Álgebra Ejemplos

$f (x) = 3 x^{2} + 5$ , $x \geq 0$

Paso 1

Obtén el rango de la función dada.

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Paso 1.1

El rango es el conjunto de todos los valores $y$ válidos. Usa la gráfica para obtener el rango.

$[5, \infty)$

Paso 1.2

Convierte $[5, \infty)$ en una desigualdad.

$y \geq 5$

Paso 2

Obtén la inversa.

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Paso 2.1

Intercambia las variables.

$x = 3 y^{2} + 5$

Paso 2.2

Resuelve $y$

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Paso 2.2.1

Reescribe la ecuación como $3 y^{2} + 5 = x$ .

$3 y^{2} + 5 = x$

Paso 2.2.2

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$3 y^{2} = x - 5$

Paso 2.2.3

Divide cada término en $3 y^{2} = x - 5$ por $3$ y simplifica.

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Paso 2.2.3.1

Divide cada término en $3 y^{2} = x - 5$ por $3$ .

$\frac{3 y^{2}}{3} = \frac{x}{3} + \frac{- 5}{3}$

Paso 2.2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.3.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.2.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 y^{2}}{3} = \frac{x}{3} + \frac{- 5}{3}$

Paso 2.2.3.2.1.2

Divide $y^{2}$ por $1$ .

$y^{2} = \frac{x}{3} + \frac{- 5}{3}$

Paso 2.2.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.2.3.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y^{2} = \frac{x}{3} - \frac{5}{3}$

Paso 2.2.4

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \pm \sqrt{\frac{x}{3} - \frac{5}{3}}$

Paso 2.2.5

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{x}{3} - \frac{5}{3}}$ .

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Paso 2.2.5.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \pm \sqrt{\frac{x - 5}{3}}$

Paso 2.2.5.2

Reescribe $\sqrt{\frac{x - 5}{3}}$ como $\frac{\sqrt{x - 5}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 5}}{\sqrt{3}}$

Paso 2.2.5.3

Multiplica $\frac{\sqrt{x - 5}}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 5}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Paso 2.2.5.4

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 2.2.5.4.1

Multiplica $\frac{\sqrt{x - 5}}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 5} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Paso 2.2.5.4.2

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 5} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Paso 2.2.5.4.3

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 5} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Paso 2.2.5.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 5} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Paso 2.2.5.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 5} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Paso 2.2.5.4.6

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 2.2.5.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 5} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 2.2.5.4.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 5} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 2.2.5.4.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 5} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 2.2.5.4.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.5.4.6.4.1

Cancela el factor común.

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 5} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 2.2.5.4.6.4.2

Reescribe la expresión.

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 5} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Paso 2.2.5.4.6.5

Evalúa el exponente.

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 5} \sqrt{3}}{3}$

Paso 2.2.5.5

Combina con la regla del producto para radicales.

$y = \pm \frac{\sqrt{(x - 5) \cdot 3}}{3}$

Paso 2.2.5.6

Reordena los factores en $\pm \frac{\sqrt{(x - 5) \cdot 3}}{3}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{3 (x - 5)}}{3}$

Paso 2.2.6

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 2.2.6.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$y = \frac{\sqrt{3 (x - 5)}}{3}$

Paso 2.2.6.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$y = - \frac{\sqrt{3 (x - 5)}}{3}$

Paso 2.2.6.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$y = \frac{\sqrt{3 (x - 5)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (x - 5)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{3 (x - 5)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (x - 5)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{3 (x - 5)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (x - 5)}}{3}$

Paso 2.3

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{3 (x - 5)}}{3}, - \frac{\sqrt{3 (x - 5)}}{3}$

Paso 3

Obtén la inversa mediante el dominio y el rango de la función original.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{3 (x - 5)}}{3}, x \geq 5$

Paso 4