Álgebra Ejemplos

$\frac{2 x^{3} + 28000}{x}$

Paso 1

Escribe $\frac{2 x^{3} + 28000}{x}$ como una función.

$f (x) = \frac{2 x^{3} + 28000}{x}$

Paso 2

Obtén la primera derivada de la función.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = 2 x^{3} + 28000$ y $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 28000] - (2 x^{3} + 28000) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 2.2

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x^{3} + 28000$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [28000]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [28000]) - (2 x^{3} + 28000) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 2.2.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x^{3}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{x (2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [28000]) - (2 x^{3} + 28000) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 2.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{x (2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [28000]) - (2 x^{3} + 28000) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 2.2.4

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{x (6 x^{2} + \frac{d}{d x} [28000]) - (2 x^{3} + 28000) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 2.2.5

Como $28000$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $28000$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{x (6 x^{2} + 0) - (2 x^{3} + 28000) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 2.2.6

Suma $6 x^{2}$ y $0$ .

$\frac{x (6 x^{2}) - (2 x^{3} + 28000) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 2.3

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{6 (x^{1} x^{2}) - (2 x^{3} + 28000) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 2.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{6 x^{1 + 2} - (2 x^{3} + 28000) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 2.5

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{6 x^{3} - (2 x^{3} + 28000) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{6 x^{3} - (2 x^{3} + 28000) \cdot 1}{x^{2}}$

Paso 2.7

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{6 x^{3} - (2 x^{3} + 28000)}{x^{2}}$

Paso 2.8

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.8.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{6 x^{3} - (2 x^{3}) - 1 \cdot 28000}{x^{2}}$

Paso 2.8.2

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.8.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.8.2.1.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{6 x^{3} - 2 x^{3} - 1 \cdot 28000}{x^{2}}$

Paso 2.8.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $28000$ .

$\frac{6 x^{3} - 2 x^{3} - 28000}{x^{2}}$

Paso 2.8.2.2

Resta $2 x^{3}$ de $6 x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3} - 28000}{x^{2}}$

Paso 2.8.3

Factoriza $4$ de $4 x^{3} - 28000$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.8.3.1

Factoriza $4$ de $4 x^{3}$ .

$\frac{4 (x^{3}) - 28000}{x^{2}}$

Paso 2.8.3.2

Factoriza $4$ de $- 28000$ .

$\frac{4 x^{3} + 4 \cdot - 7000}{x^{2}}$

Paso 2.8.3.3

Factoriza $4$ de $4 x^{3} + 4 \cdot - 7000$ .

$\frac{4 (x^{3} - 7000)}{x^{2}}$

Paso 3

Obtén la segunda derivada de la función.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{4 (x^{3} - 7000)}{x^{2}}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [\frac{x^{3} - 7000}{x^{2}}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (\frac{x^{3} - 7000}{x^{2}})$

Paso 3.2

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{2} \frac{d}{d x} (x^{3} - 7000) - (x^{3} - 7000) \frac{d}{d x} x^{2}}{{(x^{2})}^{2}})$

Paso 3.3

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{2} \frac{d}{d x} (x^{3} - 7000) - (x^{3} - 7000) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{2 \cdot 2}})$

Paso 3.3.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{2} \frac{d}{d x} (x^{3} - 7000) - (x^{3} - 7000) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}})$

Paso 3.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} - 7000$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7000]$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{2} (\frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 7000)) - (x^{3} - 7000) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}})$

Paso 3.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{2} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 7000)) - (x^{3} - 7000) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}})$

Paso 3.3.4

Como $- 7000$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 7000$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{2} (3 x^{2} + 0) - (x^{3} - 7000) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}})$

Paso 3.3.5

Suma $3 x^{2}$ y $0$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{2} (3 x^{2}) - (x^{3} - 7000) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}})$

Paso 3.4

Multiplica $x^{2}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.1

Mueve $x^{2}$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{2} x^{2} \cdot 3 - (x^{3} - 7000) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}})$

Paso 3.4.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{2 + 2} \cdot 3 - (x^{3} - 7000) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}})$

