Álgebra Ejemplos

$f (x) = | x - a | - b$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $| x - a | - b$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [| x - a |] + \frac{d}{d x} [- b]$ .

$\frac{d}{d x} [| x - a |] + \frac{d}{d x} [- b]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [| x - a |]$ .

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Paso 1.2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = | x |$ y $g (x) = x - a$ .

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Paso 1.2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x - a$ .

$\frac{d}{d u} [| u |] \frac{d}{d x} [x - a] + \frac{d}{d x} [- b]$

Paso 1.2.1.2

La derivada de $| u |$ con respecto a $u$ es $\frac{u}{| u |}$ .

$\frac{u}{| u |} \frac{d}{d x} [x - a] + \frac{d}{d x} [- b]$

Paso 1.2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x - a$ .

$\frac{x - a}{| x - a |} \frac{d}{d x} [x - a] + \frac{d}{d x} [- b]$

Paso 1.2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - a$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- a]$ .

$\frac{x - a}{| x - a |} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- a]) + \frac{d}{d x} [- b]$

Paso 1.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{x - a}{| x - a |} (1 + \frac{d}{d x} [- a]) + \frac{d}{d x} [- b]$

Paso 1.2.4

Como $- a$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- a$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{x - a}{| x - a |} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- b]$

Paso 1.2.5

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{x - a}{| x - a |} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- b]$

Paso 1.2.6

Multiplica $\frac{x - a}{| x - a |}$ por $1$ .

$\frac{x - a}{| x - a |} + \frac{d}{d x} [- b]$

Paso 1.3

Como $- b$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- b$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{x - a}{| x - a |} + 0$

Paso 1.4

Simplifica.

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Paso 1.4.1

Suma $\frac{x - a}{| x - a |}$ y $0$ .

$\frac{x - a}{| x - a |}$

Paso 1.4.2

Reordena los términos.

$\frac{- a + x}{| x - a |}$

Paso 1.4.3

Factoriza $- 1$ de $- a$ .

$\frac{- (a) + x}{| x - a |}$

Paso 1.4.4

Factoriza $- 1$ de $x$ .

$\frac{- (a) - 1 (- x)}{| x - a |}$

Paso 1.4.5

Factoriza $- 1$ de $- (a) - 1 (- x)$ .

$\frac{- (a - x)}{| x - a |}$

Paso 1.4.6

Reescribe $- (a - x)$ como $- 1 (a - x)$ .

$\frac{- 1 (a - x)}{| x - a |}$

Paso 1.4.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{a - x}{| x - a |}$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = - 1$ y $g (x) = \frac{a - x}{| x - a |}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \cdot \frac{a - x}{| x - a |} + \frac{a - x}{| x - a |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 2.2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = a - x$ y $g (x) = | x - a |$ .

$f'' (x) = - \frac{| x - a | \frac{d}{d x} (a - x) - (a - x) \frac{d}{d x} | x - a |}{{| x - a |}^{2}} + \frac{a - x}{| x - a |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 2.3

Diferencia.

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Paso 2.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $a - x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [a] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$f'' (x) = - \frac{| x - a | (\frac{d}{d x} (a) + \frac{d}{d x} (- x)) - (a - x) \frac{d}{d x} | x - a |}{{| x - a |}^{2}} + \frac{a - x}{| x - a |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 2.3.2

Como $a$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $a$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = - \frac{| x - a | (0 + \frac{d}{d x} (- x)) - (a - x) \frac{d}{d x} | x - a |}{{| x - a |}^{2}} + \frac{a - x}{| x - a |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 2.3.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$f'' (x) = - \frac{| x - a | \frac{d}{d x} (- x) - (a - x) \frac{d}{d x} | x - a |}{{| x - a |}^{2}} + \frac{a - x}{| x - a |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 2.3.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - \frac{| x - a | (- \frac{d}{d x} x) - (a - x) \frac{d}{d x} | x - a |}{{| x - a |}^{2}} + \frac{a - x}{| x - a |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 2.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{| x - a | (- 1 \cdot 1) - (a - x) \frac{d}{d x} | x - a |}{{| x - a |}^{2}} + \frac{a - x}{| x - a |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 2.3.6

Simplifica la expresión.

