Álgebra Ejemplos

$- \frac{8 x}{5 x - 6}$

Paso 1

Intercambia las variables.

$x = - \frac{8 y}{5 y - 6}$

Paso 2

Resuelve $y$

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Paso 2.1

Multiplica la ecuación por $5 y - 6$ .

$(5 y - 6) (x) = (- \frac{8 y}{5 y - 6}) (5 y - 6)$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$5 y x - 6 x = (- \frac{8 y}{5 y - 6}) (5 y - 6)$

Paso 2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Cancela el factor común de $5 y - 6$ .

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Paso 2.3.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{8 y}{5 y - 6}$ al numerador.

$5 y x - 6 x = \frac{- 8 y}{5 y - 6} (5 y - 6)$

Paso 2.3.1.2

Cancela el factor común.

$5 y x - 6 x = \frac{- 8 y}{5 y - 6} (5 y - 6)$

Paso 2.3.1.3

Reescribe la expresión.

$5 y x - 6 x = - 8 y$

Paso 2.4

Resuelve $y$

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Paso 2.4.1

Suma $8 y$ a ambos lados de la ecuación.

$5 y x - 6 x + 8 y = 0$

Paso 2.4.2

Suma $6 x$ a ambos lados de la ecuación.

$5 y x + 8 y = 6 x$

Paso 2.4.3

Factoriza $y$ de $5 y x + 8 y$ .

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Paso 2.4.3.1

Factoriza $y$ de $5 y x$ .

$y (5 x) + 8 y = 6 x$

Paso 2.4.3.2

Factoriza $y$ de $8 y$ .

$y (5 x) + y \cdot 8 = 6 x$

Paso 2.4.3.3

Factoriza $y$ de $y (5 x) + y \cdot 8$ .

$y (5 x + 8) = 6 x$

Paso 2.4.4

Divide cada término en $y (5 x + 8) = 6 x$ por $5 x + 8$ y simplifica.

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Paso 2.4.4.1

Divide cada término en $y (5 x + 8) = 6 x$ por $5 x + 8$ .

$\frac{y (5 x + 8)}{5 x + 8} = \frac{6 x}{5 x + 8}$

Paso 2.4.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.4.4.2.1

Cancela el factor común de $5 x + 8$ .

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Paso 2.4.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y (5 x + 8)}{5 x + 8} = \frac{6 x}{5 x + 8}$

Paso 2.4.4.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{6 x}{5 x + 8}$

Paso 3

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = \frac{6 x}{5 x + 8}$

Paso 4

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{6 x}{5 x + 8}$ es la inversa de $f (x) = - \frac{8 x}{5 x - 6}$ .

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Paso 4.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 4.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 4.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 4.2.2

Evalúa $f^{- 1} (- \frac{8 x}{5 x - 6})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (- \frac{8 x}{5 x - 6}) = \frac{6 (- \frac{8 x}{5 x - 6})}{5 (- \frac{8 x}{5 x - 6}) + 8}$

Paso 4.2.3

Simplifica el numerador.

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Paso 4.2.3.1

Multiplica $- 1$ por $6$ .

$f^{- 1} (- \frac{8 x}{5 x - 6}) = \frac{- 6 \frac{8 x}{5 x - 6}}{5 (- \frac{8 x}{5 x - 6}) + 8}$

Paso 4.2.3.2

Combina $- 6$ y $\frac{8 x}{5 x - 6}$ .

$f^{- 1} (- \frac{8 x}{5 x - 6}) = \frac{\frac{- 6 (8 x)}{5 x - 6}}{5 (- \frac{8 x}{5 x - 6}) + 8}$

Paso 4.2.4

Simplifica el denominador.

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Paso 4.2.4.1

Multiplica $5 (- \frac{8 x}{5 x - 6})$ .

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Paso 4.2.4.1.1

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$f^{- 1} (- \frac{8 x}{5 x - 6}) = \frac{\frac{- 6 (8 x)}{5 x - 6}}{- 5 \frac{8 x}{5 x - 6} + 8}$

Paso 4.2.4.1.2

Combina $- 5$ y $\frac{8 x}{5 x - 6}$ .

