Álgebra Ejemplos

${(x - \frac{1}{x})}^{3}$

Paso 1

El triángulo de Pascal se puede visualizar de la siguiente manera:

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$1 - 3 - 3 - 1$

El triángulo puede usarse para calcular los coeficientes de la expansión de ${(a + b)}^{n}$ al tomar el exponente $n$ y sumar $1$ . Los coeficientes se corresponderán con la línea $n + 1$ del triángulo. Para ${(x - \frac{1}{x})}^{3}$ , $n = 3$ de modo que los coeficientes de la expansión se corresponderán con la línea $4$ .

Paso 2

La expansión sigue la regla ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ . Los valores de los coeficientes, desde el triángulo, son $1 - 3 - 3 - 1$ .

$1 a^{3} b^{0} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + 1 a^{0} b^{3}$

Paso 3

Sustituye los valores reales de $a$ , $x$ y $b$ en la expresión $- \frac{1}{x}$ .

$1 {(x)}^{3} {(- \frac{1}{x})}^{0} + 3 {(x)}^{2} {(- \frac{1}{x})}^{1} + 3 {(x)}^{1} {(- \frac{1}{x})}^{2} + 1 {(x)}^{0} {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Paso 4

Simplifica cada término.

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Paso 4.1

Multiplica ${(x)}^{3}$ por $1$ .

${(x)}^{3} {(- \frac{1}{x})}^{0} + 3 {(x)}^{2} {(- \frac{1}{x})}^{1} + 3 {(x)}^{1} {(- \frac{1}{x})}^{2} + 1 {(x)}^{0} {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Paso 4.2

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 4.2.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{1}{x}$ .

$x^{3} ({(- 1)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{0}) + 3 {(x)}^{2} {(- \frac{1}{x})}^{1} + 3 {(x)}^{1} {(- \frac{1}{x})}^{2} + 1 {(x)}^{0} {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Paso 4.2.2

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{x}$ .

$x^{3} ({(- 1)}^{0} \frac{1^{0}}{x^{0}}) + 3 {(x)}^{2} {(- \frac{1}{x})}^{1} + 3 {(x)}^{1} {(- \frac{1}{x})}^{2} + 1 {(x)}^{0} {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Paso 4.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

${(- 1)}^{0} x^{3} \frac{1^{0}}{x^{0}} + 3 {(x)}^{2} {(- \frac{1}{x})}^{1} + 3 {(x)}^{1} {(- \frac{1}{x})}^{2} + 1 {(x)}^{0} {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Paso 4.4

Cancela el factor común de $x^{0}$ .

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Paso 4.4.1

Factoriza $x^{0}$ de ${(- 1)}^{0} x^{3}$ .

$x^{0} ({(- 1)}^{0} x^{3}) \frac{1^{0}}{x^{0}} + 3 {(x)}^{2} {(- \frac{1}{x})}^{1} + 3 {(x)}^{1} {(- \frac{1}{x})}^{2} + 1 {(x)}^{0} {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Paso 4.4.2

Cancela el factor común.

$x^{0} ({(- 1)}^{0} x^{3}) \frac{1^{0}}{x^{0}} + 3 {(x)}^{2} {(- \frac{1}{x})}^{1} + 3 {(x)}^{1} {(- \frac{1}{x})}^{2} + 1 {(x)}^{0} {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Paso 4.4.3

Reescribe la expresión.

${(- 1)}^{0} x^{3} \cdot 1^{0} + 3 {(x)}^{2} {(- \frac{1}{x})}^{1} + 3 {(x)}^{1} {(- \frac{1}{x})}^{2} + 1 {(x)}^{0} {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Paso 4.5

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$1 x^{3} \cdot 1^{0} + 3 {(x)}^{2} {(- \frac{1}{x})}^{1} + 3 {(x)}^{1} {(- \frac{1}{x})}^{2} + 1 {(x)}^{0} {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Paso 4.6

Multiplica $1$ por $1^{0}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.6.1

Mueve $1^{0}$ .

$1^{0} \cdot 1 x^{3} + 3 {(x)}^{2} {(- \frac{1}{x})}^{1} + 3 {(x)}^{1} {(- \frac{1}{x})}^{2} + 1 {(x)}^{0} {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Paso 4.6.2

Multiplica $1^{0}$ por $1$ .

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Paso 4.6.2.1

Eleva $1$ a la potencia de $1$ .

$1^{0} \cdot 1^{1} x^{3} + 3 {(x)}^{2} {(- \frac{1}{x})}^{1} + 3 {(x)}^{1} {(- \frac{1}{x})}^{2} + 1 {(x)}^{0} {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Paso 4.6.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$1^{0 + 1} x^{3} + 3 {(x)}^{2} {(- \frac{1}{x})}^{1} + 3 {(x)}^{1} {(- \frac{1}{x})}^{2} + 1 {(x)}^{0} {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Paso 4.6.3

Suma $0$ y $1$ .