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Paso 2.3.6.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f'' (x) = - \frac{| x - a | \cdot - 1 - (a - x) \frac{d}{d x} | x - a |}{{| x - a |}^{2}} + \frac{a - x}{| x - a |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 2.3.6.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $| x - a |$ .

$f'' (x) = - \frac{- 1 \cdot | x - a | - (a - x) \frac{d}{d x} | x - a |}{{| x - a |}^{2}} + \frac{a - x}{| x - a |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 2.3.6.3

Reescribe $- 1 | x - a |$ como $- | x - a |$ .

$f'' (x) = - \frac{- | x - a | - (a - x) \frac{d}{d x} | x - a |}{{| x - a |}^{2}} + \frac{a - x}{| x - a |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = | x |$ y $g (x) = x - a$ .

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Paso 2.4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x - a$ .

$f'' (x) = - \frac{- | x - a | - (a - x) (\frac{d}{d u} (| u |) \frac{d}{d x} (x - a))}{{| x - a |}^{2}} + \frac{a - x}{| x - a |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 2.4.2

La derivada de $| u |$ con respecto a $u$ es $\frac{u}{| u |}$ .

$f'' (x) = - \frac{- | x - a | - (a - x) (\frac{u}{| u |} \cdot \frac{d}{d x} (x - a))}{{| x - a |}^{2}} + \frac{a - x}{| x - a |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 2.4.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x - a$ .

$f'' (x) = - \frac{- | x - a | - (a - x) (\frac{x - a}{| x - a |} \cdot \frac{d}{d x} (x - a))}{{| x - a |}^{2}} + \frac{a - x}{| x - a |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 2.5

Diferencia.

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Paso 2.5.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x - a$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- a]$ .

$f'' (x) = - \frac{- | x - a | - (a - x) (\frac{x - a}{| x - a |} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- a)))}{{| x - a |}^{2}} + \frac{a - x}{| x - a |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 2.5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{- | x - a | - (a - x) (\frac{x - a}{| x - a |} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (- a)))}{{| x - a |}^{2}} + \frac{a - x}{| x - a |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 2.5.3

Como $- a$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- a$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = - \frac{- | x - a | - (a - x) (\frac{x - a}{| x - a |} \cdot (1 + 0))}{{| x - a |}^{2}} + \frac{a - x}{| x - a |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 2.5.4

Simplifica la expresión.

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Paso 2.5.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$f'' (x) = - \frac{- | x - a | - (a - x) (\frac{x - a}{| x - a |} \cdot 1)}{{| x - a |}^{2}} + \frac{a - x}{| x - a |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 2.5.4.2

Multiplica $\frac{x - a}{| x - a |}$ por $1$ .

$f'' (x) = - \frac{- | x - a | - (a - x) \frac{x - a}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}} + \frac{a - x}{| x - a |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 2.5.5

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = - \frac{- | x - a | - (a - x) \frac{x - a}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}} + \frac{a - x}{| x - a |} \cdot 0$

Paso 2.5.6

Simplifica la expresión.

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Paso 2.5.6.1

Multiplica $\frac{a - x}{| x - a |}$ por $0$ .

$f'' (x) = - \frac{- | x - a | - (a - x) \frac{x - a}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}} + 0$

Paso 2.5.6.2

Suma $- \frac{- | x - a | - (a - x) \frac{x - a}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$ y $0$ .

$f'' (x) = - \frac{- | x - a | - (a - x) \frac{x - a}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Paso 2.6

Simplifica.

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Paso 2.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = - \frac{- | x - a | + (- a + x) (\frac{x - a}{| x - a |})}{{| x - a |}^{2}}$

Paso 2.6.2

Simplifica el numerador.

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Paso 2.6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.6.2.1.1

Multiplica $- - x$ .

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Paso 2.6.2.1.1.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{- | x - a | + (- a + 1 x) (\frac{x - a}{| x - a |})}{{| x - a |}^{2}}$

Paso 2.6.2.1.1.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$f'' (x) = - \frac{- | x - a | + (- a + x) (\frac{x - a}{| x - a |})}{{| x - a |}^{2}}$

Paso 2.6.2.1.2

Multiplica $- a + x$ por $\frac{x - a}{| x - a |}$ .

