Álgebra Ejemplos

$\frac{1}{9} x^{4} - \frac{4}{9} x^{3}$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{1}{9} x^{4} - \frac{4}{9} x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{1}{9} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{9} x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{9} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{9} x^{3}]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{1}{9} x^{4}]$ .

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Paso 1.2.1

Como $\frac{1}{9}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{1}{9} x^{4}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{9} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1}{9} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{9} x^{3}]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$\frac{1}{9} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{9} x^{3}]$

Paso 1.2.3

Combina $4$ y $\frac{1}{9}$ .

$\frac{4}{9} x^{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{9} x^{3}]$

Paso 1.2.4

Combina $\frac{4}{9}$ y $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3}}{9} + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{9} x^{3}]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{4}{9} x^{3}]$ .

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Paso 1.3.1

Como $- \frac{4}{9}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{4}{9} x^{3}$ con respecto a $x$ es $- \frac{4}{9} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{4 x^{3}}{9} - \frac{4}{9} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{4 x^{3}}{9} - \frac{4}{9} (3 x^{2})$

Paso 1.3.3

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{4 x^{3}}{9} - 3 (\frac{4}{9}) x^{2}$

Paso 1.3.4

Combina $- 3$ y $\frac{4}{9}$ .

$\frac{4 x^{3}}{9} + \frac{- 3 \cdot 4}{9} x^{2}$

Paso 1.3.5

Multiplica $- 3$ por $4$ .

$\frac{4 x^{3}}{9} + \frac{- 12}{9} x^{2}$

Paso 1.3.6

Combina $\frac{- 12}{9}$ y $x^{2}$ .

$\frac{4 x^{3}}{9} + \frac{- 12 x^{2}}{9}$

Paso 1.3.7

Cancela el factor común de $- 12$ y $9$ .

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Paso 1.3.7.1

Factoriza $3$ de $- 12 x^{2}$ .

$\frac{4 x^{3}}{9} + \frac{3 (- 4 x^{2})}{9}$

Paso 1.3.7.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.7.2.1

Factoriza $3$ de $9$ .

$\frac{4 x^{3}}{9} + \frac{3 (- 4 x^{2})}{3 (3)}$

Paso 1.3.7.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{4 x^{3}}{9} + \frac{3 (- 4 x^{2})}{3 \cdot 3}$

Paso 1.3.7.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{4 x^{3}}{9} + \frac{- 4 x^{2}}{3}$

Paso 1.3.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{4 x^{3}}{9} - \frac{4 x^{2}}{3}$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{4 x^{3}}{9} - \frac{4 x^{2}}{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{3}}{9}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x^{2}}{3}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{4 x^{3}}{9}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4 x^{2}}{3})$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{3}}{9}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $\frac{4}{9}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{4 x^{3}}{9}$ con respecto a $x$ es $\frac{4}{9} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9} \cdot \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4 x^{2}}{3})$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9} \cdot (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4 x^{2}}{3})$

Paso 2.2.3

Combina $3$ y $\frac{4}{9}$ .

$f'' (x) = \frac{3 \cdot 4}{9} x^{2} + \frac{d}{d x} (- \frac{4 x^{2}}{3})$

Paso 2.2.4

Multiplica $3$ por $4$ .

$f'' (x) = \frac{12}{9} x^{2} + \frac{d}{d x} (- \frac{4 x^{2}}{3})$

Paso 2.2.5

Combina $\frac{12}{9}$ y $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{12 x^{2}}{9} + \frac{d}{d x} (- \frac{4 x^{2}}{3})$

Paso 2.2.6

Cancela el factor común de $12$ y $9$ .

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Paso 2.2.6.1

Factoriza $3$ de $12 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3 (4 x^{2})}{9} + \frac{d}{d x} (- \frac{4 x^{2}}{3})$

Paso 2.2.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.2.6.2.1

Factoriza $3$ de $9$ .