$1^{1} x^{3} + 3 {(x)}^{2} {(- \frac{1}{x})}^{1} + 3 {(x)}^{1} {(- \frac{1}{x})}^{2} + 1 {(x)}^{0} {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Paso 4.7

Simplifica $1^{1} x^{3}$ .

$x^{3} + 3 {(x)}^{2} {(- \frac{1}{x})}^{1} + 3 {(x)}^{1} {(- \frac{1}{x})}^{2} + 1 {(x)}^{0} {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Paso 4.8

Simplifica.

$x^{3} + 3 x^{2} (- \frac{1}{x}) + 3 {(x)}^{1} {(- \frac{1}{x})}^{2} + 1 {(x)}^{0} {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Paso 4.9

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 4.9.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{x}$ al numerador.

$x^{3} + 3 x^{2} \frac{- 1}{x} + 3 {(x)}^{1} {(- \frac{1}{x})}^{2} + 1 {(x)}^{0} {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Paso 4.9.2

Factoriza $x$ de $3 x^{2}$ .

$x^{3} + x (3 x) \frac{- 1}{x} + 3 {(x)}^{1} {(- \frac{1}{x})}^{2} + 1 {(x)}^{0} {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Paso 4.9.3

Cancela el factor común.

$x^{3} + x (3 x) \frac{- 1}{x} + 3 {(x)}^{1} {(- \frac{1}{x})}^{2} + 1 {(x)}^{0} {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Paso 4.9.4

Reescribe la expresión.

$x^{3} + 3 x \cdot - 1 + 3 {(x)}^{1} {(- \frac{1}{x})}^{2} + 1 {(x)}^{0} {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Paso 4.10

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$x^{3} - 3 x + 3 {(x)}^{1} {(- \frac{1}{x})}^{2} + 1 {(x)}^{0} {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Paso 4.11

Simplifica.

$x^{3} - 3 x + 3 x {(- \frac{1}{x})}^{2} + 1 {(x)}^{0} {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Paso 4.12

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 4.12.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{1}{x}$ .

$x^{3} - 3 x + 3 x ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{x})}^{2}) + 1 {(x)}^{0} {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Paso 4.12.2

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{x}$ .

$x^{3} - 3 x + 3 x ({(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{x^{2}}) + 1 {(x)}^{0} {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Paso 4.13

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$x^{3} - 3 x + 3 x (1 \frac{1^{2}}{x^{2}}) + 1 {(x)}^{0} {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Paso 4.14

Multiplica $\frac{1^{2}}{x^{2}}$ por $1$ .

$x^{3} - 3 x + 3 x \frac{1^{2}}{x^{2}} + 1 {(x)}^{0} {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Paso 4.15

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$x^{3} - 3 x + 3 x \frac{1}{x^{2}} + 1 {(x)}^{0} {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Paso 4.16

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 4.16.1

Factoriza $x$ de $3 x$ .

$x^{3} - 3 x + x \cdot 3 \frac{1}{x^{2}} + 1 {(x)}^{0} {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Paso 4.16.2

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$x^{3} - 3 x + x \cdot 3 \frac{1}{x \cdot x} + 1 {(x)}^{0} {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Paso 4.16.3

Cancela el factor común.

$x^{3} - 3 x + x \cdot 3 \frac{1}{x \cdot x} + 1 {(x)}^{0} {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Paso 4.16.4

Reescribe la expresión.

$x^{3} - 3 x + 3 \frac{1}{x} + 1 {(x)}^{0} {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Paso 4.17

Combina $3$ y $\frac{1}{x}$ .

$x^{3} - 3 x + \frac{3}{x} + 1 {(x)}^{0} {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Paso 4.18

Multiplica ${(x)}^{0}$ por $1$ .

$x^{3} - 3 x + \frac{3}{x} + {(x)}^{0} {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Paso 4.19

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$x^{3} - 3 x + \frac{3}{x} + 1 {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Paso 4.20

Multiplica ${(- \frac{1}{x})}^{3}$ por $1$ .

$x^{3} - 3 x + \frac{3}{x} + {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Paso 4.21

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 4.21.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{1}{x}$ .

$x^{3} - 3 x + \frac{3}{x} + {(- 1)}^{3} {(\frac{1}{x})}^{3}$

Paso 4.21.2

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{x}$ .

$x^{3} - 3 x + \frac{3}{x} + {(- 1)}^{3} \frac{1^{3}}{x^{3}}$

Paso 4.22

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$x^{3} - 3 x + \frac{3}{x} - \frac{1^{3}}{x^{3}}$

Paso 4.23

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$x^{3} - 3 x + \frac{3}{x} - \frac{1}{x^{3}}$