$f'' (x) = - \frac{- | x - a | + \frac{(- a + x) (x - a)}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Paso 2.6.2.1.3

Simplifica el numerador.

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Paso 2.6.2.1.3.1

Reordena los términos.

$f'' (x) = - \frac{- | x - a | + \frac{(- a + x) (- a + x)}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Paso 2.6.2.1.3.2

Eleva $- a + x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = - \frac{- | x - a | + \frac{(- a + x) (- a + x)}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Paso 2.6.2.1.3.3

Eleva $- a + x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = - \frac{- | x - a | + \frac{(- a + x) (- a + x)}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Paso 2.6.2.1.3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = - \frac{- | x - a | + \frac{{(- a + x)}^{1 + 1}}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Paso 2.6.2.1.3.5

Suma $1$ y $1$ .

$f'' (x) = - \frac{- | x - a | + \frac{{(- a + x)}^{2}}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Paso 2.6.2.2

Para escribir $- | x - a |$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{| x - a |}{| x - a |}$ .

$f'' (x) = - \frac{- | x - a | \cdot \frac{| x - a |}{| x - a |} + \frac{{(- a + x)}^{2}}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Paso 2.6.2.3

Combina $- | x - a |$ y $\frac{| x - a |}{| x - a |}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- | x - a | | x - a |}{| x - a |} + \frac{{(- a + x)}^{2}}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Paso 2.6.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = - \frac{\frac{- | x - a | | x - a | + {(- a + x)}^{2}}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Paso 2.6.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 2.6.2.5.1

Multiplica $- | x - a | | x - a |$ .

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Paso 2.6.2.5.1.1

Para multiplicar valores absolutos, multiplica los términos dentro de cada valor absoluto.

$f'' (x) = - \frac{\frac{- | (x - a) (x - a) | + {(- a + x)}^{2}}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Paso 2.6.2.5.1.2

Eleva $x - a$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- | (x - a) (x - a) | + {(- a + x)}^{2}}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Paso 2.6.2.5.1.3

Eleva $x - a$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- | (x - a) (x - a) | + {(- a + x)}^{2}}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Paso 2.6.2.5.1.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = - \frac{\frac{- | {(x - a)}^{1 + 1} | + {(- a + x)}^{2}}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Paso 2.6.2.5.1.5

Suma $1$ y $1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- | {(x - a)}^{2} | + {(- a + x)}^{2}}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Paso 2.6.2.5.2

Reescribe ${(x - a)}^{2}$ como $(x - a) (x - a)$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- | (x - a) (x - a) | + {(- a + x)}^{2}}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Paso 2.6.2.5.3

Expande $(x - a) (x - a)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.6.2.5.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = - \frac{\frac{- | x (x - a) - a (x - a) | + {(- a + x)}^{2}}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Paso 2.6.2.5.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = - \frac{\frac{- | x \cdot x + x (- a) - a (x - a) | + {(- a + x)}^{2}}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Paso 2.6.2.5.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = - \frac{\frac{- | x \cdot x + x (- a) - a x - a (- a) | + {(- a + x)}^{2}}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Paso 2.6.2.5.4

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.6.2.5.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.6.2.5.4.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- | x^{2} + x (- a) - a x - a (- a) | + {(- a + x)}^{2}}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Paso 2.6.2.5.4.1.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$f'' (x) = - \frac{\frac{- | x^{2} - x a - a x - a (- a) | + {(- a + x)}^{2}}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Paso 2.6.2.5.4.1.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$f'' (x) = - \frac{\frac{- | x^{2} - x a - a x - 1 \cdot (- 1 a \cdot a) | + {(- a + x)}^{2}}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Paso 2.6.2.5.4.1.4

Multiplica $a$ por $a$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.6.2.5.4.1.4.1

Mueve $a$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- | x^{2} - x a - a x - 1 \cdot (- 1 (a \cdot a)) | + {(- a + x)}^{2}}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Paso 2.6.2.5.4.1.4.2

Multiplica $a$ por $a$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- | x^{2} - x a - a x - 1 \cdot (- 1 a^{2}) | + {(- a + x)}^{2}}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Paso 2.6.2.5.4.1.5

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- | x^{2} - x a - a x + 1 a^{2} | + {(- a + x)}^{2}}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Paso 2.6.2.5.4.1.6

Multiplica $a^{2}$ por $1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- | x^{2} - x a - a x + a^{2} | + {(- a + x)}^{2}}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Paso 2.6.2.5.4.2

Resta $a x$ de $- x a$ .

