Álgebra Ejemplos

$8 x^{2} + 5 y^{2} = 40$ , $x = y + 5$

Paso 1

Reemplaza todos los casos de $x$ por $y + 5$ en cada ecuación.

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Paso 1.1

Reemplaza todos los casos de $x$ en $8 x^{2} + 5 y^{2} = 40$ por $y + 5$ .

$8 {(y + 5)}^{2} + 5 y^{2} = 40$

$x = y + 5$

Paso 1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.1

Simplifica $8 {(y + 5)}^{2} + 5 y^{2}$ .

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Paso 1.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.1.1.1

Reescribe ${(y + 5)}^{2}$ como $(y + 5) (y + 5)$ .

$8 ((y + 5) (y + 5)) + 5 y^{2} = 40$

$x = y + 5$

Paso 1.2.1.1.2

Expande $(y + 5) (y + 5)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.2.1.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$8 (y (y + 5) + 5 (y + 5)) + 5 y^{2} = 40$

$x = y + 5$

Paso 1.2.1.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$8 (y \cdot y + y \cdot 5 + 5 (y + 5)) + 5 y^{2} = 40$

$x = y + 5$

Paso 1.2.1.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$8 (y \cdot y + y \cdot 5 + 5 y + 5 \cdot 5) + 5 y^{2} = 40$

$x = y + 5$

$8 (y \cdot y + y \cdot 5 + 5 y + 5 \cdot 5) + 5 y^{2} = 40$

$x = y + 5$

Paso 1.2.1.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.2.1.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.1.1.3.1.1

Multiplica $y$ por $y$ .

$8 (y^{2} + y \cdot 5 + 5 y + 5 \cdot 5) + 5 y^{2} = 40$

$x = y + 5$

Paso 1.2.1.1.3.1.2

Mueve $5$ a la izquierda de $y$ .

$8 (y^{2} + 5 \cdot y + 5 y + 5 \cdot 5) + 5 y^{2} = 40$

$x = y + 5$

Paso 1.2.1.1.3.1.3

Multiplica $5$ por $5$ .

$8 (y^{2} + 5 y + 5 y + 25) + 5 y^{2} = 40$

$x = y + 5$

$8 (y^{2} + 5 y + 5 y + 25) + 5 y^{2} = 40$

$x = y + 5$

Paso 1.2.1.1.3.2

Suma $5 y$ y $5 y$ .

$8 (y^{2} + 10 y + 25) + 5 y^{2} = 40$

$x = y + 5$

$8 (y^{2} + 10 y + 25) + 5 y^{2} = 40$

$x = y + 5$

Paso 1.2.1.1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$8 y^{2} + 8 (10 y) + 8 \cdot 25 + 5 y^{2} = 40$

$x = y + 5$

Paso 1.2.1.1.5

Simplifica.

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Paso 1.2.1.1.5.1

Multiplica $10$ por $8$ .

$8 y^{2} + 80 y + 8 \cdot 25 + 5 y^{2} = 40$

$x = y + 5$

Paso 1.2.1.1.5.2

Multiplica $8$ por $25$ .

$8 y^{2} + 80 y + 200 + 5 y^{2} = 40$

$x = y + 5$

$8 y^{2} + 80 y + 200 + 5 y^{2} = 40$

$x = y + 5$

$8 y^{2} + 80 y + 200 + 5 y^{2} = 40$

$x = y + 5$

Paso 1.2.1.2

Suma $8 y^{2}$ y $5 y^{2}$ .

$13 y^{2} + 80 y + 200 = 40$

$x = y + 5$

$13 y^{2} + 80 y + 200 = 40$

$x = y + 5$

$13 y^{2} + 80 y + 200 = 40$

$x = y + 5$

$13 y^{2} + 80 y + 200 = 40$

$x = y + 5$

Paso 2

Resuelve $y$ en $13 y^{2} + 80 y + 200 = 40$ .

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Paso 2.1

Mueve todos los términos al lado izquierdo de la ecuación y simplifica.

