Álgebra Ejemplos

${(2 x^{2} + 3 x y)}^{3}$

Paso 1

Usa el teorema de expansión binomial para obtener cada término. El teorema del binomio establece ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ .

$\sum_{k = 0}^{3} \frac{3!}{(3 - k)! k!} \cdot {(2 x^{2})}^{3 - k} \cdot {(3 x y)}^{k}$

Paso 2

Expande la suma.

$\frac{3!}{(3 - 0)! 0!} \cdot {(2 x^{2})}^{3 - 0} \cdot {(3 x y)}^{0} + \frac{3!}{(3 - 1)! 1!} \cdot {(2 x^{2})}^{3 - 1} \cdot {(3 x y)}^{1} + \frac{3!}{(3 - 2)! 2!} \cdot {(2 x^{2})}^{3 - 2} \cdot {(3 x y)}^{2} + \frac{3!}{(3 - 3)! 3!} \cdot {(2 x^{2})}^{3 - 3} \cdot {(3 x y)}^{3}$

Paso 3

Simplifica los exponentes para cada término de la expansión.

$1 \cdot {(2 x^{2})}^{3} \cdot {(3 x y)}^{0} + 3 \cdot {(2 x^{2})}^{2} \cdot {(3 x y)}^{1} + 3 \cdot {(2 x^{2})}^{1} \cdot {(3 x y)}^{2} + 1 \cdot {(2 x^{2})}^{0} \cdot {(3 x y)}^{3}$

Paso 4

Simplifica cada término.

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Paso 4.1

Multiplica ${(2 x^{2})}^{3}$ por $1$ .

${(2 x^{2})}^{3} \cdot {(3 x y)}^{0} + 3 \cdot {(2 x^{2})}^{2} \cdot {(3 x y)}^{1} + 3 \cdot {(2 x^{2})}^{1} \cdot {(3 x y)}^{2} + 1 \cdot {(2 x^{2})}^{0} \cdot {(3 x y)}^{3}$

Paso 4.2

Aplica la regla del producto a $2 x^{2}$ .

$2^{3} {(x^{2})}^{3} \cdot {(3 x y)}^{0} + 3 \cdot {(2 x^{2})}^{2} \cdot {(3 x y)}^{1} + 3 \cdot {(2 x^{2})}^{1} \cdot {(3 x y)}^{2} + 1 \cdot {(2 x^{2})}^{0} \cdot {(3 x y)}^{3}$

Paso 4.3

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$8 {(x^{2})}^{3} \cdot {(3 x y)}^{0} + 3 \cdot {(2 x^{2})}^{2} \cdot {(3 x y)}^{1} + 3 \cdot {(2 x^{2})}^{1} \cdot {(3 x y)}^{2} + 1 \cdot {(2 x^{2})}^{0} \cdot {(3 x y)}^{3}$

Paso 4.4

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{3}$ .

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Paso 4.4.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 x^{2 \cdot 3} \cdot {(3 x y)}^{0} + 3 \cdot {(2 x^{2})}^{2} \cdot {(3 x y)}^{1} + 3 \cdot {(2 x^{2})}^{1} \cdot {(3 x y)}^{2} + 1 \cdot {(2 x^{2})}^{0} \cdot {(3 x y)}^{3}$

Paso 4.4.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$8 x^{6} \cdot {(3 x y)}^{0} + 3 \cdot {(2 x^{2})}^{2} \cdot {(3 x y)}^{1} + 3 \cdot {(2 x^{2})}^{1} \cdot {(3 x y)}^{2} + 1 \cdot {(2 x^{2})}^{0} \cdot {(3 x y)}^{3}$

Paso 4.5

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 4.5.1

Aplica la regla del producto a $3 x y$ .

$8 x^{6} \cdot ({(3 x)}^{0} y^{0}) + 3 \cdot {(2 x^{2})}^{2} \cdot {(3 x y)}^{1} + 3 \cdot {(2 x^{2})}^{1} \cdot {(3 x y)}^{2} + 1 \cdot {(2 x^{2})}^{0} \cdot {(3 x y)}^{3}$

Paso 4.5.2

Aplica la regla del producto a $3 x$ .

$8 x^{6} \cdot (3^{0} x^{0} y^{0}) + 3 \cdot {(2 x^{2})}^{2} \cdot {(3 x y)}^{1} + 3 \cdot {(2 x^{2})}^{1} \cdot {(3 x y)}^{2} + 1 \cdot {(2 x^{2})}^{0} \cdot {(3 x y)}^{3}$

Paso 4.6

Multiplica $x^{6}$ por $x^{0}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.6.1

Mueve $x^{0}$ .

$8 (x^{0} x^{6}) \cdot (3^{0} y^{0}) + 3 \cdot {(2 x^{2})}^{2} \cdot {(3 x y)}^{1} + 3 \cdot {(2 x^{2})}^{1} \cdot {(3 x y)}^{2} + 1 \cdot {(2 x^{2})}^{0} \cdot {(3 x y)}^{3}$

Paso 4.6.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$8 x^{0 + 6} \cdot (3^{0} y^{0}) + 3 \cdot {(2 x^{2})}^{2} \cdot {(3 x y)}^{1} + 3 \cdot {(2 x^{2})}^{1} \cdot {(3 x y)}^{2} + 1 \cdot {(2 x^{2})}^{0} \cdot {(3 x y)}^{3}$

Paso 4.6.3

Suma $0$ y $6$ .