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Paso 2.6.2.5.4.2.1

Mueve $x$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- | x^{2} - a x - a x + a^{2} | + {(- a + x)}^{2}}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Paso 2.6.2.5.4.2.2

Resta $a x$ de $- a x$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- | x^{2} - 2 a x + a^{2} | + {(- a + x)}^{2}}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Paso 2.6.2.5.5

Reescribe ${(- a + x)}^{2}$ como $(- a + x) (- a + x)$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- | x^{2} - 2 a x + a^{2} | + (- a + x) (- a + x)}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Paso 2.6.2.5.6

Expande $(- a + x) (- a + x)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 2.6.2.5.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = - \frac{\frac{- | x^{2} - 2 a x + a^{2} | - a (- a + x) + x (- a + x)}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Paso 2.6.2.5.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = - \frac{\frac{- | x^{2} - 2 a x + a^{2} | - a (- a) - a x + x (- a + x)}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Paso 2.6.2.5.6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = - \frac{\frac{- | x^{2} - 2 a x + a^{2} | - a (- a) - a x + x (- a) + x \cdot x}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Paso 2.6.2.5.7

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.6.2.5.7.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.6.2.5.7.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$f'' (x) = - \frac{\frac{- | x^{2} - 2 a x + a^{2} | - 1 \cdot (- 1 a \cdot a) - a x + x (- a) + x \cdot x}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Paso 2.6.2.5.7.1.2

Multiplica $a$ por $a$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.6.2.5.7.1.2.1

Mueve $a$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- | x^{2} - 2 a x + a^{2} | - 1 \cdot (- 1 (a \cdot a)) - a x + x (- a) + x \cdot x}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Paso 2.6.2.5.7.1.2.2

Multiplica $a$ por $a$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- | x^{2} - 2 a x + a^{2} | - 1 \cdot (- 1 a^{2}) - a x + x (- a) + x \cdot x}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Paso 2.6.2.5.7.1.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- | x^{2} - 2 a x + a^{2} | + 1 a^{2} - a x + x (- a) + x \cdot x}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Paso 2.6.2.5.7.1.4

Multiplica $a^{2}$ por $1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- | x^{2} - 2 a x + a^{2} | + a^{2} - a x + x (- a) + x \cdot x}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Paso 2.6.2.5.7.1.5

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$f'' (x) = - \frac{\frac{- | x^{2} - 2 a x + a^{2} | + a^{2} - a x - x a + x \cdot x}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Paso 2.6.2.5.7.1.6

Multiplica $x$ por $x$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- | x^{2} - 2 a x + a^{2} | + a^{2} - a x - x a + x^{2}}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Paso 2.6.2.5.7.2

Resta $x a$ de $- a x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.6.2.5.7.2.1

Mueve $x$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- | x^{2} - 2 a x + a^{2} | + a^{2} - a x - a x + x^{2}}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Paso 2.6.2.5.7.2.2

Resta $a x$ de $- a x$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- | x^{2} - 2 a x + a^{2} | + a^{2} - 2 a x + x^{2}}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Paso 2.6.2.6

Factoriza $- 1$ de $- | x^{2} - 2 a x + a^{2} |$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- (| x^{2} - 2 a x + a^{2} |) + a^{2} - 2 a x + x^{2}}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Paso 2.6.2.7

Factoriza $- 1$ de $a^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- (| x^{2} - 2 a x + a^{2} |) - 1 (- a^{2}) - 2 a x + x^{2}}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Paso 2.6.2.8

Factoriza $- 1$ de $- (| x^{2} - 2 a x + a^{2} |) - 1 (- a^{2})$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- (| x^{2} - 2 a x + a^{2} | - a^{2}) - 2 a x + x^{2}}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Paso 2.6.2.9