Paso 3.4.3

Suma $2$ y $2$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{4} \cdot 3 - (x^{3} - 7000) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}})$

Paso 3.5

Mueve $3$ a la izquierda de $x^{4}$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{3 \cdot x^{4} - (x^{3} - 7000) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}})$

Paso 3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{3 x^{4} - (x^{3} - 7000) (2 x)}{x^{4}})$

Paso 3.7

Simplifica con la obtención del factor común.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.7.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{3 x^{4} - 2 (x^{3} - 7000) x}{x^{4}})$

Paso 3.7.2

Factoriza $x$ de $3 x^{4} - 2 (x^{3} - 7000) x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.7.2.1

Factoriza $x$ de $3 x^{4}$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x (3 x^{3}) - 2 (x^{3} - 7000) x}{x^{4}})$

Paso 3.7.2.2

Factoriza $x$ de $- 2 (x^{3} - 7000) x$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x (3 x^{3}) + x (- 2 (x^{3} - 7000))}{x^{4}})$

Paso 3.7.2.3

Factoriza $x$ de $x (3 x^{3}) + x (- 2 (x^{3} - 7000))$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x (3 x^{3} - 2 (x^{3} - 7000))}{x^{4}})$

Paso 3.8

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.8.1

Factoriza $x$ de $x^{4}$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x (3 x^{3} - 2 (x^{3} - 7000))}{x \cdot x^{3}})$

Paso 3.8.2

Cancela el factor común.

$f'' (x) = 4 (\frac{x (3 x^{3} - 2 (x^{3} - 7000))}{x \cdot x^{3}})$

Paso 3.8.3

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = 4 (\frac{3 x^{3} - 2 (x^{3} - 7000)}{x^{3}})$

Paso 3.9

Combina $4$ y $\frac{3 x^{3} - 2 (x^{3} - 7000)}{x^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4 (3 x^{3} - 2 (x^{3} - 7000))}{x^{3}}$

Paso 3.10

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.10.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{4 (3 x^{3} - 2 x^{3} - 2 \cdot - 7000)}{x^{3}}$

Paso 3.10.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{4 (3 x^{3}) + 4 (- 2 x^{3}) + 4 (- 2 \cdot - 7000)}{x^{3}}$

Paso 3.10.3

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.10.3.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.10.3.1.1

Multiplica $3$ por $4$ .

$f'' (x) = \frac{12 x^{3} + 4 (- 2 x^{3}) + 4 (- 2 \cdot - 7000)}{x^{3}}$

Paso 3.10.3.1.2

Multiplica $- 2$ por $4$ .

$f'' (x) = \frac{12 x^{3} - 8 x^{3} + 4 (- 2 \cdot - 7000)}{x^{3}}$

Paso 3.10.3.1.3

Multiplica $4 (- 2 \cdot - 7000)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.10.3.1.3.1

Multiplica $- 2$ por $- 7000$ .

$f'' (x) = \frac{12 x^{3} - 8 x^{3} + 4 \cdot 14000}{x^{3}}$

Paso 3.10.3.1.3.2

Multiplica $4$ por $14000$ .

$f'' (x) = \frac{12 x^{3} - 8 x^{3} + 56000}{x^{3}}$

Paso 3.10.3.2

Resta $8 x^{3}$ de $12 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{3} + 56000}{x^{3}}$

Paso 3.10.4

Factoriza $4$ de $4 x^{3} + 56000$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.10.4.1

Factoriza $4$ de $4 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4 (x^{3}) + 56000}{x^{3}}$

Paso 3.10.4.2

Factoriza $4$ de $56000$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{3} + 4 \cdot 14000}{x^{3}}$

Paso 3.10.4.3

Factoriza $4$ de $4 x^{3} + 4 \cdot 14000$ .

