Álgebra Ejemplos

$y = - \frac{1}{2} x^{2} + \frac{14}{5} x + \frac{17}{53}$

Paso 1

Reescribe la ecuación en forma de vértice.

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Paso 1.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.1

Combina $x^{2}$ y $\frac{1}{2}$ .

$y = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{14}{5} x + \frac{17}{53}$

Paso 1.1.2

Combina $\frac{14}{5}$ y $x$ .

$y = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{14 x}{5} + \frac{17}{53}$

Paso 1.2

Completa el cuadrado de $- \frac{x^{2}}{2} + \frac{14 x}{5} + \frac{17}{53}$ .

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Paso 1.2.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = - \frac{1}{2}$

$b = \frac{14}{5}$

$c = \frac{17}{53}$

Paso 1.2.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.2.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.2.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{\frac{14}{5}}{2 (- \frac{1}{2})}$

Paso 1.2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.2.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$d = \frac{14}{5} \cdot \frac{1}{2 (- \frac{1}{2})}$

Paso 1.2.3.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.3.2.2.1

Factoriza $2$ de $14$ .

$d = \frac{2 (7)}{5} \cdot \frac{1}{2 (- \frac{1}{2})}$

Paso 1.2.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot 7}{5} \cdot \frac{1}{2 (- \frac{1}{2})}$

Paso 1.2.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{7}{5} \cdot \frac{1}{- \frac{1}{2}}$

Paso 1.2.3.2.3

Multiplica $\frac{7}{5}$ por $\frac{1}{- \frac{1}{2}}$ .

$d = \frac{7}{5 (- \frac{1}{2})}$

Paso 1.2.3.2.4

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$d = \frac{7}{- 5 (\frac{1}{2})}$

Paso 1.2.3.2.5

Combina $- 5$ y $\frac{1}{2}$ .

$d = \frac{7}{\frac{- 5}{2}}$

Paso 1.2.3.2.6

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$d = 7 (\frac{2}{- 5})$

Paso 1.2.3.2.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$d = 7 (- \frac{2}{5})$

Paso 1.2.3.2.8

Multiplica $7 (- \frac{2}{5})$ .

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Paso 1.2.3.2.8.1

Multiplica $- 1$ por $7$ .

$d = - 7 (\frac{2}{5})$

Paso 1.2.3.2.8.2

Combina $- 7$ y $\frac{2}{5}$ .

$d = \frac{- 7 \cdot 2}{5}$

Paso 1.2.3.2.8.3

Multiplica $- 7$ por $2$ .

$d = \frac{- 14}{5}$

Paso 1.2.3.2.9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$d = - \frac{14}{5}$

Paso 1.2.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.2.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = \frac{17}{53} - \frac{{(\frac{14}{5})}^{2}}{4 (- \frac{1}{2})}$

Paso 1.2.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.4.2.1.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.4.2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{14}{5}$ .

$e = \frac{17}{53} - \frac{\frac{14^{2}}{5^{2}}}{4 (- \frac{1}{2})}$

Paso 1.2.4.2.1.1.2

Eleva $14$ a la potencia de $2$ .

$e = \frac{17}{53} - \frac{\frac{196}{5^{2}}}{4 (- \frac{1}{2})}$

Paso 1.2.4.2.1.1.3

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$e = \frac{17}{53} - \frac{\frac{196}{25}}{4 (- \frac{1}{2})}$

Paso 1.2.4.2.1.2

Simplifica el denominador.

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Paso 1.2.4.2.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$e = \frac{17}{53} - \frac{\frac{196}{25}}{- 4 (\frac{1}{2})}$

Paso 1.2.4.2.1.2.2

Combina $- 4$ y $\frac{1}{2}$ .

$e = \frac{17}{53} - \frac{\frac{196}{25}}{\frac{- 4}{2}}$

Paso 1.2.4.2.1.3

Divide $- 4$ por $2$ .

$e = \frac{17}{53} - \frac{\frac{196}{25}}{- 2}$

Paso 1.2.4.2.1.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$e = \frac{17}{53} - (\frac{196}{25} \cdot \frac{1}{- 2})$

Paso 1.2.4.2.1.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.4.2.1.5.1

Factoriza $2$ de $196$ .

$e = \frac{17}{53} - (\frac{2 (98)}{25} \cdot \frac{1}{- 2})$

Paso 1.2.4.2.1.5.2

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$e = \frac{17}{53} - (\frac{2 \cdot 98}{25} \cdot \frac{1}{2 \cdot - 1})$

Paso 1.2.4.2.1.5.3

Cancela el factor común.