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Paso 2.1.1

Resta $40$ de ambos lados de la ecuación.

$13 y^{2} + 80 y + 200 - 40 = 0$

$x = y + 5$

Paso 2.1.2

Resta $40$ de $200$ .

$13 y^{2} + 80 y + 160 = 0$

$x = y + 5$

$13 y^{2} + 80 y + 160 = 0$

$x = y + 5$

Paso 2.2

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

$x = y + 5$

Paso 2.3

Sustituye los valores $a = 13$ , $b = 80$ y $c = 160$ en la fórmula cuadrática y resuelve $y$ .

$\frac{- 80 \pm \sqrt{80^{2} - 4 \cdot (13 \cdot 160)}}{2 \cdot 13}$

$x = y + 5$

Paso 2.4

Simplifica.

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Paso 2.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.4.1.1

Eleva $80$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{- 80 \pm \sqrt{6400 - 4 \cdot 13 \cdot 160}}{2 \cdot 13}$

$x = y + 5$

Paso 2.4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 13 \cdot 160$ .

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Paso 2.4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $13$ .

$y = \frac{- 80 \pm \sqrt{6400 - 52 \cdot 160}}{2 \cdot 13}$

$x = y + 5$

Paso 2.4.1.2.2

Multiplica $- 52$ por $160$ .

$y = \frac{- 80 \pm \sqrt{6400 - 8320}}{2 \cdot 13}$

$x = y + 5$

$y = \frac{- 80 \pm \sqrt{6400 - 8320}}{2 \cdot 13}$

$x = y + 5$

Paso 2.4.1.3

Resta $8320$ de $6400$ .

$y = \frac{- 80 \pm \sqrt{- 1920}}{2 \cdot 13}$

$x = y + 5$

Paso 2.4.1.4

Reescribe $- 1920$ como $- 1 (1920)$ .

$y = \frac{- 80 \pm \sqrt{- 1 \cdot 1920}}{2 \cdot 13}$

$x = y + 5$

Paso 2.4.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (1920)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1920}$ .

$y = \frac{- 80 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1920}}{2 \cdot 13}$

$x = y + 5$

Paso 2.4.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$y = \frac{- 80 \pm i \cdot \sqrt{1920}}{2 \cdot 13}$

$x = y + 5$

Paso 2.4.1.7

Reescribe $1920$ como $8^{2} \cdot 30$ .

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Paso 2.4.1.7.1

Factoriza $64$ de $1920$ .

$y = \frac{- 80 \pm i \cdot \sqrt{64 (30)}}{2 \cdot 13}$

$x = y + 5$

Paso 2.4.1.7.2

Reescribe $64$ como $8^{2}$ .

$y = \frac{- 80 \pm i \cdot \sqrt{8^{2} \cdot 30}}{2 \cdot 13}$

$x = y + 5$

$y = \frac{- 80 \pm i \cdot \sqrt{8^{2} \cdot 30}}{2 \cdot 13}$

$x = y + 5$

Paso 2.4.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \frac{- 80 \pm i \cdot (8 \sqrt{30})}{2 \cdot 13}$

$x = y + 5$

Paso 2.4.1.9

Mueve $8$ a la izquierda de $i$ .

$y = \frac{- 80 \pm 8 i \sqrt{30}}{2 \cdot 13}$

$x = y + 5$

$y = \frac{- 80 \pm 8 i \sqrt{30}}{2 \cdot 13}$

$x = y + 5$

Paso 2.4.2

Multiplica $2$ por $13$ .

$y = \frac{- 80 \pm 8 i \sqrt{30}}{26}$

$x = y + 5$

Paso 2.4.3

Simplifica $\frac{- 80 \pm 8 i \sqrt{30}}{26}$ .

$y = \frac{- 40 \pm 4 i \sqrt{30}}{13}$

$x = y + 5$

$y = \frac{- 40 \pm 4 i \sqrt{30}}{13}$

$x = y + 5$

Paso 2.5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 2.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.5.1.1

Eleva $80$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{- 80 \pm \sqrt{6400 - 4 \cdot 13 \cdot 160}}{2 \cdot 13}$

$x = y + 5$

Paso 2.5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 13 \cdot 160$ .

