Álgebra Ejemplos

$\frac{k}{x^{n}}$

Paso 1

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 1.1

Como $k$ es constante con respecto a $n$ , la derivada de $\frac{k}{x^{n}}$ con respecto a $n$ es $k \frac{d}{d n} [\frac{1}{x^{n}}]$ .

$k \frac{d}{d n} [\frac{1}{x^{n}}]$

Paso 1.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 1.2.1

Reescribe $\frac{1}{x^{n}}$ como ${(x^{n})}^{- 1}$ .

$k \frac{d}{d n} [{(x^{n})}^{- 1}]$

Paso 1.2.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{n})}^{- 1}$ .

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Paso 1.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$k \frac{d}{d n} [x^{n \cdot - 1}]$

Paso 1.2.2.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $n$ .

$k \frac{d}{d n} [x^{- 1 \cdot n}]$

Paso 1.2.2.3

Reescribe $- 1 n$ como $- n$ .

$k \frac{d}{d n} [x^{- n}]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la potencia generalizada, que establece que $\frac{d}{d n} [f^{g}]$ es $f^{g} (f' \frac{g}{f} + g' \ln (f))$ donde $f = x$ y $g = - n$ .

$k (\frac{d}{d n} [x] (- n x^{- n - 1}) + \frac{d}{d n} [- n] (x^{- n} \ln (x)))$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Como $x$ es constante con respecto a $n$ , la derivada de $x$ con respecto a $n$ es $0$ .

$k (0 (- n x^{- n - 1}) + \frac{d}{d n} [- n] (x^{- n} \ln (x)))$

Paso 3.2

Simplifica la expresión.

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Paso 3.2.1

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$k (0 (n x^{- n - 1}) + \frac{d}{d n} [- n] (x^{- n} \ln (x)))$

Paso 3.2.2

Multiplica $n$ por $0$ .

$k (0 x^{- n - 1} + \frac{d}{d n} [- n] (x^{- n} \ln (x)))$

Paso 3.2.3

Multiplica $0$ por $x^{- n - 1}$ .

$k (0 + \frac{d}{d n} [- n] (x^{- n} \ln (x)))$

Paso 3.2.4

Suma $0$ y $\frac{d}{d n} [- n] (x^{- n} \ln (x))$ .

$k (\frac{d}{d n} [- n] (x^{- n} \ln (x)))$

Paso 3.3

Como $- 1$ es constante con respecto a $n$ , la derivada de $- n$ con respecto a $n$ es $- \frac{d}{d n} [n]$ .

$k (- \frac{d}{d n} [n]) (x^{- n} \ln (x))$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d n} [n^{n}]$ es $n \cdot n^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$k (- 1 \cdot 1) (x^{- n} \ln (x))$

Paso 3.5

Simplifica la expresión.

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Paso 3.5.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$k \cdot - 1 (x^{- n} \ln (x))$

Paso 3.5.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $k$ .

$- 1 \cdot k (x^{- n} \ln (x))$

Paso 3.5.3

Reescribe $- 1 k$ como $- k$ .

$- k (x^{- n} \ln (x))$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Reordena los factores de $- k x^{- n} \ln (x)$ .

$- x^{- n} k \ln (x)$

Paso 4.2

Reordena los factores en $- x^{- n} k \ln (x)$ .

$- k x^{- n} \ln (x)$