Álgebra Ejemplos

$x^{2} \leq 2 x + 2$

Paso 1

Resuelve $1 - \sqrt{3} \leq x \leq 1 + \sqrt{3}$ .

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Paso 1.1

Resta $2 x$ de ambos lados de la desigualdad.

$x^{2} - 2 x \leq 2$

Paso 1.2

Resta $2$ de ambos lados de la desigualdad.

$x^{2} - 2 x - 2 \leq 0$

Paso 1.3

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$x^{2} - 2 x - 2 = 0$

Paso 1.4

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 1.5

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = - 2$ y $c = - 2$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 2)}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.6

Simplifica.

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Paso 1.6.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.6.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.6.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 2$ .

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Paso 1.6.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.6.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $- 2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.6.1.3

Suma $4$ y $8$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.6.1.4

Reescribe $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

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Paso 1.6.1.4.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.6.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.6.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.6.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

Paso 1.6.3

Simplifica $\frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{3}$

Paso 1.7

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 1.7.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.7.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.7.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 2$ .

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Paso 1.7.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.7.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $- 2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.7.1.3

Suma $4$ y $8$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.7.1.4

Reescribe $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

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Paso 1.7.1.4.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.7.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.7.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.7.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

Paso 1.7.3

Simplifica $\frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{3}$

Paso 1.7.4

Cambia $\pm$ a $+$ .

$x = 1 + \sqrt{3}$

Paso 1.8

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 1.8.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.8.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.8.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 2$ .

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Paso 1.8.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.8.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $- 2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.8.1.3

Suma $4$ y $8$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.8.1.4

Reescribe $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

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Paso 1.8.1.4.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.8.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.8.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.8.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

Paso 1.8.3

Simplifica $\frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{3}$

Paso 1.8.4

Cambia $\pm$ a $-$ .

$x = 1 - \sqrt{3}$

Paso 1.9

Consolida las soluciones.

$x = 1 + \sqrt{3}, 1 - \sqrt{3}$

Paso 1.10

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < 1 - \sqrt{3}$

$1 - \sqrt{3} < x < 1 + \sqrt{3}$

$x > 1 + \sqrt{3}$

Paso 1.11

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 1.11.1

Prueba un valor en el intervalo $x < 1 - \sqrt{3}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 1.11.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < 1 - \sqrt{3}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 3$

Paso 1.11.1.2

Reemplaza $x$ con $- 3$ en la desigualdad original.

${(- 3)}^{2} \leq 2 (- 3) + 2$

Paso 1.11.1.3

$9$ del lado izquierdo es mayor que $- 4$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 1.11.2

Prueba un valor en el intervalo $1 - \sqrt{3} < x < 1 + \sqrt{3}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 1.11.2.1

Elije un valor en el intervalo $1 - \sqrt{3} < x < 1 + \sqrt{3}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 1.11.2.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

${(0)}^{2} \leq 2 (0) + 2$

Paso 1.11.2.3

$0$ del lado izquierdo es menor que $2$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 1.11.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 1 + \sqrt{3}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 1.11.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 1 + \sqrt{3}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 5$

Paso 1.11.3.2

Reemplaza $x$ con $5$ en la desigualdad original.

${(5)}^{2} \leq 2 (5) + 2$

Paso 1.11.3.3

$25$ del lado izquierdo es mayor que $12$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 1.11.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < 1 - \sqrt{3}$ Falso

$1 - \sqrt{3} < x < 1 + \sqrt{3}$ Verdadero

$x > 1 + \sqrt{3}$ Falso

$x < 1 - \sqrt{3}$ Falso

$1 - \sqrt{3} < x < 1 + \sqrt{3}$ Verdadero

$x > 1 + \sqrt{3}$ Falso

Paso 1.12

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$1 - \sqrt{3} \leq x \leq 1 + \sqrt{3}$

Paso 2

Usa la desigualdad $1 - \sqrt{3} \leq x \leq 1 + \sqrt{3}$ para crear la notación de conjunto.

${x | 1 - \sqrt{3} \leq x \leq 1 + \sqrt{3}}$

Paso 3