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Paso 2.5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $13$ .

$y = \frac{- 80 \pm \sqrt{6400 - 52 \cdot 160}}{2 \cdot 13}$

$x = y + 5$

Paso 2.5.1.2.2

Multiplica $- 52$ por $160$ .

$y = \frac{- 80 \pm \sqrt{6400 - 8320}}{2 \cdot 13}$

$x = y + 5$

$y = \frac{- 80 \pm \sqrt{6400 - 8320}}{2 \cdot 13}$

$x = y + 5$

Paso 2.5.1.3

Resta $8320$ de $6400$ .

$y = \frac{- 80 \pm \sqrt{- 1920}}{2 \cdot 13}$

$x = y + 5$

Paso 2.5.1.4

Reescribe $- 1920$ como $- 1 (1920)$ .

$y = \frac{- 80 \pm \sqrt{- 1 \cdot 1920}}{2 \cdot 13}$

$x = y + 5$

Paso 2.5.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (1920)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1920}$ .

$y = \frac{- 80 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1920}}{2 \cdot 13}$

$x = y + 5$

Paso 2.5.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$y = \frac{- 80 \pm i \cdot \sqrt{1920}}{2 \cdot 13}$

$x = y + 5$

Paso 2.5.1.7

Reescribe $1920$ como $8^{2} \cdot 30$ .

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Paso 2.5.1.7.1

Factoriza $64$ de $1920$ .

$y = \frac{- 80 \pm i \cdot \sqrt{64 (30)}}{2 \cdot 13}$

$x = y + 5$

Paso 2.5.1.7.2

Reescribe $64$ como $8^{2}$ .

$y = \frac{- 80 \pm i \cdot \sqrt{8^{2} \cdot 30}}{2 \cdot 13}$

$x = y + 5$

$y = \frac{- 80 \pm i \cdot \sqrt{8^{2} \cdot 30}}{2 \cdot 13}$

$x = y + 5$

Paso 2.5.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \frac{- 80 \pm i \cdot (8 \sqrt{30})}{2 \cdot 13}$

$x = y + 5$

Paso 2.5.1.9

Mueve $8$ a la izquierda de $i$ .

$y = \frac{- 80 \pm 8 i \sqrt{30}}{2 \cdot 13}$

$x = y + 5$

$y = \frac{- 80 \pm 8 i \sqrt{30}}{2 \cdot 13}$

$x = y + 5$

Paso 2.5.2

Multiplica $2$ por $13$ .

$y = \frac{- 80 \pm 8 i \sqrt{30}}{26}$

$x = y + 5$

Paso 2.5.3

Simplifica $\frac{- 80 \pm 8 i \sqrt{30}}{26}$ .

$y = \frac{- 40 \pm 4 i \sqrt{30}}{13}$

$x = y + 5$

Paso 2.5.4

Cambia $\pm$ a $+$ .

$y = \frac{- 40 + 4 i \sqrt{30}}{13}$

$x = y + 5$

Paso 2.5.5

Reescribe $- 40$ como $- 1 (40)$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 40 + 4 i \sqrt{30}}{13}$

$x = y + 5$

Paso 2.5.6

Factoriza $- 1$ de $4 i \sqrt{30}$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 40 - (- 4 i \sqrt{30})}{13}$

$x = y + 5$

Paso 2.5.7

Factoriza $- 1$ de $- 1 (40) - (- 4 i \sqrt{30})$ .

$y = \frac{- 1 (40 - 4 i \sqrt{30})}{13}$

$x = y + 5$

Paso 2.5.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{40 - 4 i \sqrt{30}}{13}$

$x = y + 5$

$y = - \frac{40 - 4 i \sqrt{30}}{13}$

$x = y + 5$

Paso 2.6

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 2.6.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.6.1.1

Eleva $80$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{- 80 \pm \sqrt{6400 - 4 \cdot 13 \cdot 160}}{2 \cdot 13}$

$x = y + 5$

Paso 2.6.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 13 \cdot 160$ .