$f'' (x) = \frac{4 (x^{3} + 14000)}{x^{3}}$

Paso 4

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$\frac{4 (x^{3} - 7000)}{x^{2}} = 0$

Paso 5

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.1

$\frac{x \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 28000] - (2 x^{3} + 28000) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 5.1.2

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x^{3} + 28000$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [28000]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [28000]) - (2 x^{3} + 28000) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 5.1.2.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x^{3}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{x (2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [28000]) - (2 x^{3} + 28000) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 5.1.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{x (2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [28000]) - (2 x^{3} + 28000) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 5.1.2.4

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{x (6 x^{2} + \frac{d}{d x} [28000]) - (2 x^{3} + 28000) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 5.1.2.5

Como $28000$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $28000$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{x (6 x^{2} + 0) - (2 x^{3} + 28000) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 5.1.2.6

Suma $6 x^{2}$ y $0$ .

$\frac{x (6 x^{2}) - (2 x^{3} + 28000) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 5.1.3

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{6 (x^{1} x^{2}) - (2 x^{3} + 28000) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 5.1.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{6 x^{1 + 2} - (2 x^{3} + 28000) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 5.1.5

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{6 x^{3} - (2 x^{3} + 28000) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 5.1.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{6 x^{3} - (2 x^{3} + 28000) \cdot 1}{x^{2}}$

Paso 5.1.7

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{6 x^{3} - (2 x^{3} + 28000)}{x^{2}}$

Paso 5.1.8

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.8.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{6 x^{3} - (2 x^{3}) - 1 \cdot 28000}{x^{2}}$

Paso 5.1.8.2

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.8.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.8.2.1.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{6 x^{3} - 2 x^{3} - 1 \cdot 28000}{x^{2}}$

Paso 5.1.8.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $28000$ .

$\frac{6 x^{3} - 2 x^{3} - 28000}{x^{2}}$

Paso 5.1.8.2.2

Resta $2 x^{3}$ de $6 x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3} - 28000}{x^{2}}$

Paso 5.1.8.3

Factoriza $4$ de $4 x^{3} - 28000$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.8.3.1

Factoriza $4$ de $4 x^{3}$ .

$\frac{4 (x^{3}) - 28000}{x^{2}}$

Paso 5.1.8.3.2

Factoriza $4$ de $- 28000$ .

$\frac{4 x^{3} + 4 \cdot - 7000}{x^{2}}$

Paso 5.1.8.3.3

Factoriza $4$ de $4 x^{3} + 4 \cdot - 7000$ .

$f' (x) = \frac{4 (x^{3} - 7000)}{x^{2}}$

Paso 5.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{4 (x^{3} - 7000)}{x^{2}}$ .

$\frac{4 (x^{3} - 7000)}{x^{2}}$

Paso 6

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{4 (x^{3} - 7000)}{x^{2}} = 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{4 (x^{3} - 7000)}{x^{2}} = 0$

Paso 6.2

Establece el numerador igual a cero.

$4 (x^{3} - 7000) = 0$

Paso 6.3

Resuelve la ecuación en $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.1

Divide cada término en $4 (x^{3} - 7000) = 0$ por $4$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.1.1

Divide cada término en $4 (x^{3} - 7000) = 0$ por $4$ .

$\frac{4 (x^{3} - 7000)}{4} = \frac{0}{4}$

Paso 6.3.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.1.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 (x^{3} - 7000)}{4} = \frac{0}{4}$

Paso 6.3.1.2.1.2

Divide $x^{3} - 7000$ por $1$ .

$x^{3} - 7000 = \frac{0}{4}$

Paso 6.3.1.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.1.3.1

Divide $0$ por $4$ .

$x^{3} - 7000 = 0$

Paso 6.3.2

Suma $7000$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{3} = 7000$

Paso 6.3.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \sqrt[3]{7000}$

Paso 6.3.4

Simplifica $\sqrt[3]{7000}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.4.1

Reescribe $7000$ como $10^{3} \cdot 7$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.4.1.1

Factoriza $1000$ de $7000$ .

$x = \sqrt[3]{1000 (7)}$

Paso 6.3.4.1.2

Reescribe $1000$ como $10^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{10^{3} \cdot 7}$

Paso 6.3.4.2

Retira los términos de abajo del radical.