$f^{- 1} (- \frac{8 x}{5 x - 6}) = \frac{\frac{- 6 (8 x)}{5 x - 6}}{\frac{- 5 (8 x)}{5 x - 6} + 8}$

Paso 4.2.4.1.3

Multiplica $8$ por $- 5$ .

$f^{- 1} (- \frac{8 x}{5 x - 6}) = \frac{\frac{- 6 (8 x)}{5 x - 6}}{\frac{- 40 x}{5 x - 6} + 8}$

Paso 4.2.4.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f^{- 1} (- \frac{8 x}{5 x - 6}) = \frac{\frac{- 6 (8 x)}{5 x - 6}}{- \frac{40 x}{5 x - 6} + 8}$

Paso 4.2.4.3

Para escribir $8$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5 x - 6}{5 x - 6}$ .

$f^{- 1} (- \frac{8 x}{5 x - 6}) = \frac{\frac{- 6 (8 x)}{5 x - 6}}{- \frac{40 x}{5 x - 6} + \frac{8 (5 x - 6)}{5 x - 6}}$

Paso 4.2.4.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f^{- 1} (- \frac{8 x}{5 x - 6}) = \frac{\frac{- 6 (8 x)}{5 x - 6}}{\frac{- 40 x + 8 (5 x - 6)}{5 x - 6}}$

Paso 4.2.4.5

Reescribe $\frac{- 40 x + 8 (5 x - 6)}{5 x - 6}$ en forma factorizada.

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Paso 4.2.4.5.1

Factoriza $8$ de $- 40 x + 8 (5 x - 6)$ .

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Paso 4.2.4.5.1.1

Factoriza $8$ de $- 40 x$ .

$f^{- 1} (- \frac{8 x}{5 x - 6}) = \frac{\frac{- 6 (8 x)}{5 x - 6}}{\frac{8 (- 5 x) + 8 (5 x - 6)}{5 x - 6}}$

Paso 4.2.4.5.1.2

Factoriza $8$ de $8 (- 5 x) + 8 (5 x - 6)$ .

$f^{- 1} (- \frac{8 x}{5 x - 6}) = \frac{\frac{- 6 (8 x)}{5 x - 6}}{\frac{8 (- 5 x + 5 x - 6)}{5 x - 6}}$

Paso 4.2.4.5.2

Suma $- 5 x$ y $5 x$ .

$f^{- 1} (- \frac{8 x}{5 x - 6}) = \frac{\frac{- 6 (8 x)}{5 x - 6}}{\frac{8 (0 - 6)}{5 x - 6}}$

Paso 4.2.4.5.3

Resta $6$ de $0$ .

$f^{- 1} (- \frac{8 x}{5 x - 6}) = \frac{\frac{- 6 (8 x)}{5 x - 6}}{\frac{8 \cdot - 6}{5 x - 6}}$

Paso 4.2.4.6

Multiplica $8$ por $- 6$ .

$f^{- 1} (- \frac{8 x}{5 x - 6}) = \frac{\frac{- 6 (8 x)}{5 x - 6}}{\frac{- 48}{5 x - 6}}$

Paso 4.2.4.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f^{- 1} (- \frac{8 x}{5 x - 6}) = \frac{\frac{- 6 (8 x)}{5 x - 6}}{- \frac{48}{5 x - 6}}$

Paso 4.2.5

Multiplica $- 6$ por $8$ .

$f^{- 1} (- \frac{8 x}{5 x - 6}) = \frac{\frac{- 48 x}{5 x - 6}}{- \frac{48}{5 x - 6}}$

Paso 4.2.6

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 4.2.6.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f^{- 1} (- \frac{8 x}{5 x - 6}) = \frac{- \frac{48 x}{5 x - 6}}{- \frac{48}{5 x - 6}}$

Paso 4.2.6.2

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$f^{- 1} (- \frac{8 x}{5 x - 6}) = \frac{\frac{48 x}{5 x - 6}}{\frac{48}{5 x - 6}}$

Paso 4.2.7

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f^{- 1} (- \frac{8 x}{5 x - 6}) = \frac{48 x}{5 x - 6} \cdot \frac{5 x - 6}{48}$

Paso 4.2.8

Cancela el factor común de $48$ .