$8 x^{6} \cdot (3^{0} y^{0}) + 3 \cdot {(2 x^{2})}^{2} \cdot {(3 x y)}^{1} + 3 \cdot {(2 x^{2})}^{1} \cdot {(3 x y)}^{2} + 1 \cdot {(2 x^{2})}^{0} \cdot {(3 x y)}^{3}$

Paso 4.7

Simplifica $8 x^{6} \cdot (3^{0} y^{0})$ .

$8 x^{6} + 3 \cdot {(2 x^{2})}^{2} \cdot {(3 x y)}^{1} + 3 \cdot {(2 x^{2})}^{1} \cdot {(3 x y)}^{2} + 1 \cdot {(2 x^{2})}^{0} \cdot {(3 x y)}^{3}$

Paso 4.8

Aplica la regla del producto a $2 x^{2}$ .

$8 x^{6} + 3 \cdot (2^{2} {(x^{2})}^{2}) \cdot {(3 x y)}^{1} + 3 \cdot {(2 x^{2})}^{1} \cdot {(3 x y)}^{2} + 1 \cdot {(2 x^{2})}^{0} \cdot {(3 x y)}^{3}$

Paso 4.9

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$8 x^{6} + 3 \cdot (4 {(x^{2})}^{2}) \cdot {(3 x y)}^{1} + 3 \cdot {(2 x^{2})}^{1} \cdot {(3 x y)}^{2} + 1 \cdot {(2 x^{2})}^{0} \cdot {(3 x y)}^{3}$

Paso 4.10

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{2}$ .

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Paso 4.10.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 x^{6} + 3 \cdot (4 x^{2 \cdot 2}) \cdot {(3 x y)}^{1} + 3 \cdot {(2 x^{2})}^{1} \cdot {(3 x y)}^{2} + 1 \cdot {(2 x^{2})}^{0} \cdot {(3 x y)}^{3}$

Paso 4.10.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$8 x^{6} + 3 \cdot (4 x^{4}) \cdot {(3 x y)}^{1} + 3 \cdot {(2 x^{2})}^{1} \cdot {(3 x y)}^{2} + 1 \cdot {(2 x^{2})}^{0} \cdot {(3 x y)}^{3}$

Paso 4.11

Multiplica $4$ por $3$ .

$8 x^{6} + 12 x^{4} \cdot {(3 x y)}^{1} + 3 \cdot {(2 x^{2})}^{1} \cdot {(3 x y)}^{2} + 1 \cdot {(2 x^{2})}^{0} \cdot {(3 x y)}^{3}$

Paso 4.12

Simplifica.

$8 x^{6} + 12 x^{4} \cdot (3 x y) + 3 \cdot {(2 x^{2})}^{1} \cdot {(3 x y)}^{2} + 1 \cdot {(2 x^{2})}^{0} \cdot {(3 x y)}^{3}$

Paso 4.13

Multiplica $x^{4}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 4.13.1

Mueve $x$ .

$8 x^{6} + 12 (x \cdot x^{4}) \cdot (3 y) + 3 \cdot {(2 x^{2})}^{1} \cdot {(3 x y)}^{2} + 1 \cdot {(2 x^{2})}^{0} \cdot {(3 x y)}^{3}$

Paso 4.13.2

Multiplica $x$ por $x^{4}$ .

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Paso 4.13.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$8 x^{6} + 12 (x^{1} x^{4}) \cdot (3 y) + 3 \cdot {(2 x^{2})}^{1} \cdot {(3 x y)}^{2} + 1 \cdot {(2 x^{2})}^{0} \cdot {(3 x y)}^{3}$

Paso 4.13.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$8 x^{6} + 12 x^{1 + 4} \cdot (3 y) + 3 \cdot {(2 x^{2})}^{1} \cdot {(3 x y)}^{2} + 1 \cdot {(2 x^{2})}^{0} \cdot {(3 x y)}^{3}$

Paso 4.13.3

Suma $1$ y $4$ .

$8 x^{6} + 12 x^{5} \cdot (3 y) + 3 \cdot {(2 x^{2})}^{1} \cdot {(3 x y)}^{2} + 1 \cdot {(2 x^{2})}^{0} \cdot {(3 x y)}^{3}$

Paso 4.14

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$8 x^{6} + 12 \cdot 3 x^{5} y + 3 \cdot {(2 x^{2})}^{1} \cdot {(3 x y)}^{2} + 1 \cdot {(2 x^{2})}^{0} \cdot {(3 x y)}^{3}$

Paso 4.15

Multiplica $12$ por $3$ .