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Paso 2.6.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $13$ .

$y = \frac{- 80 \pm \sqrt{6400 - 52 \cdot 160}}{2 \cdot 13}$

$x = y + 5$

Paso 2.6.1.2.2

Multiplica $- 52$ por $160$ .

$y = \frac{- 80 \pm \sqrt{6400 - 8320}}{2 \cdot 13}$

$x = y + 5$

$y = \frac{- 80 \pm \sqrt{6400 - 8320}}{2 \cdot 13}$

$x = y + 5$

Paso 2.6.1.3

Resta $8320$ de $6400$ .

$y = \frac{- 80 \pm \sqrt{- 1920}}{2 \cdot 13}$

$x = y + 5$

Paso 2.6.1.4

Reescribe $- 1920$ como $- 1 (1920)$ .

$y = \frac{- 80 \pm \sqrt{- 1 \cdot 1920}}{2 \cdot 13}$

$x = y + 5$

Paso 2.6.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (1920)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1920}$ .

$y = \frac{- 80 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1920}}{2 \cdot 13}$

$x = y + 5$

Paso 2.6.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$y = \frac{- 80 \pm i \cdot \sqrt{1920}}{2 \cdot 13}$

$x = y + 5$

Paso 2.6.1.7

Reescribe $1920$ como $8^{2} \cdot 30$ .

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Paso 2.6.1.7.1

Factoriza $64$ de $1920$ .

$y = \frac{- 80 \pm i \cdot \sqrt{64 (30)}}{2 \cdot 13}$

$x = y + 5$

Paso 2.6.1.7.2

Reescribe $64$ como $8^{2}$ .

$y = \frac{- 80 \pm i \cdot \sqrt{8^{2} \cdot 30}}{2 \cdot 13}$

$x = y + 5$

$y = \frac{- 80 \pm i \cdot \sqrt{8^{2} \cdot 30}}{2 \cdot 13}$

$x = y + 5$

Paso 2.6.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \frac{- 80 \pm i \cdot (8 \sqrt{30})}{2 \cdot 13}$

$x = y + 5$

Paso 2.6.1.9

Mueve $8$ a la izquierda de $i$ .

$y = \frac{- 80 \pm 8 i \sqrt{30}}{2 \cdot 13}$

$x = y + 5$

$y = \frac{- 80 \pm 8 i \sqrt{30}}{2 \cdot 13}$

$x = y + 5$

Paso 2.6.2

Multiplica $2$ por $13$ .

$y = \frac{- 80 \pm 8 i \sqrt{30}}{26}$

$x = y + 5$

Paso 2.6.3

Simplifica $\frac{- 80 \pm 8 i \sqrt{30}}{26}$ .

$y = \frac{- 40 \pm 4 i \sqrt{30}}{13}$

$x = y + 5$

Paso 2.6.4

Cambia $\pm$ a $-$ .

$y = \frac{- 40 - 4 i \sqrt{30}}{13}$

$x = y + 5$

Paso 2.6.5

Reescribe $- 40$ como $- 1 (40)$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 40 - 4 i \sqrt{30}}{13}$

$x = y + 5$

Paso 2.6.6

Factoriza $- 1$ de $- 4 i \sqrt{30}$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 40 - (4 i \sqrt{30})}{13}$

$x = y + 5$

Paso 2.6.7

Factoriza $- 1$ de $- 1 (40) - (4 i \sqrt{30})$ .

$y = \frac{- 1 (40 + 4 i \sqrt{30})}{13}$

$x = y + 5$

Paso 2.6.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{40 + 4 i \sqrt{30}}{13}$

$x = y + 5$

$y = - \frac{40 + 4 i \sqrt{30}}{13}$

$x = y + 5$

Paso 2.7

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$y = - \frac{40 - 4 i \sqrt{30}}{13}, - \frac{40 + 4 i \sqrt{30}}{13}$

$x = y + 5$

$y = - \frac{40 - 4 i \sqrt{30}}{13}, - \frac{40 + 4 i \sqrt{30}}{13}$

$x = y + 5$

Paso 3

Reemplaza todos los casos de $y$ por $- \frac{40 - 4 i \sqrt{30}}{13}$ en cada ecuación.