$x = 10 \sqrt[3]{7}$

Paso 7

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1

Establece el denominador en $\frac{4 (x^{3} - 7000)}{x^{2}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x^{2} = 0$

Paso 7.2

Resuelve $x$

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{0}$

Paso 7.2.2

Simplifica $\pm \sqrt{0}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.2.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Paso 7.2.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 0$

Paso 7.2.2.3

Más o menos $0$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 8

Puntos críticos para evaluar.

$x = 10 \sqrt[3]{7}$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada en $x = 10 \sqrt[3]{7}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$\frac{4 ({(10 \sqrt[3]{7})}^{3} + 14000)}{{(10 \sqrt[3]{7})}^{3}}$

Paso 10

Evalúa la segunda derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.1.1

Aplica la regla del producto a $10 \sqrt[3]{7}$ .

$\frac{4 (10^{3} {\sqrt[3]{7}}^{3} + 14000)}{{(10 \sqrt[3]{7})}^{3}}$

Paso 10.1.2

Eleva $10$ a la potencia de $3$ .

$\frac{4 (1000 {\sqrt[3]{7}}^{3} + 14000)}{{(10 \sqrt[3]{7})}^{3}}$

Paso 10.1.3

Reescribe ${\sqrt[3]{7}}^{3}$ como $7$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 10.1.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{7}$ como $7^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{4 (1000 {(7^{\frac{1}{3}})}^{3} + 14000)}{{(10 \sqrt[3]{7})}^{3}}$

Paso 10.1.3.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4 (1000 \cdot 7^{\frac{1}{3} \cdot 3} + 14000)}{{(10 \sqrt[3]{7})}^{3}}$

Paso 10.1.3.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $3$ .

$\frac{4 (1000 \cdot 7^{\frac{3}{3}} + 14000)}{{(10 \sqrt[3]{7})}^{3}}$

Paso 10.1.3.4

Cancela el factor común de $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 10.1.3.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 (1000 \cdot 7^{\frac{3}{3}} + 14000)}{{(10 \sqrt[3]{7})}^{3}}$

Paso 10.1.3.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{4 (1000 \cdot 7^{1} + 14000)}{{(10 \sqrt[3]{7})}^{3}}$

Paso 10.1.3.5

Evalúa el exponente.

$\frac{4 (1000 \cdot 7 + 14000)}{{(10 \sqrt[3]{7})}^{3}}$

Paso 10.1.4

Multiplica $1000$ por $7$ .

$\frac{4 (7000 + 14000)}{{(10 \sqrt[3]{7})}^{3}}$

Paso 10.1.5

Suma $7000$ y $14000$ .

$\frac{4 \cdot 21000}{{(10 \sqrt[3]{7})}^{3}}$

Paso 10.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.2.1

Aplica la regla del producto a $10 \sqrt[3]{7}$ .

$\frac{4 \cdot 21000}{10^{3} {\sqrt[3]{7}}^{3}}$

Paso 10.2.2

Eleva $10$ a la potencia de $3$ .

$\frac{4 \cdot 21000}{1000 {\sqrt[3]{7}}^{3}}$

Paso 10.2.3

Reescribe ${\sqrt[3]{7}}^{3}$ como $7$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 10.2.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{7}$ como $7^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{4 \cdot 21000}{1000 {(7^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Paso 10.2.3.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4 \cdot 21000}{1000 \cdot 7^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Paso 10.2.3.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $3$ .

$\frac{4 \cdot 21000}{1000 \cdot 7^{\frac{3}{3}}}$

Paso 10.2.3.4

Cancela el factor común de $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 10.2.3.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 \cdot 21000}{1000 \cdot 7^{\frac{3}{3}}}$

Paso 10.2.3.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{4 \cdot 21000}{1000 \cdot 7^{1}}$

Paso 10.2.3.5

Evalúa el exponente.

$\frac{4 \cdot 21000}{1000 \cdot 7}$

Paso 10.3

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.3.1

Multiplica $4$ por $21000$ .

$\frac{84000}{1000 \cdot 7}$

Paso 10.3.2

Multiplica $1000$ por $7$ .

$\frac{84000}{7000}$

Paso 10.3.3

Divide $84000$ por $7000$ .

