Álgebra Ejemplos

$(- 1, \frac{1}{4})$ , $(0, 1)$ , $(1, 4)$

Paso 1

Usa la ecuación ordinaria de una ecuación cuadrática $y = a x^{2} + b x + c$ como el punto inicial para obtener la ecuación a través de los tres puntos.

$y = a x^{2} + b x + c$

Paso 2

Crea un sistema de ecuaciones mediante la sustitución de los valores $x$ y $y$ de cada punto en la fórmula estándar de una ecuación cuadrática para crear el sistema de tres ecuaciones.

$\frac{1}{4} = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + c, 1 = a {(0)}^{2} + b (0) + c, 4 = a {(1)}^{2} + b (1) + c$

Paso 3

Resuelve el sistema de ecuaciones para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

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Paso 3.1

Resuelve $c$ en $1 = a \cdot 0^{2} + c$ .

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Paso 3.1.1

Reescribe la ecuación como $a \cdot 0^{2} + c = 1$ .

$a \cdot 0^{2} + c = 1$

$\frac{1}{4} = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + c$

$4 = a + b + c$

Paso 3.1.2

Simplifica $a \cdot 0^{2} + c$ .

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Paso 3.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$a \cdot 0 + c = 1$

$\frac{1}{4} = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + c$

$4 = a + b + c$

Paso 3.1.2.1.2

Multiplica $a$ por $0$ .

$0 + c = 1$

$\frac{1}{4} = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + c$

$4 = a + b + c$

$0 + c = 1$

$\frac{1}{4} = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + c$

$4 = a + b + c$

Paso 3.1.2.2

Suma $0$ y $c$ .

$c = 1$

$\frac{1}{4} = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + c$

$4 = a + b + c$

$c = 1$

$\frac{1}{4} = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + c$

$4 = a + b + c$

$c = 1$

$\frac{1}{4} = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + c$

$4 = a + b + c$

Paso 3.2

Reemplaza todos los casos de $c$ por $1$ en cada ecuación.

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Paso 3.2.1

Reemplaza todos los casos de $c$ en $\frac{1}{4} = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + c$ por $1$ .

$\frac{1}{4} = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + 1$

$c = 1$

$4 = a + b + c$

Paso 3.2.2

Simplifica $\frac{1}{4} = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + 1$ .

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Paso 3.2.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.2.1.1

Elimina los paréntesis.

$\frac{1}{4} = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + 1$

$c = 1$

$4 = a + b + c$

$\frac{1}{4} = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + 1$

$c = 1$

$4 = a + b + c$

Paso 3.2.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.2.2.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$\frac{1}{4} = a \cdot 1 + b (- 1) + 1$

$c = 1$

$4 = a + b + c$

Paso 3.2.2.2.1.2

Multiplica $a$ por $1$ .

$\frac{1}{4} = a + b (- 1) + 1$

$c = 1$

$4 = a + b + c$

Paso 3.2.2.2.1.3

Mueve $- 1$ a la izquierda de $b$ .

$\frac{1}{4} = a - 1 b + 1$

$c = 1$

$4 = a + b + c$

Paso 3.2.2.2.1.4

Reescribe $- 1 b$ como $- b$ .

$\frac{1}{4} = a - b + 1$

$c = 1$

$4 = a + b + c$

$\frac{1}{4} = a - b + 1$

$c = 1$

$4 = a + b + c$

$\frac{1}{4} = a - b + 1$

$c = 1$

$4 = a + b + c$

$\frac{1}{4} = a - b + 1$

$c = 1$

$4 = a + b + c$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $c$ en $4 = a + b + c$ por $1$ .

$4 = a + b + 1$

$\frac{1}{4} = a - b + 1$

$c = 1$

Paso 3.2.4

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.4.1

Elimina los paréntesis.

$4 = a + b + 1$

$\frac{1}{4} = a - b + 1$

$c = 1$

$4 = a + b + 1$

$\frac{1}{4} = a - b + 1$

$c = 1$

$4 = a + b + 1$

$\frac{1}{4} = a - b + 1$

$c = 1$

Paso 3.3

Resuelve $a$ en $4 = a + b + 1$ .