$8 x^{6} + 36 x^{5} y + 3 \cdot {(2 x^{2})}^{1} \cdot {(3 x y)}^{2} + 1 \cdot {(2 x^{2})}^{0} \cdot {(3 x y)}^{3}$

Paso 4.16

Simplifica.

$8 x^{6} + 36 x^{5} y + 3 \cdot (2 x^{2}) \cdot {(3 x y)}^{2} + 1 \cdot {(2 x^{2})}^{0} \cdot {(3 x y)}^{3}$

Paso 4.17

Multiplica $2$ por $3$ .

$8 x^{6} + 36 x^{5} y + 6 x^{2} \cdot {(3 x y)}^{2} + 1 \cdot {(2 x^{2})}^{0} \cdot {(3 x y)}^{3}$

Paso 4.18

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 4.18.1

Aplica la regla del producto a $3 x y$ .

$8 x^{6} + 36 x^{5} y + 6 x^{2} \cdot ({(3 x)}^{2} y^{2}) + 1 \cdot {(2 x^{2})}^{0} \cdot {(3 x y)}^{3}$

Paso 4.18.2

Aplica la regla del producto a $3 x$ .

$8 x^{6} + 36 x^{5} y + 6 x^{2} \cdot (3^{2} x^{2} y^{2}) + 1 \cdot {(2 x^{2})}^{0} \cdot {(3 x y)}^{3}$

Paso 4.19

Multiplica $x^{2}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.19.1

Mueve $x^{2}$ .

$8 x^{6} + 36 x^{5} y + 6 (x^{2} x^{2}) \cdot (3^{2} y^{2}) + 1 \cdot {(2 x^{2})}^{0} \cdot {(3 x y)}^{3}$

Paso 4.19.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$8 x^{6} + 36 x^{5} y + 6 x^{2 + 2} \cdot (3^{2} y^{2}) + 1 \cdot {(2 x^{2})}^{0} \cdot {(3 x y)}^{3}$

Paso 4.19.3

Suma $2$ y $2$ .

$8 x^{6} + 36 x^{5} y + 6 x^{4} \cdot (3^{2} y^{2}) + 1 \cdot {(2 x^{2})}^{0} \cdot {(3 x y)}^{3}$

Paso 4.20

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$8 x^{6} + 36 x^{5} y + 6 \cdot 3^{2} x^{4} y^{2} + 1 \cdot {(2 x^{2})}^{0} \cdot {(3 x y)}^{3}$

Paso 4.21

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$8 x^{6} + 36 x^{5} y + 6 \cdot 9 x^{4} y^{2} + 1 \cdot {(2 x^{2})}^{0} \cdot {(3 x y)}^{3}$

Paso 4.22

Multiplica $6$ por $9$ .

$8 x^{6} + 36 x^{5} y + 54 x^{4} y^{2} + 1 \cdot {(2 x^{2})}^{0} \cdot {(3 x y)}^{3}$

Paso 4.23

Multiplica ${(2 x^{2})}^{0}$ por $1$ .

$8 x^{6} + 36 x^{5} y + 54 x^{4} y^{2} + {(2 x^{2})}^{0} \cdot {(3 x y)}^{3}$

Paso 4.24

Aplica la regla del producto a $2 x^{2}$ .

$8 x^{6} + 36 x^{5} y + 54 x^{4} y^{2} + 2^{0} {(x^{2})}^{0} \cdot {(3 x y)}^{3}$

Paso 4.25

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$8 x^{6} + 36 x^{5} y + 54 x^{4} y^{2} + 1 {(x^{2})}^{0} \cdot {(3 x y)}^{3}$

Paso 4.26

Multiplica ${(x^{2})}^{0}$ por $1$ .

$8 x^{6} + 36 x^{5} y + 54 x^{4} y^{2} + {(x^{2})}^{0} \cdot {(3 x y)}^{3}$

Paso 4.27

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{0}$ .

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Paso 4.27.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 x^{6} + 36 x^{5} y + 54 x^{4} y^{2} + x^{2 \cdot 0} \cdot {(3 x y)}^{3}$

Paso 4.27.2

Multiplica $2$ por $0$ .

$8 x^{6} + 36 x^{5} y + 54 x^{4} y^{2} + x^{0} \cdot {(3 x y)}^{3}$

Paso 4.28

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$8 x^{6} + 36 x^{5} y + 54 x^{4} y^{2} + 1 \cdot {(3 x y)}^{3}$

Paso 4.29

Multiplica ${(3 x y)}^{3}$ por $1$ .

$8 x^{6} + 36 x^{5} y + 54 x^{4} y^{2} + {(3 x y)}^{3}$

Paso 4.30

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 4.30.1

Aplica la regla del producto a $3 x y$ .

$8 x^{6} + 36 x^{5} y + 54 x^{4} y^{2} + {(3 x)}^{3} y^{3}$

Paso 4.30.2

Aplica la regla del producto a $3 x$ .

$8 x^{6} + 36 x^{5} y + 54 x^{4} y^{2} + 3^{3} x^{3} y^{3}$

Paso 4.31

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$8 x^{6} + 36 x^{5} y + 54 x^{4} y^{2} + 27 x^{3} y^{3}$