$12$

Paso 11

$x = 10 \sqrt[3]{7}$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = 10 \sqrt[3]{7}$ es un mínimo local

Paso 12

Obtén el valor de y cuando $x = 10 \sqrt[3]{7}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 12.1

Reemplaza la variable $x$ con $10 \sqrt[3]{7}$ en la expresión.

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{2 {(10 \sqrt[3]{7})}^{3} + 28000}{10 \sqrt[3]{7}}$

Paso 12.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 12.2.1

Cancela el factor común de $2 {(10 \sqrt[3]{7})}^{3} + 28000$ y $10$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 12.2.1.1

Factoriza $2$ de $2 {(10 \sqrt[3]{7})}^{3}$ .

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{2 ({(10 \sqrt[3]{7})}^{3}) + 28000}{10 \sqrt[3]{7}}$

Paso 12.2.1.2

Factoriza $2$ de $28000$ .

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{2 {(10 \sqrt[3]{7})}^{3} + 2 \cdot 14000}{10 \sqrt[3]{7}}$

Paso 12.2.1.3

Factoriza $2$ de $2 {(10 \sqrt[3]{7})}^{3} + 2 \cdot 14000$ .

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{2 ({(10 \sqrt[3]{7})}^{3} + 14000)}{10 \sqrt[3]{7}}$

Paso 12.2.1.4

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 12.2.1.4.1

Factoriza $2$ de $10 \sqrt[3]{7}$ .

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{2 ({(10 \sqrt[3]{7})}^{3} + 14000)}{2 (5 \sqrt[3]{7})}$

Paso 12.2.1.4.2

Cancela el factor común.

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{2 ({(10 \sqrt[3]{7})}^{3} + 14000)}{2 (5 \sqrt[3]{7})}$

Paso 12.2.1.4.3

Reescribe la expresión.

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{{(10 \sqrt[3]{7})}^{3} + 14000}{5 \sqrt[3]{7}}$

Paso 12.2.2

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 12.2.2.1

Aplica la regla del producto a $10 \sqrt[3]{7}$ .

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{10^{3} {\sqrt[3]{7}}^{3} + 14000}{5 \sqrt[3]{7}}$

Paso 12.2.2.2

Eleva $10$ a la potencia de $3$ .

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{1000 {\sqrt[3]{7}}^{3} + 14000}{5 \sqrt[3]{7}}$

Paso 12.2.2.3

Reescribe ${\sqrt[3]{7}}^{3}$ como $7$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 12.2.2.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{7}$ como $7^{\frac{1}{3}}$ .

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{1000 {(7^{\frac{1}{3}})}^{3} + 14000}{5 \sqrt[3]{7}}$

Paso 12.2.2.3.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{1000 \cdot 7^{\frac{1}{3} \cdot 3} + 14000}{5 \sqrt[3]{7}}$

Paso 12.2.2.3.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $3$ .

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{1000 \cdot 7^{\frac{3}{3}} + 14000}{5 \sqrt[3]{7}}$

Paso 12.2.2.3.4

Cancela el factor común de $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 12.2.2.3.4.1

Cancela el factor común.

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{1000 \cdot 7^{\frac{3}{3}} + 14000}{5 \sqrt[3]{7}}$

Paso 12.2.2.3.4.2

Reescribe la expresión.

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{1000 \cdot 7 + 14000}{5 \sqrt[3]{7}}$

Paso 12.2.2.3.5

Evalúa el exponente.

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{1000 \cdot 7 + 14000}{5 \sqrt[3]{7}}$

Paso 12.2.2.4

Multiplica $1000$ por $7$ .

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{7000 + 14000}{5 \sqrt[3]{7}}$

Paso 12.2.2.5

Suma $7000$ y $14000$ .

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{21000}{5 \sqrt[3]{7}}$

Paso 12.2.3

Cancela el factor común de $21000$ y $5$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 12.2.3.1

Factoriza $5$ de $21000$ .

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{5 \cdot 4200}{5 \sqrt[3]{7}}$

Paso 12.2.3.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 12.2.3.2.1

Factoriza $5$ de $5 \sqrt[3]{7}$ .

