Álgebra Ejemplos

$f (x) = \frac{1}{2} {(x + 5)}^{2} - 9$

Paso 1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1

Reescribe ${(x + 5)}^{2}$ como $(x + 5) (x + 5)$ .

$f (x) = \frac{1}{2} \cdot ((x + 5) (x + 5)) - 9$

Paso 1.2

Expande $(x + 5) (x + 5)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x) = \frac{1}{2} \cdot (x (x + 5) + 5 (x + 5)) - 9$

Paso 1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x) = \frac{1}{2} \cdot (x \cdot x + x \cdot 5 + 5 (x + 5)) - 9$

Paso 1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x) = \frac{1}{2} \cdot (x \cdot x + x \cdot 5 + 5 x + 5 \cdot 5) - 9$

Paso 1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$f (x) = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} + x \cdot 5 + 5 x + 5 \cdot 5) - 9$

Paso 1.3.1.2

Mueve $5$ a la izquierda de $x$ .

$f (x) = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} + 5 \cdot x + 5 x + 5 \cdot 5) - 9$

Paso 1.3.1.3

Multiplica $5$ por $5$ .

$f (x) = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} + 5 x + 5 x + 25) - 9$

Paso 1.3.2

Suma $5 x$ y $5 x$ .

$f (x) = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} + 10 x + 25) - 9$

Paso 1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x) = \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} \cdot (10 x) + \frac{1}{2} \cdot 25 - 9$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$f (x) = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot (10 x) + \frac{1}{2} \cdot 25 - 9$

Paso 1.5.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.5.2.1

Factoriza $2$ de $10 x$ .

$f (x) = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot (2 (5 x)) + \frac{1}{2} \cdot 25 - 9$

Paso 1.5.2.2

Cancela el factor común.

$f (x) = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot (2 (5 x)) + \frac{1}{2} \cdot 25 - 9$

Paso 1.5.2.3

Reescribe la expresión.

$f (x) = \frac{x^{2}}{2} + 5 x + \frac{1}{2} \cdot 25 - 9$

Paso 1.5.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $25$ .

$f (x) = \frac{x^{2}}{2} + 5 x + \frac{25}{2} - 9$

Paso 2

Para escribir $- 9$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f (x) = \frac{x^{2}}{2} + 5 x + \frac{25}{2} - 9 \cdot \frac{2}{2}$

Paso 3

Combina $- 9$ y $\frac{2}{2}$ .

$f (x) = \frac{x^{2}}{2} + 5 x + \frac{25}{2} + \frac{- 9 \cdot 2}{2}$

Paso 4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (x) = \frac{x^{2}}{2} + 5 x + \frac{25 - 9 \cdot 2}{2}$

Paso 5

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1

Multiplica $- 9$ por $2$ .

$f (x) = \frac{x^{2}}{2} + 5 x + \frac{25 - 18}{2}$

Paso 5.2

Resta $18$ de $25$ .

$f (x) = \frac{x^{2}}{2} + 5 x + \frac{7}{2}$

Paso 6

El mínimo de una función cuadrática se produce en $x = - \frac{b}{2 a}$ . Si $a$ es positiva, el valor mínimo de la función es $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{mín.}$ $x = a x^{2} + b x + c$ ocurre en $x = - \frac{b}{2 a}$

Paso 7

Obtén el valor de $x = - \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 7.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ .

$x = - \frac{5}{2 (0.5)}$

Paso 7.2

Elimina los paréntesis.

$x = - \frac{5}{2 (0.5)}$

Paso 7.3

Simplifica $- \frac{5}{2 (0.5)}$ .

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Paso 7.3.1

Multiplica $2$ por $0.5$ .

$x = - \frac{5}{1}$

Paso 7.3.2

Divide $5$ por $1$ .

$x = - 1 \cdot 5$

Paso 7.3.3

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$x = - 5$

Paso 8

Evalúa $f (- 5)$ .

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Paso 8.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 5$ en la expresión.

$f (- 5) = \frac{{(- 5)}^{2}}{2} + 5 (- 5) + \frac{7}{2}$

Paso 8.2

Simplifica el resultado.

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Paso 8.2.1

Combina fracciones.

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Paso 8.2.1.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (- 5) = 5 (- 5) + \frac{{(- 5)}^{2} + 7}{2}$

Paso 8.2.1.2

Simplifica la expresión.

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Paso 8.2.1.2.1

Eleva $- 5$ a la potencia de $2$ .

$f (- 5) = 5 (- 5) + \frac{25 + 7}{2}$

Paso 8.2.1.2.2

Suma $25$ y $7$ .

$f (- 5) = 5 (- 5) + \frac{32}{2}$

Paso 8.2.2

Simplifica cada término.

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Paso 8.2.2.1

Multiplica $5$ por $- 5$ .

$f (- 5) = - 25 + \frac{32}{2}$

Paso 8.2.2.2

Divide $32$ por $2$ .

$f (- 5) = - 25 + 16$

Paso 8.2.3

Suma $- 25$ y $16$ .

$f (- 5) = - 9$

Paso 8.2.4

La respuesta final es $- 9$ .

$- 9$

Paso 9

Usa los valores $x$ y $y$ para obtener dónde ocurre el mínimo.

$(- 5, - 9)$

Paso 10