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Paso 3.3.1

Reescribe la ecuación como $a + b + 1 = 4$ .

$a + b + 1 = 4$

$\frac{1}{4} = a - b + 1$

$c = 1$

Paso 3.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $a$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.3.2.1

Resta $b$ de ambos lados de la ecuación.

$a + 1 = 4 - b$

$\frac{1}{4} = a - b + 1$

$c = 1$

Paso 3.3.2.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$a = 4 - b - 1$

$\frac{1}{4} = a - b + 1$

$c = 1$

Paso 3.3.2.3

Resta $1$ de $4$ .

$a = - b + 3$

$\frac{1}{4} = a - b + 1$

$c = 1$

$a = - b + 3$

$\frac{1}{4} = a - b + 1$

$c = 1$

$a = - b + 3$

$\frac{1}{4} = a - b + 1$

$c = 1$

Paso 3.4

Reemplaza todos los casos de $a$ por $- b + 3$ en cada ecuación.

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Paso 3.4.1

Reemplaza todos los casos de $a$ en $\frac{1}{4} = a - b + 1$ por $- b + 3$ .

$\frac{1}{4} = (- b + 3) - b + 1$

$a = - b + 3$

$c = 1$

Paso 3.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.2.1

Simplifica $(- b + 3) - b + 1$ .

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Paso 3.4.2.1.1

Resta $b$ de $- b$ .

$\frac{1}{4} = - 2 b + 3 + 1$

$a = - b + 3$

$c = 1$

Paso 3.4.2.1.2

Suma $3$ y $1$ .

$\frac{1}{4} = - 2 b + 4$

$a = - b + 3$

$c = 1$

$\frac{1}{4} = - 2 b + 4$

$a = - b + 3$

$c = 1$

$\frac{1}{4} = - 2 b + 4$

$a = - b + 3$

$c = 1$

$\frac{1}{4} = - 2 b + 4$

$a = - b + 3$

$c = 1$

Paso 3.5

Resuelve $b$ en $\frac{1}{4} = - 2 b + 4$ .

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Paso 3.5.1

Reescribe la ecuación como $- 2 b + 4 = \frac{1}{4}$ .

$- 2 b + 4 = \frac{1}{4}$

$a = - b + 3$

$c = 1$

Paso 3.5.2

Mueve todos los términos que no contengan $b$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.5.2.1

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$- 2 b = \frac{1}{4} - 4$

$a = - b + 3$

$c = 1$

Paso 3.5.2.2

Para escribir $- 4$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$- 2 b = \frac{1}{4} - 4 \cdot \frac{4}{4}$

$a = - b + 3$

$c = 1$

Paso 3.5.2.3

Combina $- 4$ y $\frac{4}{4}$ .

$- 2 b = \frac{1}{4} + \frac{- 4 \cdot 4}{4}$

$a = - b + 3$

$c = 1$

Paso 3.5.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- 2 b = \frac{1 - 4 \cdot 4}{4}$

$a = - b + 3$

$c = 1$

Paso 3.5.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 3.5.2.5.1

Multiplica $- 4$ por $4$ .

$- 2 b = \frac{1 - 16}{4}$

$a = - b + 3$

$c = 1$

Paso 3.5.2.5.2

Resta $16$ de $1$ .

$- 2 b = \frac{- 15}{4}$

$a = - b + 3$

$c = 1$

$- 2 b = \frac{- 15}{4}$

$a = - b + 3$

$c = 1$

Paso 3.5.2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- 2 b = - \frac{15}{4}$

$a = - b + 3$

$c = 1$

$- 2 b = - \frac{15}{4}$

$a = - b + 3$

$c = 1$

Paso 3.5.3

Divide cada término en $- 2 b = - \frac{15}{4}$ por $- 2$ y simplifica.

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Paso 3.5.3.1

Divide cada término en $- 2 b = - \frac{15}{4}$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 b}{- 2} = \frac{- \frac{15}{4}}{- 2}$

$a = - b + 3$

$c = 1$

Paso 3.5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.3.2.1

Cancela el factor común de $- 2$ .

