Álgebra Ejemplos

$16 x^{2} - 9 y^{2} = 1$

Paso 1

Resta $16 x^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$- 9 y^{2} = 1 - 16 x^{2}$

Paso 2

Divide cada término en $- 9 y^{2} = 1 - 16 x^{2}$ por $- 9$ y simplifica.

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Paso 2.1

Divide cada término en $- 9 y^{2} = 1 - 16 x^{2}$ por $- 9$ .

$\frac{- 9 y^{2}}{- 9} = \frac{1}{- 9} + \frac{- 16 x^{2}}{- 9}$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Cancela el factor común de $- 9$ .

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Paso 2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 9 y^{2}}{- 9} = \frac{1}{- 9} + \frac{- 16 x^{2}}{- 9}$

Paso 2.2.1.2

Divide $y^{2}$ por $1$ .

$y^{2} = \frac{1}{- 9} + \frac{- 16 x^{2}}{- 9}$

Paso 2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.1.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y^{2} = - \frac{1}{9} + \frac{- 16 x^{2}}{- 9}$

Paso 2.3.1.2

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$y^{2} = - \frac{1}{9} + \frac{16 x^{2}}{9}$

Paso 3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{- \frac{1}{9} + \frac{16 x^{2}}{9}}$

Paso 4

Simplifica $\pm \sqrt{- \frac{1}{9} + \frac{16 x^{2}}{9}}$ .

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Paso 4.1

Reescribe $16 x^{2}$ como ${(4 x)}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{1}{9} + \frac{{(4 x)}^{2}}{9}}$

Paso 4.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{1}{9} + \frac{{(4 x)}^{2}}{3^{2}}}$

Paso 4.3

Reescribe $\frac{{(4 x)}^{2}}{3^{2}}$ como ${(\frac{4 x}{3})}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{1}{9} + {(\frac{4 x}{3})}^{2}}$

Paso 4.4

Simplifica la expresión.

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Paso 4.4.1

Reescribe $\frac{1}{9}$ como ${(\frac{1}{3})}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{- {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{4 x}{3})}^{2}}$

Paso 4.4.2

Reordena $- {(\frac{1}{3})}^{2}$ y ${(\frac{4 x}{3})}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{4 x}{3})}^{2} - {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Paso 4.5

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = \frac{4 x}{3}$ y $b = \frac{1}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{(\frac{4 x}{3} + \frac{1}{3}) (\frac{4 x}{3} - \frac{1}{3})}$

Paso 4.6

Simplifica los términos.

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Paso 4.6.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \pm \sqrt{\frac{4 x + 1}{3} (\frac{4 x}{3} - \frac{1}{3})}$

Paso 4.6.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \pm \sqrt{\frac{4 x + 1}{3} \cdot \frac{4 x - 1}{3}}$

Paso 4.6.3

Multiplica $\frac{4 x + 1}{3}$ por $\frac{4 x - 1}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{(4 x + 1) (4 x - 1)}{3 \cdot 3}}$

Paso 4.6.4

Multiplica $3$ por $3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{(4 x + 1) (4 x - 1)}{9}}$

Paso 4.7

Reescribe $\frac{(4 x + 1) (4 x - 1)}{9}$ como ${(\frac{1}{3})}^{2} ((4 x + 1) (4 x - 1))$ .

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Paso 4.7.1

Factoriza la potencia perfecta $1^{2}$ de $(4 x + 1) (4 x - 1)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} ((4 x + 1) (4 x - 1))}{9}}$

Paso 4.7.2

Factoriza la potencia perfecta $3^{2}$ de $9$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} ((4 x + 1) (4 x - 1))}{3^{2} \cdot 1}}$

Paso 4.7.3

Reorganiza la fracción $\frac{1^{2} ((4 x + 1) (4 x - 1))}{3^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} ((4 x + 1) (4 x - 1))}$

Paso 4.8

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \pm \frac{1}{3} \sqrt{(4 x + 1) (4 x - 1)}$

