $f (- x) = - f (x)$ .

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Paso 5.1

Multiplica $- 1$ por $\frac{x (x^{2} - 2)}{(x + 1) (x - 1)}$ .

$- f (x) = - \frac{x (x^{2} - 2)}{(x + 1) (x - 1)}$

Paso 5.2

Como $- \frac{x (x^{2} - 2)}{(x - 1) (x + 1)} = - \frac{x (x^{2} - 2)}{(x + 1) (x - 1)}$ , la función es impar.

La función es impar.

Paso 6

Como la función es impar, es simétrica con respecto al origen.

Simetría de origen

Paso 7

Como la función no es par, no es simétrica con respecto al eje y.

No hay simetría del eje y

Paso 8

Determina la simetría de la función.

Simetría de origen

Paso 9