$e = \frac{17}{53} - (\frac{2 \cdot 98}{25} \cdot \frac{1}{2 \cdot - 1})$

Paso 1.2.4.2.1.5.4

Reescribe la expresión.

$e = \frac{17}{53} - (\frac{98}{25} \cdot \frac{1}{- 1})$

Paso 1.2.4.2.1.6

Multiplica $\frac{98}{25}$ por $\frac{1}{- 1}$ .

$e = \frac{17}{53} - \frac{98}{25 \cdot - 1}$

Paso 1.2.4.2.1.7

Multiplica $25$ por $- 1$ .

$e = \frac{17}{53} - \frac{98}{- 25}$

Paso 1.2.4.2.1.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$e = \frac{17}{53} - - \frac{98}{25}$

Paso 1.2.4.2.1.9

Multiplica $- - \frac{98}{25}$ .

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Paso 1.2.4.2.1.9.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$e = \frac{17}{53} + 1 (\frac{98}{25})$

Paso 1.2.4.2.1.9.2

Multiplica $\frac{98}{25}$ por $1$ .

$e = \frac{17}{53} + \frac{98}{25}$

Paso 1.2.4.2.2

Para escribir $\frac{17}{53}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{25}{25}$ .

$e = \frac{17}{53} \cdot \frac{25}{25} + \frac{98}{25}$

Paso 1.2.4.2.3

Para escribir $\frac{98}{25}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{53}{53}$ .

$e = \frac{17}{53} \cdot \frac{25}{25} + \frac{98}{25} \cdot \frac{53}{53}$

Paso 1.2.4.2.4

Escribe cada expresión con un denominador común de $1325$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 1.2.4.2.4.1

Multiplica $\frac{17}{53}$ por $\frac{25}{25}$ .

$e = \frac{17 \cdot 25}{53 \cdot 25} + \frac{98}{25} \cdot \frac{53}{53}$

Paso 1.2.4.2.4.2

Multiplica $53$ por $25$ .

$e = \frac{17 \cdot 25}{1325} + \frac{98}{25} \cdot \frac{53}{53}$

Paso 1.2.4.2.4.3

Multiplica $\frac{98}{25}$ por $\frac{53}{53}$ .

$e = \frac{17 \cdot 25}{1325} + \frac{98 \cdot 53}{25 \cdot 53}$

Paso 1.2.4.2.4.4

Multiplica $25$ por $53$ .

$e = \frac{17 \cdot 25}{1325} + \frac{98 \cdot 53}{1325}$

Paso 1.2.4.2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$e = \frac{17 \cdot 25 + 98 \cdot 53}{1325}$

Paso 1.2.4.2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.4.2.6.1

Multiplica $17$ por $25$ .

$e = \frac{425 + 98 \cdot 53}{1325}$

Paso 1.2.4.2.6.2

Multiplica $98$ por $53$ .

$e = \frac{425 + 5194}{1325}$

Paso 1.2.4.2.6.3

Suma $425$ y $5194$ .

$e = \frac{5619}{1325}$

Paso 1.2.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $- \frac{1}{2} {(x - \frac{14}{5})}^{2} + \frac{5619}{1325}$ .

$- \frac{1}{2} {(x - \frac{14}{5})}^{2} + \frac{5619}{1325}$

Paso 1.3

Establece $y$ igual al nuevo lado derecho.

$y = - \frac{1}{2} \cdot {(x - \frac{14}{5})}^{2} + \frac{5619}{1325}$

Paso 2

Usa la forma de vértice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = - \frac{1}{2}$

$h = \frac{14}{5}$

$k = \frac{5619}{1325}$

Paso 3

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(\frac{14}{5}, \frac{5619}{1325})$

Paso 4

Obtén $p$ , la distancia desde el vértice hasta el foco.

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Paso 4.1

Obtén la distancia desde el vértice hasta un foco de la parábola con la siguiente fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Paso 4.2

Sustituye el valor de $a$ en la fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{1}{2})}$

Paso 4.3

Simplifica.

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Paso 4.3.1

Cancela el factor común de $1$ y $- 1$ .

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Paso 4.3.1.1

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{1}{2})}$

Paso 4.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{4 (\frac{1}{2})}$

Paso 4.3.2

Combina $4$ y $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{\frac{4}{2}}$

Paso 4.3.3

Divide $4$ por $2$ .

$- \frac{1}{2}$

Paso 5

Obtén la directriz.

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Paso 5.1

La directriz de una parábola es la recta horizontal que se obtiene al restar $p$ de la coordenada y $k$ del vértice si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$y = k - p$

Paso 5.2

Sustituye los valores conocidos de $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$y = \frac{12563}{2650}$

Paso 6