Álgebra Ejemplos

$8 x^{2} - 3 = \sqrt{16 x + 9}$

Paso 1

Como el radical está en el lado derecho de la ecuación, cambia los lados para que quede en el lado izquierdo de la ecuación.

$\sqrt{16 x + 9} = 8 x^{2} - 3$

Paso 2

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{16 x + 9}}^{2} = {(8 x^{2} - 3)}^{2}$

Paso 3

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{16 x + 9}$ como ${(16 x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(16 x + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(8 x^{2} - 3)}^{2}$

Paso 3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Simplifica ${({(16 x + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(16 x + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(16 x + 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(8 x^{2} - 3)}^{2}$

Paso 3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(16 x + 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(8 x^{2} - 3)}^{2}$

Paso 3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(16 x + 9)}^{1} = {(8 x^{2} - 3)}^{2}$

Paso 3.2.1.2

Simplifica.

$16 x + 9 = {(8 x^{2} - 3)}^{2}$

Paso 3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.1

Simplifica ${(8 x^{2} - 3)}^{2}$ .

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Paso 3.3.1.1

Reescribe ${(8 x^{2} - 3)}^{2}$ como $(8 x^{2} - 3) (8 x^{2} - 3)$ .

$16 x + 9 = (8 x^{2} - 3) (8 x^{2} - 3)$

Paso 3.3.1.2

Expande $(8 x^{2} - 3) (8 x^{2} - 3)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.3.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$16 x + 9 = 8 x^{2} (8 x^{2} - 3) - 3 (8 x^{2} - 3)$

Paso 3.3.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$16 x + 9 = 8 x^{2} (8 x^{2}) + 8 x^{2} \cdot - 3 - 3 (8 x^{2} - 3)$

Paso 3.3.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$16 x + 9 = 8 x^{2} (8 x^{2}) + 8 x^{2} \cdot - 3 - 3 (8 x^{2}) - 3 \cdot - 3$

Paso 3.3.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.3.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.1.3.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$16 x + 9 = 8 \cdot 8 x^{2} x^{2} + 8 x^{2} \cdot - 3 - 3 (8 x^{2}) - 3 \cdot - 3$

Paso 3.3.1.3.1.2

Multiplica $x^{2}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.3.1.3.1.2.1

Mueve $x^{2}$ .

$16 x + 9 = 8 \cdot 8 (x^{2} x^{2}) + 8 x^{2} \cdot - 3 - 3 (8 x^{2}) - 3 \cdot - 3$

Paso 3.3.1.3.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$16 x + 9 = 8 \cdot 8 x^{2 + 2} + 8 x^{2} \cdot - 3 - 3 (8 x^{2}) - 3 \cdot - 3$

Paso 3.3.1.3.1.2.3

Suma $2$ y $2$ .

$16 x + 9 = 8 \cdot 8 x^{4} + 8 x^{2} \cdot - 3 - 3 (8 x^{2}) - 3 \cdot - 3$

Paso 3.3.1.3.1.3

Multiplica $8$ por $8$ .

$16 x + 9 = 64 x^{4} + 8 x^{2} \cdot - 3 - 3 (8 x^{2}) - 3 \cdot - 3$

Paso 3.3.1.3.1.4

Multiplica $- 3$ por $8$ .

$16 x + 9 = 64 x^{4} - 24 x^{2} - 3 (8 x^{2}) - 3 \cdot - 3$

Paso 3.3.1.3.1.5

Multiplica $8$ por $- 3$ .

$16 x + 9 = 64 x^{4} - 24 x^{2} - 24 x^{2} - 3 \cdot - 3$

Paso 3.3.1.3.1.6

Multiplica $- 3$ por $- 3$ .

$16 x + 9 = 64 x^{4} - 24 x^{2} - 24 x^{2} + 9$

Paso 3.3.1.3.2

Resta $24 x^{2}$ de $- 24 x^{2}$ .

$16 x + 9 = 64 x^{4} - 48 x^{2} + 9$

Paso 4

Resuelve $x$

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Paso 4.1

Como $x$ está en el lado derecho de la ecuación, cambia los lados para que quede en el lado izquierdo de la ecuación.

$64 x^{4} - 48 x^{2} + 9 = 16 x + 9$

Paso 4.2

Resta $16 x$ de ambos lados de la ecuación.

$64 x^{4} - 48 x^{2} + 9 - 16 x = 9$

Paso 4.3

Resta $9$ de ambos lados de la ecuación.

