Álgebra Ejemplos

$f (x) = 9 x^{3} + 9 x^{2} - 4 x - 4$

Paso 1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4$

$q = \pm 1, \pm 3, \pm 9$

Paso 2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm \frac{1}{3}, \pm \frac{1}{9}, \pm 2, \pm \frac{2}{3}, \pm \frac{2}{9}, \pm 4, \pm \frac{4}{3}, \pm \frac{4}{9}$

Paso 3

Sustituye las posibles raíces una por una en el polinomio para obtener las raíces reales. Simplifica para comprobar si el valor es $0$ , lo que significa que es una raíz.

$9 {(- 1)}^{3} + 9 {(- 1)}^{2} - 4 \cdot - 1 - 4$

Paso 4

Simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $x = - 1$ es una raíz del polinomio.

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Paso 4.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$9 \cdot - 1 + 9 {(- 1)}^{2} - 4 \cdot - 1 - 4$

Paso 4.1.2

Multiplica $9$ por $- 1$ .

$- 9 + 9 {(- 1)}^{2} - 4 \cdot - 1 - 4$

Paso 4.1.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$- 9 + 9 \cdot 1 - 4 \cdot - 1 - 4$

Paso 4.1.4

Multiplica $9$ por $1$ .

$- 9 + 9 - 4 \cdot - 1 - 4$

Paso 4.1.5

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$- 9 + 9 + 4 - 4$

Paso 4.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 4.2.1

Suma $- 9$ y $9$ .

$0 + 4 - 4$

Paso 4.2.2

Suma $0$ y $4$ .

$4 - 4$

Paso 4.2.3

Resta $4$ de $4$ .

$0$

Paso 5

Como $- 1$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x + 1$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{9 x^{3} + 9 x^{2} - 4 x - 4}{x + 1}$

Paso 6

Luego, obtén las raíces del polinomio restante. El orden del polinomio se ha reducido por $1$ .

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Paso 6.1

Coloca los números que representan el divisor y el dividendo en una configuración tipo división.

$- 1$	$9$	$9$	$- 4$	$- 4$

Paso 6.2

El primer número en el dividendo $(9)$ se pone en la primera posición del área del resultado (debajo de la recta horizontal).

$- 1$	$9$	$9$	$- 4$	$- 4$

	$9$

Paso 6.3

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(9)$ por el divisor $(- 1)$ y coloca el resultado de $(- 9)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(9)$ .

$- 1$	$9$	$9$	$- 4$	$- 4$
		$- 9$
	$9$

Paso 6.4

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- 1$	$9$	$9$	$- 4$	$- 4$
		$- 9$
	$9$	$0$

Paso 6.5

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(0)$ por el divisor $(- 1)$ y coloca el resultado de $(0)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 4)$ .

$- 1$	$9$	$9$	$- 4$	$- 4$
		$- 9$	$0$
	$9$	$0$

Paso 6.6

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- 1$	$9$	$9$	$- 4$	$- 4$
		$- 9$	$0$
	$9$	$0$	$- 4$

Paso 6.7

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(- 4)$ por el divisor $(- 1)$ y coloca el resultado de $(4)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 4)$ .

$- 1$	$9$	$9$	$- 4$	$- 4$
		$- 9$	$0$	$4$
	$9$	$0$	$- 4$

Paso 6.8

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- 1$	$9$	$9$	$- 4$	$- 4$
		$- 9$	$0$	$4$
	$9$	$0$	$- 4$	$0$

Paso 6.9

Todos los números excepto el último se convierten en coeficientes del polinomio del cociente. El último valor de la línea del resultado es el resto.

$9 x^{2} + 0 x - 4$

Paso 6.10

Simplifica el polinomio del cociente.

$9 x^{2} - 4$

Paso 7

Reescribe $9 x^{2}$ como ${(3 x)}^{2}$ .

$(x + 1) {(3 x)}^{2} - 4$

Paso 8

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$(x + 1) {(3 x)}^{2} - 2^{2}$

Paso 9

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 3 x$ y $b = 2$ .

$(x + 1) (3 x + 2) (3 x - 2)$

Paso 10

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 10.1

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 10.1.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(9 x^{3} + 9 x^{2}) - 4 x - 4 = 0$

Paso 10.1.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$9 x^{2} (x + 1) - 4 (x + 1) = 0$

Paso 10.2

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $x + 1$ .

$(x + 1) (9 x^{2} - 4) = 0$

Paso 10.3

Reescribe $9 x^{2}$ como ${(3 x)}^{2}$ .

$(x + 1) ({(3 x)}^{2} - 4) = 0$

Paso 10.4

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$(x + 1) ({(3 x)}^{2} - 2^{2}) = 0$

Paso 10.5

Factoriza.

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Paso 10.5.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 3 x$ y $b = 2$ .

$(x + 1) ((3 x + 2) (3 x - 2)) = 0$

Paso 10.5.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(x + 1) (3 x + 2) (3 x - 2) = 0$

Paso 11

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

$3 x + 2 = 0$

$3 x - 2 = 0$

Paso 12

Establece $x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 12.1

Establece $x + 1$ igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Paso 12.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 13

Establece $3 x + 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 13.1

Establece $3 x + 2$ igual a $0$ .

$3 x + 2 = 0$

Paso 13.2

Resuelve $3 x + 2 = 0$ en $x$ .

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Paso 13.2.1

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$3 x = - 2$

Paso 13.2.2

Divide cada término en $3 x = - 2$ por $3$ y simplifica.

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Paso 13.2.2.1

Divide cada término en $3 x = - 2$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Paso 13.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 13.2.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 13.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Paso 13.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 2}{3}$

Paso 13.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 13.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{2}{3}$

Paso 14

Establece $3 x - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 14.1

Establece $3 x - 2$ igual a $0$ .

$3 x - 2 = 0$

Paso 14.2

Resuelve $3 x - 2 = 0$ en $x$ .

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Paso 14.2.1

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$3 x = 2$

Paso 14.2.2

Divide cada término en $3 x = 2$ por $3$ y simplifica.

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Paso 14.2.2.1

Divide cada término en $3 x = 2$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Paso 14.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 14.2.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 14.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Paso 14.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{2}{3}$

Paso 15

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x + 1) (3 x + 2) (3 x - 2) = 0$ verdadera.

$x = - 1, - \frac{2}{3}, \frac{2}{3}$

Paso 16