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Paso 4.2.8.1

Factoriza $48$ de $48 x$ .

$f^{- 1} (- \frac{8 x}{5 x - 6}) = \frac{48 (x)}{5 x - 6} \cdot \frac{5 x - 6}{48}$

Paso 4.2.8.2

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (- \frac{8 x}{5 x - 6}) = \frac{48 x}{5 x - 6} \cdot \frac{5 x - 6}{48}$

Paso 4.2.8.3

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (- \frac{8 x}{5 x - 6}) = \frac{x}{5 x - 6} \cdot (5 x - 6)$

Paso 4.2.9

Cancela el factor común de $5 x - 6$ .

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Paso 4.2.9.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (- \frac{8 x}{5 x - 6}) = \frac{x}{5 x - 6} \cdot (5 x - 6)$

Paso 4.2.9.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (- \frac{8 x}{5 x - 6}) = x$

Paso 4.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 4.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 4.3.2

Evalúa $f (\frac{6 x}{5 x + 8})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\frac{6 x}{5 x + 8}) = - \frac{8 (\frac{6 x}{5 x + 8})}{5 (\frac{6 x}{5 x + 8}) - 6}$

Paso 4.3.3

Combina $8$ y $\frac{6 x}{5 x + 8}$ .

$f (\frac{6 x}{5 x + 8}) = - \frac{\frac{8 (6 x)}{5 x + 8}}{5 (\frac{6 x}{5 x + 8}) - 6}$

Paso 4.3.4

Simplifica el denominador.

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Paso 4.3.4.1

Multiplica $5 \frac{6 x}{5 x + 8}$ .

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Paso 4.3.4.1.1

Combina $5$ y $\frac{6 x}{5 x + 8}$ .

$f (\frac{6 x}{5 x + 8}) = - \frac{\frac{8 (6 x)}{5 x + 8}}{\frac{5 (6 x)}{5 x + 8} - 6}$

Paso 4.3.4.1.2

Multiplica $6$ por $5$ .

$f (\frac{6 x}{5 x + 8}) = - \frac{\frac{8 (6 x)}{5 x + 8}}{\frac{30 x}{5 x + 8} - 6}$

Paso 4.3.4.2

Para escribir $- 6$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5 x + 8}{5 x + 8}$ .

$f (\frac{6 x}{5 x + 8}) = - \frac{\frac{8 (6 x)}{5 x + 8}}{\frac{30 x}{5 x + 8} - 6 \cdot \frac{5 x + 8}{5 x + 8}}$

Paso 4.3.4.3

Combina $- 6$ y $\frac{5 x + 8}{5 x + 8}$ .

$f (\frac{6 x}{5 x + 8}) = - \frac{\frac{8 (6 x)}{5 x + 8}}{\frac{30 x}{5 x + 8} + \frac{- 6 (5 x + 8)}{5 x + 8}}$

Paso 4.3.4.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{6 x}{5 x + 8}) = - \frac{\frac{8 (6 x)}{5 x + 8}}{\frac{30 x - 6 (5 x + 8)}{5 x + 8}}$

Paso 4.3.4.5

Reescribe $\frac{30 x - 6 (5 x + 8)}{5 x + 8}$ en forma factorizada.

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Paso 4.3.4.5.1

Factoriza $6$ de $30 x - 6 (5 x + 8)$ .

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Paso 4.3.4.5.1.1

Factoriza $6$ de $30 x$ .

$f (\frac{6 x}{5 x + 8}) = - \frac{\frac{8 (6 x)}{5 x + 8}}{\frac{6 (5 x) - 6 (5 x + 8)}{5 x + 8}}$

Paso 4.3.4.5.1.2

Factoriza $6$ de $- 6 (5 x + 8)$ .