$f'' (x) = \frac{3 (4 x^{2})}{3 (3)} + \frac{d}{d x} (- \frac{4 x^{2}}{3})$

Paso 2.2.6.2.2

Cancela el factor común.

$f'' (x) = \frac{3 (4 x^{2})}{3 \cdot 3} + \frac{d}{d x} (- \frac{4 x^{2}}{3})$

Paso 2.2.6.2.3

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = \frac{4 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} (- \frac{4 x^{2}}{3})$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{4 x^{2}}{3}]$ .

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Paso 2.3.1

Como $- \frac{4}{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{4 x^{2}}{3}$ con respecto a $x$ es $- \frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{2}}{3} - \frac{4}{3} \cdot \frac{d}{d x} x^{2}$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{2}}{3} - \frac{4}{3} \cdot (2 x)$

Paso 2.3.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{2}}{3} - 2 (\frac{4}{3}) \cdot x$

Paso 2.3.4

Combina $- 2$ y $\frac{4}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{2}}{3} + \frac{- 2 \cdot 4}{3} x$

Paso 2.3.5

Multiplica $- 2$ por $4$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{2}}{3} + \frac{- 8}{3} x$

Paso 2.3.6

Combina $\frac{- 8}{3}$ y $x$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{2}}{3} + \frac{- 8 x}{3}$

Paso 2.3.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = \frac{4 x^{2}}{3} - \frac{8 x}{3}$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$\frac{4 x^{3}}{9} - \frac{4 x^{2}}{3} = 0$

Paso 4

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{1}{9} x^{4} - \frac{4}{9} x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{1}{9} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{9} x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{9} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{9} x^{3}]$

Paso 4.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{1}{9} x^{4}]$ .

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Paso 4.1.2.1

Como $\frac{1}{9}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{1}{9} x^{4}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{9} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1}{9} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{9} x^{3}]$

Paso 4.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$\frac{1}{9} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{9} x^{3}]$

Paso 4.1.2.3

Combina $4$ y $\frac{1}{9}$ .

$\frac{4}{9} x^{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{9} x^{3}]$

Paso 4.1.2.4

Combina $\frac{4}{9}$ y $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3}}{9} + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{9} x^{3}]$

Paso 4.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{4}{9} x^{3}]$ .

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Paso 4.1.3.1

Como $- \frac{4}{9}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{4}{9} x^{3}$ con respecto a $x$ es $- \frac{4}{9} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{4 x^{3}}{9} - \frac{4}{9} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 4.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{4 x^{3}}{9} - \frac{4}{9} (3 x^{2})$

Paso 4.1.3.3

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{4 x^{3}}{9} - 3 (\frac{4}{9}) x^{2}$

Paso 4.1.3.4

Combina $- 3$ y $\frac{4}{9}$ .

$\frac{4 x^{3}}{9} + \frac{- 3 \cdot 4}{9} x^{2}$

Paso 4.1.3.5

Multiplica $- 3$ por $4$ .

$\frac{4 x^{3}}{9} + \frac{- 12}{9} x^{2}$

Paso 4.1.3.6

Combina $\frac{- 12}{9}$ y $x^{2}$ .

$\frac{4 x^{3}}{9} + \frac{- 12 x^{2}}{9}$

Paso 4.1.3.7

Cancela el factor común de $- 12$ y $9$ .

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Paso 4.1.3.7.1

Factoriza $3$ de $- 12 x^{2}$ .

$\frac{4 x^{3}}{9} + \frac{3 (- 4 x^{2})}{9}$

Paso 4.1.3.7.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.1.3.7.2.1

Factoriza $3$ de $9$ .

$\frac{4 x^{3}}{9} + \frac{3 (- 4 x^{2})}{3 (3)}$

Paso 4.1.3.7.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{4 x^{3}}{9} + \frac{3 (- 4 x^{2})}{3 \cdot 3}$

Paso 4.1.3.7.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{4 x^{3}}{9} + \frac{- 4 x^{2}}{3}$

Paso 4.1.3.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = \frac{4 x^{3}}{9} - \frac{4 x^{2}}{3}$

Paso 4.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{4 x^{3}}{9} - \frac{4 x^{2}}{3}$ .