Factoriza $- 1$ de $- 2 a x$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- (| x^{2} - 2 a x + a^{2} | - a^{2}) - (2 a x) + x^{2}}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Paso 2.6.2.10

Factoriza $- 1$ de $- (| x^{2} - 2 a x + a^{2} | - a^{2}) - (2 a x)$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- (| x^{2} - 2 a x + a^{2} | - a^{2} + 2 a x) + x^{2}}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Paso 2.6.2.11

Factoriza $- 1$ de $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- (| x^{2} - 2 a x + a^{2} | - a^{2} + 2 a x) - 1 (- x^{2})}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Paso 2.6.2.12

Factoriza $- 1$ de $- (| x^{2} - 2 a x + a^{2} | - a^{2} + 2 a x) - 1 (- x^{2})$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- (| x^{2} - 2 a x + a^{2} | - a^{2} + 2 a x - x^{2})}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Paso 2.6.2.13

Reescribe $- (| x^{2} - 2 a x + a^{2} | - a^{2} + 2 a x - x^{2})$ como $- 1 (| x^{2} - 2 a x + a^{2} | - a^{2} + 2 a x - x^{2})$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 1 (| x^{2} - 2 a x + a^{2} | - a^{2} + 2 a x - x^{2})}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Paso 2.6.2.14

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = - \frac{- \frac{| x^{2} - 2 a x + a^{2} | - a^{2} + 2 a x - x^{2}}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Paso 2.6.3

Combina los términos.

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Paso 2.6.3.1

Reescribe $\frac{- \frac{| x^{2} - 2 a x + a^{2} | - a^{2} + 2 a x - x^{2}}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$ como un producto.

$f'' (x) = - (- \frac{| x^{2} - 2 a x + a^{2} | - a^{2} + 2 a x - x^{2}}{| x - a |} \cdot \frac{1}{{| x - a |}^{2}})$

Paso 2.6.3.2

Multiplica $\frac{1}{{| x - a |}^{2}}$ por $\frac{| x^{2} - 2 a x + a^{2} | - a^{2} + 2 a x - x^{2}}{| x - a |}$ .

$f'' (x) = \frac{| x^{2} - 2 a x + a^{2} | - a^{2} + 2 a x - x^{2}}{{| x - a |}^{2} | x - a |}$

Paso 2.6.3.3

Multiplica ${| x - a |}^{2}$ por $| x - a |$ sumando los exponentes.

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Paso 2.6.3.3.1

Multiplica ${| x - a |}^{2}$ por $| x - a |$ .

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Paso 2.6.3.3.1.1

Eleva $| x - a |$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = \frac{| x^{2} - 2 a x + a^{2} | - a^{2} + 2 a x - x^{2}}{{| x - a |}^{2} | x - a |}$

Paso 2.6.3.3.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = \frac{| x^{2} - 2 a x + a^{2} | - a^{2} + 2 a x - x^{2}}{{| x - a |}^{2 + 1}}$

Paso 2.6.3.3.2

Suma $2$ y $1$ .

$f'' (x) = \frac{| x^{2} - 2 a x + a^{2} | - a^{2} + 2 a x - x^{2}}{{| x - a |}^{3}}$

Paso 2.6.3.4

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{| x^{2} - 2 a x + a^{2} | - a^{2} + 2 a x - x^{2}}{{| x - a |}^{3}})$

Paso 2.6.3.5

Multiplica $\frac{| x^{2} - 2 a x + a^{2} | - a^{2} + 2 a x - x^{2}}{{| x - a |}^{3}}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{| x^{2} - 2 a x + a^{2} | - a^{2} + 2 a x - x^{2}}{{| x - a |}^{3}}$

Paso 2.6.4

Reordena los términos.

$f'' (x) = \frac{- a^{2} - x^{2} + 2 a x + | x^{2} - 2 a x + a^{2} |}{{| x - a |}^{3}}$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$- \frac{a - x}{| x - a |} = 0$

Paso 4

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $| x - a | - b$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [| x - a |] + \frac{d}{d x} [- b]$ .

$\frac{d}{d x} [| x - a |] + \frac{d}{d x} [- b]$

Paso 4.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [| x - a |]$ .

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Paso 4.1.2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = | x |$ y $g (x) = x - a$ .

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Paso 4.1.2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x - a$ .

