Álgebra Ejemplos

$y = \ln (e^{- x} + x e^{- x})$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = e^{- x} + x e^{- x}$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $e^{- x} + x e^{- x}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [e^{- x} + x e^{- x}]$

Paso 1.2

La derivada de $\ln (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [e^{- x} + x e^{- x}]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $e^{- x} + x e^{- x}$ .

$\frac{1}{e^{- x} + x e^{- x}} \frac{d}{d x} [e^{- x} + x e^{- x}]$

Paso 2

Según la regla de la suma, la derivada de $e^{- x} + x e^{- x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [e^{- x}] + \frac{d}{d x} [x e^{- x}]$ .

$\frac{1}{e^{- x} + x e^{- x}} (\frac{d}{d x} [e^{- x}] + \frac{d}{d x} [x e^{- x}])$

Paso 3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - x$ .

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Paso 3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $- x$ .

$\frac{1}{e^{- x} + x e^{- x}} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [x e^{- x}])$

Paso 3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ es $a^{u_{2}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{1}{e^{- x} + x e^{- x}} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [x e^{- x}])$

Paso 3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $- x$ .

$\frac{1}{e^{- x} + x e^{- x}} (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [x e^{- x}])$

Paso 4

Diferencia.

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Paso 4.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{e^{- x} + x e^{- x}} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x e^{- x}])$

Paso 4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{e^{- x} + x e^{- x}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x e^{- x}])$

Paso 4.3

Simplifica la expresión.

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Paso 4.3.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{e^{- x} + x e^{- x}} (e^{- x} \cdot - 1 + \frac{d}{d x} [x e^{- x}])$

Paso 4.3.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $e^{- x}$ .

$\frac{1}{e^{- x} + x e^{- x}} (- 1 \cdot e^{- x} + \frac{d}{d x} [x e^{- x}])$

Paso 4.3.3

Reescribe $- 1 e^{- x}$ como $- e^{- x}$ .

$\frac{1}{e^{- x} + x e^{- x}} (- e^{- x} + \frac{d}{d x} [x e^{- x}])$

Paso 5

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = e^{- x}$ .

$\frac{1}{e^{- x} + x e^{- x}} (- e^{- x} + x \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 6

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - x$ .

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Paso 6.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{3}$ como $- x$ .

$\frac{1}{e^{- x} + x e^{- x}} (- e^{- x} + x (\frac{d}{d u_{3}} [e^{u_{3}}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 6.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ es $a^{u_{3}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{1}{e^{- x} + x e^{- x}} (- e^{- x} + x (e^{u_{3}} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 6.3

Reemplaza todos los casos de $u_{3}$ con $- x$ .

$\frac{1}{e^{- x} + x e^{- x}} (- e^{- x} + x (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 7

Diferencia.

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Paso 7.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{e^{- x} + x e^{- x}} (- e^{- x} + x (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 7.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{e^{- x} + x e^{- x}} (- e^{- x} + x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 7.3

Simplifica la expresión.

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Paso 7.3.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{e^{- x} + x e^{- x}} (- e^{- x} + x (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 7.3.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $e^{- x}$ .

$\frac{1}{e^{- x} + x e^{- x}} (- e^{- x} + x (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 7.3.3

Reescribe $- 1 e^{- x}$ como $- e^{- x}$ .

$\frac{1}{e^{- x} + x e^{- x}} (- e^{- x} + x (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 7.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{e^{- x} + x e^{- x}} (- e^{- x} + x (- e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1)$

Paso 7.5

Simplifica los términos.

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Paso 7.5.1

Multiplica $e^{- x}$ por $1$ .

$\frac{1}{e^{- x} + x e^{- x}} (- e^{- x} + x (- e^{- x}) + e^{- x})$

Paso 7.5.2

Suma $- e^{- x}$ y $e^{- x}$ .

$\frac{1}{e^{- x} + x e^{- x}} (x (- e^{- x}) + 0)$

Paso 7.5.3

Suma $x (- e^{- x})$ y $0$ .

$\frac{1}{e^{- x} + x e^{- x}} (x (- e^{- x}))$

Paso 7.5.4

Combina $x$ y $\frac{1}{e^{- x} + x e^{- x}}$ .

$\frac{x}{e^{- x} + x e^{- x}} (- e^{- x})$

Paso 7.5.5

Combina $\frac{x}{e^{- x} + x e^{- x}}$ y $e^{- x}$ .

$- \frac{x e^{- x}}{e^{- x} + x e^{- x}}$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Factoriza $e^{- x}$ de $e^{- x} + x e^{- x}$ .

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Paso 8.1.1

Multiplica por $1$ .

$- \frac{x e^{- x}}{e^{- x} \cdot 1 + x e^{- x}}$

Paso 8.1.2

Factoriza $e^{- x}$ de $x e^{- x}$ .

$- \frac{x e^{- x}}{e^{- x} \cdot 1 + e^{- x} x}$

Paso 8.1.3

Factoriza $e^{- x}$ de $e^{- x} \cdot 1 + e^{- x} x$ .

$- \frac{x e^{- x}}{e^{- x} (1 + x)}$

Paso 8.2

Cancela el factor común de $e^{- x}$ .

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Paso 8.2.1

Cancela el factor común.

$- \frac{x e^{- x}}{e^{- x} (1 + x)}$

Paso 8.2.2

Reescribe la expresión.

$- \frac{x}{1 + x}$