$\frac{4 x^{3}}{9} - \frac{4 x^{2}}{3}$

Paso 5

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{4 x^{3}}{9} - \frac{4 x^{2}}{3} = 0$ .

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Paso 5.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{4 x^{3}}{9} - \frac{4 x^{2}}{3} = 0$

Paso 5.2

Multiplica cada término en $\frac{4 x^{3}}{9} - \frac{4 x^{2}}{3} = 0$ por $9$ para eliminar las fracciones.

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Paso 5.2.1

Multiplica cada término en $\frac{4 x^{3}}{9} - \frac{4 x^{2}}{3} = 0$ por $9$ .

$\frac{4 x^{3}}{9} \cdot 9 - \frac{4 x^{2}}{3} \cdot 9 = 0 \cdot 9$

Paso 5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.2.1.1

Cancela el factor común de $9$ .

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Paso 5.2.2.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 x^{3}}{9} \cdot 9 - \frac{4 x^{2}}{3} \cdot 9 = 0 \cdot 9$

Paso 5.2.2.1.1.2

Reescribe la expresión.

$4 x^{3} - \frac{4 x^{2}}{3} \cdot 9 = 0 \cdot 9$

Paso 5.2.2.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.2.2.1.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{4 x^{2}}{3}$ al numerador.

$4 x^{3} + \frac{- 4 x^{2}}{3} \cdot 9 = 0 \cdot 9$

Paso 5.2.2.1.2.2

Factoriza $3$ de $9$ .

$4 x^{3} + \frac{- 4 x^{2}}{3} \cdot (3 (3)) = 0 \cdot 9$

Paso 5.2.2.1.2.3

Cancela el factor común.

$4 x^{3} + \frac{- 4 x^{2}}{3} \cdot (3 \cdot 3) = 0 \cdot 9$

Paso 5.2.2.1.2.4

Reescribe la expresión.

$4 x^{3} - 4 x^{2} \cdot 3 = 0 \cdot 9$

Paso 5.2.2.1.3

Multiplica $3$ por $- 4$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} = 0 \cdot 9$

Paso 5.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.3.1

Multiplica $0$ por $9$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} = 0$

Paso 5.3

Factoriza $4 x^{2}$ de $4 x^{3} - 12 x^{2}$ .

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Paso 5.3.1

Factoriza $4 x^{2}$ de $4 x^{3}$ .

$4 x^{2} (x) - 12 x^{2} = 0$

Paso 5.3.2

Factoriza $4 x^{2}$ de $- 12 x^{2}$ .

$4 x^{2} (x) + 4 x^{2} (- 3) = 0$

Paso 5.3.3

Factoriza $4 x^{2}$ de $4 x^{2} (x) + 4 x^{2} (- 3)$ .

$4 x^{2} (x - 3) = 0$

Paso 5.4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

$x - 3 = 0$

Paso 5.5

Establece $x^{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.5.1

Establece $x^{2}$ igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

Paso 5.5.2

Resuelve $x^{2} = 0$ en $x$ .

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Paso 5.5.2.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{0}$

Paso 5.5.2.2

Simplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Paso 5.5.2.2.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Paso 5.5.2.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 0$

Paso 5.5.2.2.3

Más o menos $0$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 5.6

Establece $x - 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.6.1

Establece $x - 3$ igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Paso 5.6.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 3$

Paso 5.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $4 x^{2} (x - 3) = 0$ verdadera.

$x = 0, 3$

Paso 6

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 6.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 7

Puntos críticos para evaluar.

$x = 0, 3$

Paso 8

Evalúa la segunda derivada en $x = 0$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$\frac{4 {(0)}^{2}}{3} - \frac{8 (0)}{3}$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 9.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{4 {(0)}^{2} - 8 \cdot 0}{3}$

Paso 9.2

Simplifica cada término.