$\frac{d}{d u} [| u |] \frac{d}{d x} [x - a] + \frac{d}{d x} [- b]$

Paso 4.1.2.1.2

La derivada de $| u |$ con respecto a $u$ es $\frac{u}{| u |}$ .

$\frac{u}{| u |} \frac{d}{d x} [x - a] + \frac{d}{d x} [- b]$

Paso 4.1.2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x - a$ .

$\frac{x - a}{| x - a |} \frac{d}{d x} [x - a] + \frac{d}{d x} [- b]$

Paso 4.1.2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - a$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- a]$ .

$\frac{x - a}{| x - a |} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- a]) + \frac{d}{d x} [- b]$

Paso 4.1.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{x - a}{| x - a |} (1 + \frac{d}{d x} [- a]) + \frac{d}{d x} [- b]$

Paso 4.1.2.4

Como $- a$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- a$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{x - a}{| x - a |} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- b]$

Paso 4.1.2.5

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{x - a}{| x - a |} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- b]$

Paso 4.1.2.6

Multiplica $\frac{x - a}{| x - a |}$ por $1$ .

$\frac{x - a}{| x - a |} + \frac{d}{d x} [- b]$

Paso 4.1.3

Como $- b$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- b$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{x - a}{| x - a |} + 0$

Paso 4.1.4

Simplifica.

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Paso 4.1.4.1

Suma $\frac{x - a}{| x - a |}$ y $0$ .

$\frac{x - a}{| x - a |}$

Paso 4.1.4.2

Reordena los términos.

$\frac{- a + x}{| x - a |}$

Paso 4.1.4.3

Factoriza $- 1$ de $- a$ .

$\frac{- (a) + x}{| x - a |}$

Paso 4.1.4.4

Factoriza $- 1$ de $x$ .

$\frac{- (a) - 1 (- x)}{| x - a |}$

Paso 4.1.4.5

Factoriza $- 1$ de $- (a) - 1 (- x)$ .

$\frac{- (a - x)}{| x - a |}$

Paso 4.1.4.6

Reescribe $- (a - x)$ como $- 1 (a - x)$ .

$\frac{- 1 (a - x)}{| x - a |}$

Paso 4.1.4.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = - \frac{a - x}{| x - a |}$

Paso 4.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{a - x}{| x - a |}$ .

$- \frac{a - x}{| x - a |}$

Paso 5

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $- \frac{a - x}{| x - a |} = 0$ .

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Paso 5.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- \frac{a - x}{| x - a |} = 0$

Paso 5.2

Establece el numerador igual a cero.

$a - x = 0$

Paso 5.3

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 5.3.1

Resta $a$ de ambos lados de la ecuación.

$- x = - a$

Paso 5.3.2

Divide cada término en $- x = - a$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 5.3.2.1

Divide cada término en $- x = - a$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- a}{- 1}$

Paso 5.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- a}{- 1}$

Paso 5.3.2.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- a}{- 1}$

Paso 5.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.2.3.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$x = \frac{a}{1}$

Paso 5.3.2.3.2

Divide $a$ por $1$ .

$x = a$

Paso 6

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 6.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 7

Puntos críticos para evaluar.

$x = a$

Paso 8

Evalúa la segunda derivada en $x = a$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$\frac{- a^{2} - {(a)}^{2} + 2 a (a) + | {(a)}^{2} - 2 a \cdot a + a^{2} |}{{| (a) - a |}^{3}}$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 9.1

Resta $a$ de $a$ .

$\frac{- a^{2} - {(a)}^{2} + 2 a (a) + | {(a)}^{2} - 2 a \cdot a + a^{2} |}{{| 0 |}^{3}}$

Paso 9.2

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $0$ es $0$ .

$\frac{- a^{2} - {(a)}^{2} + 2 a (a) + | {(a)}^{2} - 2 a \cdot a + a^{2} |}{0^{3}}$

Paso 9.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{- a^{2} - {(a)}^{2} + 2 a (a) + | {(a)}^{2} - 2 a \cdot a + a^{2} |}{0}$

Paso 9.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

Paso 10

Como la prueba de la primera derivada falló, no hay extremos locales.

No hay extremos locales

Paso 11