$f (\frac{6 x}{5 x + 8}) = - \frac{\frac{8 (6 x)}{5 x + 8}}{\frac{6 (5 x) + 6 (- (5 x + 8))}{5 x + 8}}$

Paso 4.3.4.5.1.3

Factoriza $6$ de $6 (5 x) + 6 (- (5 x + 8))$ .

$f (\frac{6 x}{5 x + 8}) = - \frac{\frac{8 (6 x)}{5 x + 8}}{\frac{6 (5 x - (5 x + 8))}{5 x + 8}}$

Paso 4.3.4.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f (\frac{6 x}{5 x + 8}) = - \frac{\frac{8 (6 x)}{5 x + 8}}{\frac{6 (5 x - (5 x) - 1 \cdot 8)}{5 x + 8}}$

Paso 4.3.4.5.3

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$f (\frac{6 x}{5 x + 8}) = - \frac{\frac{8 (6 x)}{5 x + 8}}{\frac{6 (5 x - 5 x - 1 \cdot 8)}{5 x + 8}}$

Paso 4.3.4.5.4

Multiplica $- 1$ por $8$ .

$f (\frac{6 x}{5 x + 8}) = - \frac{\frac{8 (6 x)}{5 x + 8}}{\frac{6 (5 x - 5 x - 8)}{5 x + 8}}$

Paso 4.3.4.5.5

Resta $5 x$ de $5 x$ .

$f (\frac{6 x}{5 x + 8}) = - \frac{\frac{8 (6 x)}{5 x + 8}}{\frac{6 (0 - 8)}{5 x + 8}}$

Paso 4.3.4.5.6

Resta $8$ de $0$ .

$f (\frac{6 x}{5 x + 8}) = - \frac{\frac{8 (6 x)}{5 x + 8}}{\frac{6 \cdot - 8}{5 x + 8}}$

Paso 4.3.4.6

Multiplica $6$ por $- 8$ .

$f (\frac{6 x}{5 x + 8}) = - \frac{\frac{8 (6 x)}{5 x + 8}}{\frac{- 48}{5 x + 8}}$

Paso 4.3.4.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (\frac{6 x}{5 x + 8}) = - \frac{\frac{8 (6 x)}{5 x + 8}}{- \frac{48}{5 x + 8}}$

Paso 4.3.5

Multiplica $8$ por $6$ .

$f (\frac{6 x}{5 x + 8}) = - \frac{\frac{48 x}{5 x + 8}}{- \frac{48}{5 x + 8}}$

Paso 4.3.6

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f (\frac{6 x}{5 x + 8}) = - (\frac{48 x}{5 x + 8} \cdot (- \frac{5 x + 8}{48}))$

Paso 4.3.7

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$f (\frac{6 x}{5 x + 8}) = - (- \frac{48 x}{5 x + 8} \cdot \frac{5 x + 8}{48})$

Paso 4.3.8

Cancela el factor común de $48$ .

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Paso 4.3.8.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{48 x}{5 x + 8}$ al numerador.

$f (\frac{6 x}{5 x + 8}) = - (\frac{- 48 x}{5 x + 8} \cdot \frac{5 x + 8}{48})$

Paso 4.3.8.2

Factoriza $48$ de $- 48 x$ .

$f (\frac{6 x}{5 x + 8}) = - (\frac{48 (- x)}{5 x + 8} \cdot \frac{5 x + 8}{48})$

Paso 4.3.8.3

Cancela el factor común.

$f (\frac{6 x}{5 x + 8}) = - (\frac{48 (- x)}{5 x + 8} \cdot \frac{5 x + 8}{48})$

Paso 4.3.8.4

Reescribe la expresión.

$f (\frac{6 x}{5 x + 8}) = - (\frac{- x}{5 x + 8} \cdot (5 x + 8))$

Paso 4.3.9

Cancela el factor común de $5 x + 8$ .

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Paso 4.3.9.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{6 x}{5 x + 8}) = - (\frac{- x}{5 x + 8} \cdot (5 x + 8))$

Paso 4.3.9.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{6 x}{5 x + 8}) = x$

Paso 4.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{6 x}{5 x + 8}$ es la inversa de $f (x) = - \frac{8 x}{5 x - 6}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{6 x}{5 x + 8}$