Álgebra Ejemplos

$\frac{{(x - 3)}^{2}}{49} - \frac{{(y + 2)}^{2}}{16} = 1$

Paso 1

Simplifica cada término en la ecuación para establecer el lado derecho igual a $1$ . La ecuación ordinaria de una elipse o hipérbola requiere que el lado derecho de la ecuación sea $1$ .

$\frac{{(x - 3)}^{2}}{49} - \frac{{(y + 2)}^{2}}{16} = 1$

Paso 2

Esta es la forma de una hipérbola. Usa esta forma para determinar los valores usados a fin de obtener las asíntotas y la hipérbola.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Paso 3

Haz coincidir los valores de esta hipérbola con los de la ecuación ordinaria. La variable $h$ representa el desplazamiento de x desde el origen, $k$ representa el desplazamiento de y desde el origen, $a$ .

$a = 7$

$b = 4$

$k = - 2$

$h = 3$

Paso 4

Las asíntotas siguen la forma $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ porque esta hipérbola abre hacia la izquierda y la derecha.

$y = \pm \frac{4}{7} \cdot (x - (3)) - 2$

Paso 5

Simplifica para obtener la primera asíntota.

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Paso 5.1

Elimina los paréntesis.

$y = \frac{4}{7} \cdot (x - (3)) - 2$

Paso 5.2

Simplifica $\frac{4}{7} \cdot (x - (3)) - 2$ .

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Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$y = \frac{4}{7} \cdot (x - 3) - 2$

Paso 5.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{4}{7} x + \frac{4}{7} \cdot - 3 - 2$

Paso 5.2.1.3

Combina $\frac{4}{7}$ y $x$ .

$y = \frac{4 x}{7} + \frac{4}{7} \cdot - 3 - 2$

Paso 5.2.1.4

Multiplica $\frac{4}{7} \cdot - 3$ .

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Paso 5.2.1.4.1

Combina $\frac{4}{7}$ y $- 3$ .

$y = \frac{4 x}{7} + \frac{4 \cdot - 3}{7} - 2$

Paso 5.2.1.4.2

Multiplica $4$ por $- 3$ .

$y = \frac{4 x}{7} + \frac{- 12}{7} - 2$

Paso 5.2.1.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = \frac{4 x}{7} - \frac{12}{7} - 2$

Paso 5.2.2

Para escribir $- 2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{7}{7}$ .

$y = \frac{4 x}{7} - \frac{12}{7} - 2 \cdot \frac{7}{7}$

Paso 5.2.3

Combina $- 2$ y $\frac{7}{7}$ .

$y = \frac{4 x}{7} - \frac{12}{7} + \frac{- 2 \cdot 7}{7}$

Paso 5.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{4 x}{7} + \frac{- 12 - 2 \cdot 7}{7}$

Paso 5.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.5.1

Multiplica $- 2$ por $7$ .

$y = \frac{4 x}{7} + \frac{- 12 - 14}{7}$

Paso 5.2.5.2

Resta $14$ de $- 12$ .

$y = \frac{4 x}{7} + \frac{- 26}{7}$

Paso 5.2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = \frac{4 x}{7} - \frac{26}{7}$

Paso 6

Simplifica para obtener la segunda asíntota.

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Paso 6.1

Elimina los paréntesis.

$y = - \frac{4}{7} \cdot (x - (3)) - 2$

Paso 6.2

Simplifica $- \frac{4}{7} \cdot (x - (3)) - 2$ .

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$y = - \frac{4}{7} \cdot (x - 3) - 2$

Paso 6.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y = - \frac{4}{7} x - \frac{4}{7} \cdot - 3 - 2$

Paso 6.2.1.3

Combina $x$ y $\frac{4}{7}$ .

$y = - \frac{x \cdot 4}{7} - \frac{4}{7} \cdot - 3 - 2$

Paso 6.2.1.4

Multiplica $- \frac{4}{7} \cdot - 3$ .

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Paso 6.2.1.4.1

Multiplica $- 3$ por $- 1$ .

$y = - \frac{x \cdot 4}{7} + 3 (\frac{4}{7}) - 2$

Paso 6.2.1.4.2

Combina $3$ y $\frac{4}{7}$ .

$y = - \frac{x \cdot 4}{7} + \frac{3 \cdot 4}{7} - 2$

Paso 6.2.1.4.3

Multiplica $3$ por $4$ .

$y = - \frac{x \cdot 4}{7} + \frac{12}{7} - 2$

Paso 6.2.1.5

Mueve $4$ a la izquierda de $x$ .

$y = - \frac{4 x}{7} + \frac{12}{7} - 2$

Paso 6.2.2

Para escribir $- 2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{7}{7}$ .

$y = - \frac{4 x}{7} + \frac{12}{7} - 2 \cdot \frac{7}{7}$

Paso 6.2.3

Combina $- 2$ y $\frac{7}{7}$ .

$y = - \frac{4 x}{7} + \frac{12}{7} + \frac{- 2 \cdot 7}{7}$

Paso 6.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = - \frac{4 x}{7} + \frac{12 - 2 \cdot 7}{7}$

Paso 6.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 6.2.5.1

Multiplica $- 2$ por $7$ .

$y = - \frac{4 x}{7} + \frac{12 - 14}{7}$

Paso 6.2.5.2

Resta $14$ de $12$ .

$y = - \frac{4 x}{7} + \frac{- 2}{7}$

Paso 6.2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{4 x}{7} - \frac{2}{7}$

Paso 7

Esta hipérbola tiene dos asíntotas.

$y = \frac{4 x}{7} - \frac{26}{7}, y = - \frac{4 x}{7} - \frac{2}{7}$

Paso 8

Las asíntotas son $y = \frac{4 x}{7} - \frac{26}{7}$ y $y = - \frac{4 x}{7} - \frac{2}{7}$ .

Asíntotas: $y = \frac{4 x}{7} - \frac{26}{7}, y = - \frac{4 x}{7} - \frac{2}{7}$

Paso 9