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Paso 3.5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 2 b}{- 2} = \frac{- \frac{15}{4}}{- 2}$

$a = - b + 3$

$c = 1$

Paso 3.5.3.2.1.2

Divide $b$ por $1$ .

$b = \frac{- \frac{15}{4}}{- 2}$

$a = - b + 3$

$c = 1$

$b = \frac{- \frac{15}{4}}{- 2}$

$a = - b + 3$

$c = 1$

$b = \frac{- \frac{15}{4}}{- 2}$

$a = - b + 3$

$c = 1$

Paso 3.5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.5.3.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$b = - \frac{15}{4} \cdot \frac{1}{- 2}$

$a = - b + 3$

$c = 1$

Paso 3.5.3.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$b = - \frac{15}{4} \cdot (- \frac{1}{2})$

$a = - b + 3$

$c = 1$

Paso 3.5.3.3.3

Multiplica $- \frac{15}{4} (- \frac{1}{2})$ .

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Paso 3.5.3.3.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$b = 1 (\frac{15}{4}) \cdot \frac{1}{2}$

$a = - b + 3$

$c = 1$

Paso 3.5.3.3.3.2

Multiplica $\frac{15}{4}$ por $1$ .

$b = \frac{15}{4} \cdot \frac{1}{2}$

$a = - b + 3$

$c = 1$

Paso 3.5.3.3.3.3

Multiplica $\frac{15}{4}$ por $\frac{1}{2}$ .

$b = \frac{15}{4 \cdot 2}$

$a = - b + 3$

$c = 1$

Paso 3.5.3.3.3.4

Multiplica $4$ por $2$ .

$b = \frac{15}{8}$

$a = - b + 3$

$c = 1$

$b = \frac{15}{8}$

$a = - b + 3$

$c = 1$

$b = \frac{15}{8}$

$a = - b + 3$

$c = 1$

$b = \frac{15}{8}$

$a = - b + 3$

$c = 1$

$b = \frac{15}{8}$

$a = - b + 3$

$c = 1$

Paso 3.6

Reemplaza todos los casos de $b$ por $\frac{15}{8}$ en cada ecuación.

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Paso 3.6.1

Reemplaza todos los casos de $b$ en $a = - b + 3$ por $\frac{15}{8}$ .

$a = - (\frac{15}{8}) + 3$

$b = \frac{15}{8}$

$c = 1$

Paso 3.6.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.6.2.1

Simplifica $- (\frac{15}{8}) + 3$ .

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Paso 3.6.2.1.1

Para escribir $3$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{8}{8}$ .

$a = - \frac{15}{8} + 3 \cdot \frac{8}{8}$

$b = \frac{15}{8}$

$c = 1$

Paso 3.6.2.1.2

Combina $3$ y $\frac{8}{8}$ .

$a = - \frac{15}{8} + \frac{3 \cdot 8}{8}$

$b = \frac{15}{8}$

$c = 1$

Paso 3.6.2.1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$a = \frac{- 15 + 3 \cdot 8}{8}$

$b = \frac{15}{8}$

$c = 1$

Paso 3.6.2.1.4

Simplifica el numerador.

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Paso 3.6.2.1.4.1

Multiplica $3$ por $8$ .

$a = \frac{- 15 + 24}{8}$

$b = \frac{15}{8}$

$c = 1$

Paso 3.6.2.1.4.2

Suma $- 15$ y $24$ .

$a = \frac{9}{8}$

$b = \frac{15}{8}$

$c = 1$

$a = \frac{9}{8}$

$b = \frac{15}{8}$

$c = 1$

$a = \frac{9}{8}$

$b = \frac{15}{8}$

$c = 1$

$a = \frac{9}{8}$

$b = \frac{15}{8}$

$c = 1$

$a = \frac{9}{8}$

$b = \frac{15}{8}$

$c = 1$

Paso 3.7

Enumera todas las soluciones.

$a = \frac{9}{8}, b = \frac{15}{8}, c = 1$

Paso 4

Sustituye los valores reales de $a$ , $b$ y $c$ en la fórmula para una ecuación cuadrática a fin de obtener la ecuación resultante.

$y = \frac{9 x^{2}}{8} + \frac{15 x}{8} + 1$

Paso 5