$64 x^{4} - 48 x^{2} + 9 - 16 x - 9 = 0$

Paso 4.4

Combina los términos opuestos en $64 x^{4} - 48 x^{2} + 9 - 16 x - 9$ .

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Paso 4.4.1

Resta $9$ de $9$ .

$64 x^{4} - 48 x^{2} - 16 x + 0 = 0$

Paso 4.4.2

Suma $64 x^{4} - 48 x^{2} - 16 x$ y $0$ .

$64 x^{4} - 48 x^{2} - 16 x = 0$

Paso 4.5

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 4.5.1

Factoriza $16 x$ de $64 x^{4} - 48 x^{2} - 16 x$ .

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Paso 4.5.1.1

Factoriza $16 x$ de $64 x^{4}$ .

$16 x (4 x^{3}) - 48 x^{2} - 16 x = 0$

Paso 4.5.1.2

Factoriza $16 x$ de $- 48 x^{2}$ .

$16 x (4 x^{3}) + 16 x (- 3 x) - 16 x = 0$

Paso 4.5.1.3

Factoriza $16 x$ de $- 16 x$ .

$16 x (4 x^{3}) + 16 x (- 3 x) + 16 x (- 1) = 0$

Paso 4.5.1.4

Factoriza $16 x$ de $16 x (4 x^{3}) + 16 x (- 3 x)$ .

$16 x (4 x^{3} - 3 x) + 16 x (- 1) = 0$

Paso 4.5.1.5

Factoriza $16 x$ de $16 x (4 x^{3} - 3 x) + 16 x (- 1)$ .

$16 x (4 x^{3} - 3 x - 1) = 0$

Paso 4.5.2

Factoriza $4 x^{3} - 3 x - 1$ mediante la prueba de raíces racionales.

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Paso 4.5.2.1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1$

$q = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

Paso 4.5.2.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 0.25, \pm 0.5$

Paso 4.5.2.3

Sustituye $- 0.5$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $- 0.5$ es una raíz del polinomio.

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Paso 4.5.2.3.1

Sustituye $- 0.5$ en el polinomio.

$4 {(- 0.5)}^{3} - 3 \cdot - 0.5 - 1$

Paso 4.5.2.3.2

Eleva $- 0.5$ a la potencia de $3$ .

$4 \cdot - 0.125 - 3 \cdot - 0.5 - 1$

Paso 4.5.2.3.3

Multiplica $4$ por $- 0.125$ .

$- 0.5 - 3 \cdot - 0.5 - 1$

Paso 4.5.2.3.4

Multiplica $- 3$ por $- 0.5$ .

$- 0.5 + 1.5 - 1$

Paso 4.5.2.3.5

Suma $- 0.5$ y $1.5$ .

$1 - 1$

Paso 4.5.2.3.6

Resta $1$ de $1$ .

$0$

Paso 4.5.2.4

Como $- 0.5$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $2 x + 1$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{4 x^{3} - 3 x - 1}{2 x + 1}$

Paso 4.5.2.5

Divide $4 x^{3} - 3 x - 1$ por $2 x + 1$ .

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Paso 4.5.2.5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$2 x$

$1$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$1$

Paso 4.5.2.5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $4 x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $2 x$ .

					$2 x^{2}$
	$2 x$	+	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$

Paso 4.5.2.5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$2 x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			+	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Paso 4.5.2.5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $4 x^{3} + 2 x^{2}$ .

				$2 x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			-	$4 x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Paso 4.5.2.5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$2 x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			-	$4 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$

Paso 4.5.2.5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$2 x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			-	$4 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$3 x$

Paso 4.5.2.5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 2 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $2 x$ .

				$2 x^{2}$	-	$x$
$2 x$	+	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			-	$4 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$3 x$

Paso 4.5.2.5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$2 x^{2}$	-	$x$
$2 x$	+	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			-	$4 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$x$

Paso 4.5.2.5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 2 x^{2} - x$ .

				$2 x^{2}$	-	$x$
$2 x$	+	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			-	$4 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$x$

Paso 4.5.2.5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$2 x^{2}$	-	$x$
$2 x$	+	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			-	$4 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$

Paso 4.5.2.5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$2 x^{2}$	-	$x$
$2 x$	+	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			-	$4 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$	-	$1$

Paso 4.5.2.5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 2 x$ por el término de mayor orden en el divisor $2 x$ .

