Álgebra Ejemplos

$f (x) = x^{2} - 2 x$ , $x \leq 1$

Paso 1

Obtén el rango de la función dada.

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Paso 1.1

El rango es el conjunto de todos los valores $y$ válidos. Usa la gráfica para obtener el rango.

$[- 1, \infty)$

Paso 1.2

Convierte $[- 1, \infty)$ en una desigualdad.

$y \geq - 1$

Paso 2

Obtén la inversa.

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Paso 2.1

Intercambia las variables.

$x = y^{2} - 2 y$

Paso 2.2

Resuelve $y$

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Paso 2.2.1

Reescribe la ecuación como $y^{2} - 2 y = x$ .

$y^{2} - 2 y = x$

Paso 2.2.2

Resta $x$ de ambos lados de la ecuación.

$y^{2} - 2 y - x = 0$

Paso 2.2.3

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 2.2.4

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = - 2$ y $c = - x$ en la fórmula cuadrática y resuelve $y$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- x))}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.2.5

Simplifica.

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Paso 2.2.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.5.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.2.5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Paso 2.2.5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.2.5.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.2.5.1.3

Factoriza $4$ de $4 + 4 x$ .

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Paso 2.2.5.1.3.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 \cdot 1 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.2.5.1.3.2

Factoriza $4$ de $4 \cdot 1 + 4 x$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (1 + x)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.2.5.1.4

Reescribe $4 (1 + x)$ como $2^{2} (1^{2} + x)$ .

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Paso 2.2.5.1.4.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (1 + x)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.2.5.1.4.2

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (1^{2} + x)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.2.5.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1^{2} + x}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.2.5.1.6

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + x}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.2.5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + x}}{2}$

Paso 2.2.5.3

Simplifica $\frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + x}}{2}$ .

$y = 1 \pm \sqrt{1 + x}$

Paso 2.2.6

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 2.2.6.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.6.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.2.6.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Paso 2.2.6.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.2.6.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.2.6.1.3

Factoriza $4$ de $4 + 4 x$ .

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Paso 2.2.6.1.3.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 \cdot 1 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.2.6.1.3.2

Factoriza $4$ de $4 \cdot 1 + 4 x$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (1 + x)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.2.6.1.4

Reescribe $4 (1 + x)$ como $2^{2} (1^{2} + x)$ .

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Paso 2.2.6.1.4.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (1 + x)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.2.6.1.4.2

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (1^{2} + x)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.2.6.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1^{2} + x}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.2.6.1.6

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + x}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.2.6.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + x}}{2}$

Paso 2.2.6.3

Simplifica $\frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + x}}{2}$ .

$y = 1 \pm \sqrt{1 + x}$

Paso 2.2.6.4

Cambia $\pm$ a $+$ .

$y = 1 + \sqrt{1 + x}$

Paso 2.2.7

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 2.2.7.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.7.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.2.7.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Paso 2.2.7.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.2.7.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.2.7.1.3

Factoriza $4$ de $4 + 4 x$ .

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Paso 2.2.7.1.3.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 \cdot 1 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.2.7.1.3.2

Factoriza $4$ de $4 \cdot 1 + 4 x$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (1 + x)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.2.7.1.4

Reescribe $4 (1 + x)$ como $2^{2} (1^{2} + x)$ .

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Paso 2.2.7.1.4.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (1 + x)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.2.7.1.4.2

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (1^{2} + x)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.2.7.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1^{2} + x}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.2.7.1.6

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + x}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.2.7.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + x}}{2}$

Paso 2.2.7.3

Simplifica $\frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + x}}{2}$ .

$y = 1 \pm \sqrt{1 + x}$

Paso 2.2.7.4

Cambia $\pm$ a $-$ .

$y = 1 - \sqrt{1 + x}$

Paso 2.2.8

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$y = 1 + \sqrt{1 + x}$

$y = 1 - \sqrt{1 + x}$

$y = 1 + \sqrt{1 + x}$

$y = 1 - \sqrt{1 + x}$

Paso 2.3

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = 1 + \sqrt{1 + x}, 1 - \sqrt{1 + x}$

Paso 3

Obtén la inversa mediante el dominio y el rango de la función original.

$f^{- 1} (x) = 1 - \sqrt{1 + x}, x \geq - 1$

Paso 4