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{5 \cdot 4200}{5 (\sqrt[3]{7})}$

Paso 12.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{5 \cdot 4200}{5 \sqrt[3]{7}}$

Paso 12.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{4200}{\sqrt[3]{7}}$

Paso 12.2.4

Multiplica $\frac{4200}{\sqrt[3]{7}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{7}}^{2}}{{\sqrt[3]{7}}^{2}}$ .

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{4200}{\sqrt[3]{7}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{7}}^{2}}{{\sqrt[3]{7}}^{2}}$

Paso 12.2.5

Combina y simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 12.2.5.1

Multiplica $\frac{4200}{\sqrt[3]{7}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{7}}^{2}}{{\sqrt[3]{7}}^{2}}$ .

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{4200 {\sqrt[3]{7}}^{2}}{\sqrt[3]{7} {\sqrt[3]{7}}^{2}}$

Paso 12.2.5.2

Eleva $\sqrt[3]{7}$ a la potencia de $1$ .

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{4200 {\sqrt[3]{7}}^{2}}{\sqrt[3]{7} {\sqrt[3]{7}}^{2}}$

Paso 12.2.5.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{4200 {\sqrt[3]{7}}^{2}}{{\sqrt[3]{7}}^{1 + 2}}$

Paso 12.2.5.4

Suma $1$ y $2$ .

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{4200 {\sqrt[3]{7}}^{2}}{{\sqrt[3]{7}}^{3}}$

Paso 12.2.5.5

Reescribe ${\sqrt[3]{7}}^{3}$ como $7$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 12.2.5.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{7}$ como $7^{\frac{1}{3}}$ .

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{4200 {\sqrt[3]{7}}^{2}}{{(7^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Paso 12.2.5.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{4200 {\sqrt[3]{7}}^{2}}{7^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Paso 12.2.5.5.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $3$ .

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{4200 {\sqrt[3]{7}}^{2}}{7^{\frac{3}{3}}}$

Paso 12.2.5.5.4

Cancela el factor común de $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 12.2.5.5.4.1

Cancela el factor común.

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{4200 {\sqrt[3]{7}}^{2}}{7^{\frac{3}{3}}}$

Paso 12.2.5.5.4.2

Reescribe la expresión.

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{4200 {\sqrt[3]{7}}^{2}}{7}$

Paso 12.2.5.5.5

Evalúa el exponente.

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{4200 {\sqrt[3]{7}}^{2}}{7}$

Paso 12.2.6

Cancela el factor común de $4200$ y $7$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 12.2.6.1

Factoriza $7$ de $4200 {\sqrt[3]{7}}^{2}$ .

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{7 (600 {\sqrt[3]{7}}^{2})}{7}$

Paso 12.2.6.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 12.2.6.2.1

Factoriza $7$ de $7$ .

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{7 (600 {\sqrt[3]{7}}^{2})}{7 (1)}$

Paso 12.2.6.2.2

Cancela el factor común.

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{7 (600 {\sqrt[3]{7}}^{2})}{7 \cdot 1}$

Paso 12.2.6.2.3

Reescribe la expresión.

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{600 {\sqrt[3]{7}}^{2}}{1}$

Paso 12.2.6.2.4

Divide $600 {\sqrt[3]{7}}^{2}$ por $1$ .

$f (10 \sqrt[3]{7}) = 600 {\sqrt[3]{7}}^{2}$

Paso 12.2.7

Reescribe ${\sqrt[3]{7}}^{2}$ como $\sqrt[3]{7^{2}}$ .

$f (10 \sqrt[3]{7}) = 600 \sqrt[3]{7^{2}}$

Paso 12.2.8

Eleva $7$ a la potencia de $2$ .

$f (10 \sqrt[3]{7}) = 600 \sqrt[3]{49}$

Paso 12.2.9

La respuesta final es $600 \sqrt[3]{49}$ .

$y = 600 \sqrt[3]{49}$

Paso 13

Estos son los extremos locales de $f (x) = \frac{2 x^{3} + 28000}{x}$ .

$(10 \sqrt[3]{7}, 600 \sqrt[3]{49})$ es un mínimo local

Paso 14