				$2 x^{2}$	-	$x$	-	$1$
$2 x$	+	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			-	$4 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$	-	$1$

Paso 4.5.2.5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$2 x^{2}$	-	$x$	-	$1$
$2 x$	+	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			-	$4 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$	-	$1$
							-	$2 x$	-	$1$

Paso 4.5.2.5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 2 x - 1$ .

				$2 x^{2}$	-	$x$	-	$1$
$2 x$	+	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			-	$4 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$	-	$1$
							+	$2 x$	+	$1$

Paso 4.5.2.5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$2 x^{2}$	-	$x$	-	$1$
$2 x$	+	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			-	$4 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$	-	$1$
							+	$2 x$	+	$1$
										$0$

Paso 4.5.2.5.16

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$2 x^{2} - x - 1$

Paso 4.5.2.6

Escribe $4 x^{3} - 3 x - 1$ como un conjunto de factores.

$16 x ((2 x + 1) (2 x^{2} - x - 1)) = 0$

Paso 4.5.3

Factoriza por agrupación.

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Paso 4.5.3.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 4.5.3.1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ y cuya suma es $b = - 1$ .

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Paso 4.5.3.1.1.1

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$16 x ((2 x + 1) (2 x^{2} - (x) - 1)) = 0$

Paso 4.5.3.1.1.2

Reescribe $- 1$ como $1$ más $- 2$

$16 x ((2 x + 1) (2 x^{2} + (1 - 2) x - 1)) = 0$

Paso 4.5.3.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$16 x ((2 x + 1) (2 x^{2} + 1 x - 2 x - 1)) = 0$

Paso 4.5.3.1.1.4

Multiplica $x$ por $1$ .

$16 x ((2 x + 1) (2 x^{2} + x - 2 x - 1)) = 0$

Paso 4.5.3.1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 4.5.3.1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$16 x ((2 x + 1) ((2 x^{2} + x) - 2 x - 1)) = 0$

Paso 4.5.3.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$16 x ((2 x + 1) (x (2 x + 1) - (2 x + 1))) = 0$

Paso 4.5.3.1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 x + 1$ .

$16 x ((2 x + 1) ((2 x + 1) (x - 1))) = 0$

Paso 4.5.3.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$16 x ((2 x + 1) (2 x + 1) (x - 1)) = 0$

Paso 4.5.4

Factoriza.

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Paso 4.5.4.1

Combina factores semejantes.

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Paso 4.5.4.1.1

Eleva $2 x + 1$ a la potencia de $1$ .

$16 x ((2 x + 1) (2 x + 1) (x - 1)) = 0$

Paso 4.5.4.1.2

Eleva $2 x + 1$ a la potencia de $1$ .

$16 x ((2 x + 1) (2 x + 1) (x - 1)) = 0$

Paso 4.5.4.1.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$16 x ({(2 x + 1)}^{1 + 1} (x - 1)) = 0$

Paso 4.5.4.1.4

Suma $1$ y $1$ .

$16 x ({(2 x + 1)}^{2} (x - 1)) = 0$

Paso 4.5.4.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$16 x {(2 x + 1)}^{2} (x - 1) = 0$

Paso 4.6

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

${(2 x + 1)}^{2} = 0$

$x - 1 = 0$

Paso 4.7

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 4.8

Establece ${(2 x + 1)}^{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.8.1

Establece ${(2 x + 1)}^{2}$ igual a $0$ .

${(2 x + 1)}^{2} = 0$

Paso 4.8.2

Resuelve ${(2 x + 1)}^{2} = 0$ en $x$ .

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Paso 4.8.2.1

Establece $2 x + 1$ igual a $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Paso 4.8.2.2

Resuelve $x$

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Paso 4.8.2.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x = - 1$

Paso 4.8.2.2.2

Divide cada término en $2 x = - 1$ por $2$ y simplifica.

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Paso 4.8.2.2.2.1

Divide cada término en $2 x = - 1$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Paso 4.8.2.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.8.2.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.8.2.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Paso 4.8.2.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Paso 4.8.2.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.8.2.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{1}{2}$

Paso 4.9

Establece $x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.9.1

Establece $x - 1$ igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Paso 4.9.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 4.10

La solución final comprende todos los valores que hacen $16 x {(2 x + 1)}^{2} (x - 1) = 0$ verdadera.

$x = 0, - \frac{1}{2}, 1$

Paso 5

Excluye las soluciones que no hagan que $8 x^{2} - 3 = \sqrt{16 x + 9}$ sea verdadera.

$x = 1$