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Paso 9.2.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{4 \cdot 0 - 8 \cdot 0}{3}$

Paso 9.2.2

Multiplica $4$ por $0$ .

$\frac{0 - 8 \cdot 0}{3}$

Paso 9.2.3

Multiplica $- 8$ por $0$ .

$\frac{0 + 0}{3}$

Paso 9.3

Simplifica la expresión.

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Paso 9.3.1

Suma $0$ y $0$ .

$\frac{0}{3}$

Paso 9.3.2

Divide $0$ por $3$ .

$0$

Paso 10

Como hay al menos un punto con $0$ o segunda derivada indefinida, aplica la prueba de la primera derivada.

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Paso 10.1

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la primera derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, 0) \cup (0, 3) \cup (3, \infty)$

Paso 10.2

Sustituye cualquier número, como $- 2$ , del intervalo $(- \infty, 0)$ en la primera derivada $\frac{4 x^{3}}{9} - \frac{4 x^{2}}{3}$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 10.2.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 2$ en la expresión.

$f' (- 2) = \frac{4 {(- 2)}^{3}}{9} - \frac{4 {(- 2)}^{2}}{3}$

Paso 10.2.2

Simplifica el resultado.

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Paso 10.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 10.2.2.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $3$ .

$f' (- 2) = \frac{4 \cdot - 8}{9} - \frac{4 {(- 2)}^{2}}{3}$

Paso 10.2.2.1.2

Multiplica $4$ por $- 8$ .

$f' (- 2) = \frac{- 32}{9} - \frac{4 {(- 2)}^{2}}{3}$

Paso 10.2.2.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (- 2) = - \frac{32}{9} - \frac{4 {(- 2)}^{2}}{3}$

Paso 10.2.2.1.4

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 2) = - \frac{32}{9} - \frac{4 \cdot 4}{3}$

Paso 10.2.2.1.5

Multiplica $4$ por $4$ .

$f' (- 2) = - \frac{32}{9} - \frac{16}{3}$

Paso 10.2.2.2

Para escribir $- \frac{16}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$f' (- 2) = - \frac{32}{9} - \frac{16}{3} \cdot \frac{3}{3}$

Paso 10.2.2.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $9$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 10.2.2.3.1

Multiplica $\frac{16}{3}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f' (- 2) = - \frac{32}{9} - \frac{16 \cdot 3}{3 \cdot 3}$

Paso 10.2.2.3.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$f' (- 2) = - \frac{32}{9} - \frac{16 \cdot 3}{9}$

Paso 10.2.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (- 2) = \frac{- 32 - 16 \cdot 3}{9}$

Paso 10.2.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 10.2.2.5.1

Multiplica $- 16$ por $3$ .

$f' (- 2) = \frac{- 32 - 48}{9}$

Paso 10.2.2.5.2

Resta $48$ de $- 32$ .

$f' (- 2) = \frac{- 80}{9}$

Paso 10.2.2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (- 2) = - \frac{80}{9}$

Paso 10.2.2.7

La respuesta final es $- \frac{80}{9}$ .

$- \frac{80}{9}$

Paso 10.3

Sustituye cualquier número, como $2$ , del intervalo $(0, 3)$ en la primera derivada $\frac{4 x^{3}}{9} - \frac{4 x^{2}}{3}$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 10.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f' (2) = \frac{4 {(2)}^{3}}{9} - \frac{4 {(2)}^{2}}{3}$

Paso 10.3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 10.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 10.3.2.1.1

Simplifica el numerador.

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Paso 10.3.2.1.1.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$f' (2) = \frac{2^{2} \cdot 2^{3}}{9} - \frac{4 {(2)}^{2}}{3}$

Paso 10.3.2.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f' (2) = \frac{2^{2 + 3}}{9} - \frac{4 {(2)}^{2}}{3}$

Paso 10.3.2.1.1.3

Suma $2$ y $3$ .

