Álgebra Ejemplos

$2 x^{2} - 36 x < - 120$

Paso 1

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$2 x^{2} - 36 x = - 120$

Paso 2

Suma $120$ a ambos lados de la ecuación.

$2 x^{2} - 36 x + 120 = 0$

Paso 3

Factoriza $2$ de $2 x^{2} - 36 x + 120$ .

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Paso 3.1

Factoriza $2$ de $2 x^{2}$ .

$2 (x^{2}) - 36 x + 120 = 0$

Paso 3.2

Factoriza $2$ de $- 36 x$ .

$2 (x^{2}) + 2 (- 18 x) + 120 = 0$

Paso 3.3

Factoriza $2$ de $120$ .

$2 x^{2} + 2 (- 18 x) + 2 \cdot 60 = 0$

Paso 3.4

Factoriza $2$ de $2 x^{2} + 2 (- 18 x)$ .

$2 (x^{2} - 18 x) + 2 \cdot 60 = 0$

Paso 3.5

Factoriza $2$ de $2 (x^{2} - 18 x) + 2 \cdot 60$ .

$2 (x^{2} - 18 x + 60) = 0$

Paso 4

Divide cada término en $2 (x^{2} - 18 x + 60) = 0$ por $2$ y simplifica.

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Paso 4.1

Divide cada término en $2 (x^{2} - 18 x + 60) = 0$ por $2$ .

$\frac{2 (x^{2} - 18 x + 60)}{2} = \frac{0}{2}$

Paso 4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 (x^{2} - 18 x + 60)}{2} = \frac{0}{2}$

Paso 4.2.1.2

Divide $x^{2} - 18 x + 60$ por $1$ .

$x^{2} - 18 x + 60 = \frac{0}{2}$

Paso 4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.3.1

Divide $0$ por $2$ .

$x^{2} - 18 x + 60 = 0$

Paso 5

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 6

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = - 18$ y $c = 60$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{18 \pm \sqrt{{(- 18)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 60)}}{2 \cdot 1}$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Simplifica el numerador.

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Paso 7.1.1

Eleva $- 18$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 4 \cdot 1 \cdot 60}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 60$ .

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Paso 7.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 4 \cdot 60}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $60$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 240}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.1.3

Resta $240$ de $324$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{84}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.1.4

Reescribe $84$ como $2^{2} \cdot 21$ .

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Paso 7.1.4.1

Factoriza $4$ de $84$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{4 (21)}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 21}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{18 \pm 2 \sqrt{21}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{18 \pm 2 \sqrt{21}}{2}$

Paso 7.3

Simplifica $\frac{18 \pm 2 \sqrt{21}}{2}$ .

$x = 9 \pm \sqrt{21}$

Paso 8

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 8.1

Simplifica el numerador.

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Paso 8.1.1

Eleva $- 18$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 4 \cdot 1 \cdot 60}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 60$ .

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Paso 8.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 4 \cdot 60}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $60$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 240}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.1.3

Resta $240$ de $324$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{84}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.1.4

Reescribe $84$ como $2^{2} \cdot 21$ .

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Paso 8.1.4.1

Factoriza $4$ de $84$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{4 (21)}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 21}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{18 \pm 2 \sqrt{21}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{18 \pm 2 \sqrt{21}}{2}$

Paso 8.3

Simplifica $\frac{18 \pm 2 \sqrt{21}}{2}$ .

$x = 9 \pm \sqrt{21}$

Paso 8.4

Cambia $\pm$ a $+$ .

$x = 9 + \sqrt{21}$

Paso 9

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 9.1

Simplifica el numerador.

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Paso 9.1.1

Eleva $- 18$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 4 \cdot 1 \cdot 60}}{2 \cdot 1}$

Paso 9.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 60$ .

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Paso 9.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 4 \cdot 60}}{2 \cdot 1}$

Paso 9.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $60$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 240}}{2 \cdot 1}$

Paso 9.1.3

Resta $240$ de $324$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{84}}{2 \cdot 1}$

Paso 9.1.4

Reescribe $84$ como $2^{2} \cdot 21$ .

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Paso 9.1.4.1

Factoriza $4$ de $84$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{4 (21)}}{2 \cdot 1}$

Paso 9.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 21}}{2 \cdot 1}$

Paso 9.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{18 \pm 2 \sqrt{21}}{2 \cdot 1}$

Paso 9.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{18 \pm 2 \sqrt{21}}{2}$

Paso 9.3

Simplifica $\frac{18 \pm 2 \sqrt{21}}{2}$ .

$x = 9 \pm \sqrt{21}$

Paso 9.4

Cambia $\pm$ a $-$ .

$x = 9 - \sqrt{21}$

Paso 10

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = 9 + \sqrt{21}, 9 - \sqrt{21}$

Paso 11

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < 9 - \sqrt{21}$

$9 - \sqrt{21} < x < 9 + \sqrt{21}$

$x > 9 + \sqrt{21}$

Paso 12

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 12.1

Prueba un valor en el intervalo $x < 9 - \sqrt{21}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 12.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < 9 - \sqrt{21}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 12.1.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$2 {(0)}^{2} - 36 \cdot 0 < - 120$

Paso 12.1.3

$0$ del lado izquierdo no es menor que $- 120$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 12.2

Prueba un valor en el intervalo $9 - \sqrt{21} < x < 9 + \sqrt{21}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 12.2.1

Elije un valor en el intervalo $9 - \sqrt{21} < x < 9 + \sqrt{21}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 9$

Paso 12.2.2

Reemplaza $x$ con $9$ en la desigualdad original.

$2 {(9)}^{2} - 36 \cdot 9 < - 120$

Paso 12.2.3

$- 162$ del lado izquierdo es menor que $- 120$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 12.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 9 + \sqrt{21}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 12.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 9 + \sqrt{21}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 16$

Paso 12.3.2

Reemplaza $x$ con $16$ en la desigualdad original.

$2 {(16)}^{2} - 36 \cdot 16 < - 120$

Paso 12.3.3

$- 64$ del lado izquierdo no es menor que $- 120$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 12.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < 9 - \sqrt{21}$ Falso

$9 - \sqrt{21} < x < 9 + \sqrt{21}$ Verdadero

$x > 9 + \sqrt{21}$ Falso

$x < 9 - \sqrt{21}$ Falso

$9 - \sqrt{21} < x < 9 + \sqrt{21}$ Verdadero

$x > 9 + \sqrt{21}$ Falso

Paso 13

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$9 - \sqrt{21} < x < 9 + \sqrt{21}$

Paso 14