Álgebra Ejemplos

$f (x) = \frac{2 x^{2} + 3 x - 5}{2 x^{2} - 5 x}$

Paso 1

Determina si la función es impar, par o ninguna para obtener la simetría.

1. Si es impar, la función es simétrica con respecto al origen.

2. Si es par, la función es simétrica con respecto al eje y.

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 2.1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 2 \cdot - 5 = - 10$ y cuya suma es $b = 3$ .

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Paso 2.1.1.1

Factoriza $3$ de $3 x$ .

$f (x) = \frac{2 x^{2} + 3 (x) - 5}{2 x^{2} - 5 x}$

Paso 2.1.1.2

Reescribe $3$ como $- 2$ más $5$

$f (x) = \frac{2 x^{2} + (- 2 + 5) x - 5}{2 x^{2} - 5 x}$

Paso 2.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x) = \frac{2 x^{2} - 2 x + 5 x - 5}{2 x^{2} - 5 x}$

Paso 2.1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$f (x) = \frac{(2 x^{2} - 2 x) + 5 x - 5}{2 x^{2} - 5 x}$

Paso 2.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$f (x) = \frac{2 x (x - 1) + 5 (x - 1)}{2 x^{2} - 5 x}$

Paso 2.1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $x - 1$ .

$f (x) = \frac{(x - 1) (2 x + 5)}{2 x^{2} - 5 x}$

Paso 2.2

Factoriza $x$ de $2 x^{2} - 5 x$ .

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Paso 2.2.1

Factoriza $x$ de $2 x^{2}$ .

$f (x) = \frac{(x - 1) (2 x + 5)}{x (2 x) - 5 x}$

Paso 2.2.2

Factoriza $x$ de $- 5 x$ .

$f (x) = \frac{(x - 1) (2 x + 5)}{x (2 x) + x \cdot - 5}$

Paso 2.2.3

Factoriza $x$ de $x (2 x) + x \cdot - 5$ .

$f (x) = \frac{(x - 1) (2 x + 5)}{x (2 x - 5)}$

Paso 3

Obtén $f (- x)$ .

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Paso 3.1

Obtén $f (- x)$ mediante la sustitución de $- x$ para todos los casos de $x$ en $f (x)$ .

$f (- x) = \frac{((- x) - 1) (2 (- x) + 5)}{(- x) (2 (- x) - 5)}$

Paso 3.2

Simplifica la expresión.

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Paso 3.2.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f (- x) = \frac{(- x - 1) (- 2 x + 5)}{- x (2 (- x) - 5)}$

Paso 3.2.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f (- x) = \frac{(- x - 1) (- 2 x + 5)}{- x (- 2 x - 5)}$

Paso 3.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (- x) = - \frac{(- x - 1) (- 2 x + 5)}{x (- 2 x - 5)}$

Paso 3.3

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$f (- x) = - \frac{(- (x) - 1) (- 2 x + 5)}{x (- 2 x - 5)}$

Paso 3.4

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$f (- x) = - \frac{(- (x) - 1 \cdot 1) (- 2 x + 5)}{x (- 2 x - 5)}$

Paso 3.5

Factoriza $- 1$ de $- (x) - 1 (1)$ .

$f (- x) = - \frac{- (x + 1) (- 2 x + 5)}{x (- 2 x - 5)}$

Paso 3.6

Reescribe $- (x + 1)$ como $- 1 (x + 1)$ .

$f (- x) = - \frac{- 1 (x + 1) (- 2 x + 5)}{x (- 2 x - 5)}$

Paso 3.7

Factoriza $- 1$ de $- 2 x$ .

$f (- x) = - \frac{- 1 (x + 1) (- (2 x) + 5)}{x (- 2 x - 5)}$

Paso 3.8

Reescribe $5$ como $- 1 (- 5)$ .

$f (- x) = - \frac{- 1 (x + 1) (- (2 x) - 1 \cdot - 5)}{x (- 2 x - 5)}$

Paso 3.9

Factoriza $- 1$ de $- (2 x) - 1 (- 5)$ .

$f (- x) = - \frac{- 1 (x + 1) (- (2 x - 5))}{x (- 2 x - 5)}$

Paso 3.10

Simplifica la expresión.

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Paso 3.10.1

Reescribe $- (2 x - 5)$ como $- 1 (2 x - 5)$ .

$f (- x) = - \frac{- 1 (x + 1) (- 1 (2 x - 5))}{x (- 2 x - 5)}$

Paso 3.10.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f (- x) = - \frac{1 (x + 1) (2 x - 5)}{x (- 2 x - 5)}$

Paso 3.10.3

Multiplica $x + 1$ por $1$ .

$f (- x) = - \frac{(x + 1) (2 x - 5)}{x (- 2 x - 5)}$

Paso 3.11

Factoriza $- 1$ de $- 2 x$ .

$f (- x) = - \frac{(x + 1) (2 x - 5)}{x (- (2 x) - 5)}$

Paso 3.12

Reescribe $- 5$ como $- 1 (5)$ .

$f (- x) = - \frac{(x + 1) (2 x - 5)}{x (- (2 x) - 1 \cdot 5)}$

Paso 3.13

Factoriza $- 1$ de $- (2 x) - 1 (5)$ .

$f (- x) = - \frac{(x + 1) (2 x - 5)}{x (- (2 x + 5))}$

Paso 3.14

Simplifica la expresión.

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Paso 3.14.1

Reescribe $- (2 x + 5)$ como $- 1 (2 x + 5)$ .

$f (- x) = - \frac{(x + 1) (2 x - 5)}{x (- 1 (2 x + 5))}$

Paso 3.14.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (- x) = \frac{(x + 1) (2 x - 5)}{x (2 x + 5)}$

Paso 3.14.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f (- x) = 1 (\frac{(x + 1) (2 x - 5)}{x (2 x + 5)})$

Paso 3.14.4

Multiplica $\frac{(x + 1) (2 x - 5)}{x (2 x + 5)}$ por $1$ .

$f (- x) = \frac{(x + 1) (2 x - 5)}{x (2 x + 5)}$

Paso 4

Una función es par si $f (- x) = f (x)$ .

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Paso 4.1

Comprueba si $f (- x) = f (x)$ .

Paso 4.2

Como $\frac{(x + 1) (2 x - 5)}{x (2 x + 5)}$ $\neq$ $\frac{(x - 1) (2 x + 5)}{x (2 x - 5)}$ , la función no es par.

La función no es par

Paso 5

Una función es impar si $f (- x) = - f (x)$ .

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Paso 5.1

Multiplica $- 1$ por $\frac{(x - 1) (2 x + 5)}{x (2 x - 5)}$ .

$- f (x) = - \frac{(x - 1) (2 x + 5)}{x (2 x - 5)}$

Paso 5.2

Como $\frac{(x + 1) (2 x - 5)}{x (2 x + 5)}$ $\neq$ $- \frac{(x - 1) (2 x + 5)}{x (2 x - 5)}$ , la función no es impar.

La función no es impar

Paso 6

La función no es par ni impar

Paso 7

Como la función no es impar, no es simétrica con respecto al origen.

No hay simetría de origen

Paso 8

Como la función no es par, no es simétrica con respecto al eje y.

No hay simetría del eje y

Paso 9

Como la función no es par ni impar, no hay simetría del origen/eje y.

La función no es simétrica

Paso 10