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Paso 3.1

Reemplaza todos los casos de $y$ en $x = y + 5$ por $- \frac{40 - 4 i \sqrt{30}}{13}$ .

$x = (- \frac{40 - 4 i \sqrt{30}}{13}) + 5$

$y = - \frac{40 - 4 i \sqrt{30}}{13}$

Paso 3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.1

Simplifica $(- \frac{40 - 4 i \sqrt{30}}{13}) + 5$ .

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Paso 3.2.1.1

Para escribir $5$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{13}{13}$ .

$x = - \frac{40 - 4 i \sqrt{30}}{13} + 5 \cdot \frac{13}{13}$

$y = - \frac{40 - 4 i \sqrt{30}}{13}$

Paso 3.2.1.2

Combina $5$ y $\frac{13}{13}$ .

$x = - \frac{40 - 4 i \sqrt{30}}{13} + \frac{5 \cdot 13}{13}$

$y = - \frac{40 - 4 i \sqrt{30}}{13}$

Paso 3.2.1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{25 + 4 i \sqrt{30}}{13}$

$y = - \frac{40 - 4 i \sqrt{30}}{13}$

$x = \frac{25 + 4 i \sqrt{30}}{13}$

$y = - \frac{40 - 4 i \sqrt{30}}{13}$

$x = \frac{25 + 4 i \sqrt{30}}{13}$

$y = - \frac{40 - 4 i \sqrt{30}}{13}$

$x = \frac{25 + 4 i \sqrt{30}}{13}$

$y = - \frac{40 - 4 i \sqrt{30}}{13}$

Paso 4

Reemplaza todos los casos de $y$ por $- \frac{40 + 4 i \sqrt{30}}{13}$ en cada ecuación.

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Paso 4.1

Reemplaza todos los casos de $y$ en $x = y + 5$ por $- \frac{40 + 4 i \sqrt{30}}{13}$ .

$x = (- \frac{40 + 4 i \sqrt{30}}{13}) + 5$

$y = - \frac{40 + 4 i \sqrt{30}}{13}$

Paso 4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.1

Simplifica $(- \frac{40 + 4 i \sqrt{30}}{13}) + 5$ .

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Paso 4.2.1.1

Para escribir $5$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{13}{13}$ .

$x = - \frac{40 + 4 i \sqrt{30}}{13} + 5 \cdot \frac{13}{13}$

$y = - \frac{40 + 4 i \sqrt{30}}{13}$

Paso 4.2.1.2

Combina $5$ y $\frac{13}{13}$ .

$x = - \frac{40 + 4 i \sqrt{30}}{13} + \frac{5 \cdot 13}{13}$

$y = - \frac{40 + 4 i \sqrt{30}}{13}$

Paso 4.2.1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{25 - 4 i \sqrt{30}}{13}$

$y = - \frac{40 + 4 i \sqrt{30}}{13}$

$x = \frac{25 - 4 i \sqrt{30}}{13}$

$y = - \frac{40 + 4 i \sqrt{30}}{13}$

$x = \frac{25 - 4 i \sqrt{30}}{13}$

$y = - \frac{40 + 4 i \sqrt{30}}{13}$

$x = \frac{25 - 4 i \sqrt{30}}{13}$

$y = - \frac{40 + 4 i \sqrt{30}}{13}$

Paso 5

Enumera todas las soluciones.

$x = \frac{25 + 4 i \sqrt{30}}{13}, y = - \frac{40 - 4 i \sqrt{30}}{13}$

$x = \frac{25 - 4 i \sqrt{30}}{13}, y = - \frac{40 + 4 i \sqrt{30}}{13}$

Paso 6