$f' (2) = \frac{2^{5}}{9} - \frac{4 {(2)}^{2}}{3}$

Paso 10.3.2.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $5$ .

$f' (2) = \frac{32}{9} - \frac{4 {(2)}^{2}}{3}$

Paso 10.3.2.1.3

Simplifica el numerador.

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Paso 10.3.2.1.3.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$f' (2) = \frac{32}{9} - \frac{2^{2} \cdot 2^{2}}{3}$

Paso 10.3.2.1.3.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f' (2) = \frac{32}{9} - \frac{2^{2 + 2}}{3}$

Paso 10.3.2.1.3.3

Suma $2$ y $2$ .

$f' (2) = \frac{32}{9} - \frac{2^{4}}{3}$

Paso 10.3.2.1.4

Eleva $2$ a la potencia de $4$ .

$f' (2) = \frac{32}{9} - \frac{16}{3}$

Paso 10.3.2.2

Para escribir $- \frac{16}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$f' (2) = \frac{32}{9} - \frac{16}{3} \cdot \frac{3}{3}$

Paso 10.3.2.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $9$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 10.3.2.3.1

Multiplica $\frac{16}{3}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f' (2) = \frac{32}{9} - \frac{16 \cdot 3}{3 \cdot 3}$

Paso 10.3.2.3.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$f' (2) = \frac{32}{9} - \frac{16 \cdot 3}{9}$

Paso 10.3.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (2) = \frac{32 - 16 \cdot 3}{9}$

Paso 10.3.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 10.3.2.5.1

Multiplica $- 16$ por $3$ .

$f' (2) = \frac{32 - 48}{9}$

Paso 10.3.2.5.2

Resta $48$ de $32$ .

$f' (2) = \frac{- 16}{9}$

Paso 10.3.2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (2) = - \frac{16}{9}$

Paso 10.3.2.7

La respuesta final es $- \frac{16}{9}$ .

$- \frac{16}{9}$

Paso 10.4

Sustituye cualquier número, como $6$ , del intervalo $(3, \infty)$ en la primera derivada $\frac{4 x^{3}}{9} - \frac{4 x^{2}}{3}$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 10.4.1

Reemplaza la variable $x$ con $6$ en la expresión.

$f' (6) = \frac{4 {(6)}^{3}}{9} - \frac{4 {(6)}^{2}}{3}$

Paso 10.4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 10.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 10.4.2.1.1

Eleva $6$ a la potencia de $3$ .

$f' (6) = \frac{4 \cdot 216}{9} - \frac{4 {(6)}^{2}}{3}$

Paso 10.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $216$ .

$f' (6) = \frac{864}{9} - \frac{4 {(6)}^{2}}{3}$

Paso 10.4.2.1.3

Divide $864$ por $9$ .

$f' (6) = 96 - \frac{4 {(6)}^{2}}{3}$

Paso 10.4.2.1.4

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$f' (6) = 96 - \frac{4 \cdot 36}{3}$

Paso 10.4.2.1.5

Multiplica $4$ por $36$ .

$f' (6) = 96 - \frac{144}{3}$

Paso 10.4.2.1.6

Divide $144$ por $3$ .

$f' (6) = 96 - 1 \cdot 48$

Paso 10.4.2.1.7

Multiplica $- 1$ por $48$ .

$f' (6) = 96 - 48$

Paso 10.4.2.2

Resta $48$ de $96$ .

$f' (6) = 48$

Paso 10.4.2.3

La respuesta final es $48$ .

$48$

Paso 10.5

Como la primera derivada no cambió los signos alrededor de $x = 0$ , no es un máximo local ni un mínimo local.

No es un máximo local ni un mínimo local

Paso 10.6

Como la primera derivada cambió los signos de negativo a positivo alrededor de $x = 3$ , $x = 3$ es un mínimo local.

$x = 3$ es un mínimo local

Paso 11