Paso 4.9

Combina $\frac{1}{3}$ y $\sqrt{(4 x + 1) (4 x - 1)}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{(4 x + 1) (4 x - 1)}}{3}$

Paso 5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$y = \frac{\sqrt{(4 x + 1) (4 x - 1)}}{3}$

Paso 5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$y = - \frac{\sqrt{(4 x + 1) (4 x - 1)}}{3}$

Paso 5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$y = \frac{\sqrt{(4 x + 1) (4 x - 1)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{(4 x + 1) (4 x - 1)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{(4 x + 1) (4 x - 1)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{(4 x + 1) (4 x - 1)}}{3}$

Paso 6

Establece el radicando en $\sqrt{(4 x + 1) (4 x - 1)}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$(4 x + 1) (4 x - 1) \geq 0$

Paso 7

Resuelve $x$

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Paso 7.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$4 x + 1 = 0$

$4 x - 1 = 0$

Paso 7.2

Establece $4 x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 7.2.1

Establece $4 x + 1$ igual a $0$ .

$4 x + 1 = 0$

Paso 7.2.2

Resuelve $4 x + 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 7.2.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$4 x = - 1$

Paso 7.2.2.2

Divide cada término en $4 x = - 1$ por $4$ y simplifica.

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Paso 7.2.2.2.1

Divide cada término en $4 x = - 1$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 1}{4}$

Paso 7.2.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.2.2.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 7.2.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 1}{4}$

Paso 7.2.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{4}$

Paso 7.2.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.2.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{1}{4}$

Paso 7.3

Establece $4 x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 7.3.1

Establece $4 x - 1$ igual a $0$ .

$4 x - 1 = 0$

Paso 7.3.2

Resuelve $4 x - 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 7.3.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$4 x = 1$

Paso 7.3.2.2

Divide cada término en $4 x = 1$ por $4$ y simplifica.

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Paso 7.3.2.2.1

Divide cada término en $4 x = 1$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Paso 7.3.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.3.2.2.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 7.3.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Paso 7.3.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{4}$

Paso 7.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $(4 x + 1) (4 x - 1) \geq 0$ verdadera.

$x = - \frac{1}{4}, \frac{1}{4}$

Paso 7.5

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - \frac{1}{4}$

$- \frac{1}{4} < x < \frac{1}{4}$

$x > \frac{1}{4}$

Paso 7.6

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 7.6.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - \frac{1}{4}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 7.6.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - \frac{1}{4}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 3$

Paso 7.6.1.2

Reemplaza $x$ con $- 3$ en la desigualdad original.

$(4 (- 3) + 1) (4 (- 3) - 1) \geq 0$

Paso 7.6.1.3

$143$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 7.6.2

Prueba un valor en el intervalo $- \frac{1}{4} < x < \frac{1}{4}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 7.6.2.1

Elije un valor en el intervalo $- \frac{1}{4} < x < \frac{1}{4}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 7.6.2.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$(4 (0) + 1) (4 (0) - 1) \geq 0$

Paso 7.6.2.3

$- 1$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 7.6.3

Prueba un valor en el intervalo $x > \frac{1}{4}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 7.6.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > \frac{1}{4}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 3$

Paso 7.6.3.2

Reemplaza $x$ con $3$ en la desigualdad original.

$(4 (3) + 1) (4 (3) - 1) \geq 0$

Paso 7.6.3.3

$143$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 7.6.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - \frac{1}{4}$ Verdadero

$- \frac{1}{4} < x < \frac{1}{4}$ Falso

$x > \frac{1}{4}$ Verdadero

$x < - \frac{1}{4}$ Verdadero

$- \frac{1}{4} < x < \frac{1}{4}$ Falso

$x > \frac{1}{4}$ Verdadero

Paso 7.7

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x \leq - \frac{1}{4}$ o $x \geq \frac{1}{4}$

Paso 8

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, - \frac{1}{4}] \cup [\frac{1}{4}, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \leq - \frac{1}{4}, x \geq \frac{1}{4}}$

Paso 9