Álgebra Ejemplos

$2 x^{4} + 12 x^{3} + 16 x^{2} - 12 x - 18$

Paso 1

Establece $2 x^{4} + 12 x^{3} + 16 x^{2} - 12 x - 18$ igual a $0$ .

$2 x^{4} + 12 x^{3} + 16 x^{2} - 12 x - 18 = 0$

Paso 2

Resuelve $x$

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Paso 2.1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1.1

Factoriza $2$ de $2 x^{4} + 12 x^{3} + 16 x^{2} - 12 x - 18$ .

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Paso 2.1.1.1

Factoriza $2$ de $2 x^{4}$ .

$2 (x^{4}) + 12 x^{3} + 16 x^{2} - 12 x - 18 = 0$

Paso 2.1.1.2

Factoriza $2$ de $12 x^{3}$ .

$2 (x^{4}) + 2 (6 x^{3}) + 16 x^{2} - 12 x - 18 = 0$

Paso 2.1.1.3

Factoriza $2$ de $16 x^{2}$ .

$2 (x^{4}) + 2 (6 x^{3}) + 2 (8 x^{2}) - 12 x - 18 = 0$

Paso 2.1.1.4

Factoriza $2$ de $- 12 x$ .

$2 (x^{4}) + 2 (6 x^{3}) + 2 (8 x^{2}) + 2 (- 6 x) - 18 = 0$

Paso 2.1.1.5

Factoriza $2$ de $- 18$ .

$2 x^{4} + 2 (6 x^{3}) + 2 (8 x^{2}) + 2 (- 6 x) + 2 \cdot - 9 = 0$

Paso 2.1.1.6

Factoriza $2$ de $2 x^{4} + 2 (6 x^{3})$ .

$2 (x^{4} + 6 x^{3}) + 2 (8 x^{2}) + 2 (- 6 x) + 2 \cdot - 9 = 0$

Paso 2.1.1.7

Factoriza $2$ de $2 (x^{4} + 6 x^{3}) + 2 (8 x^{2})$ .

$2 (x^{4} + 6 x^{3} + 8 x^{2}) + 2 (- 6 x) + 2 \cdot - 9 = 0$

Paso 2.1.1.8

Factoriza $2$ de $2 (x^{4} + 6 x^{3} + 8 x^{2}) + 2 (- 6 x)$ .

$2 (x^{4} + 6 x^{3} + 8 x^{2} - 6 x) + 2 \cdot - 9 = 0$

Paso 2.1.1.9

Factoriza $2$ de $2 (x^{4} + 6 x^{3} + 8 x^{2} - 6 x) + 2 \cdot - 9$ .

$2 (x^{4} + 6 x^{3} + 8 x^{2} - 6 x - 9) = 0$

Paso 2.1.2

Reagrupa los términos.

$2 (6 x^{3} - 6 x + x^{4} + 8 x^{2} - 9) = 0$

Paso 2.1.3

Factoriza $6 x$ de $6 x^{3} - 6 x$ .

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Paso 2.1.3.1

Factoriza $6 x$ de $6 x^{3}$ .

$2 (6 x (x^{2}) - 6 x + x^{4} + 8 x^{2} - 9) = 0$

Paso 2.1.3.2

Factoriza $6 x$ de $- 6 x$ .

$2 (6 x (x^{2}) + 6 x (- 1) + x^{4} + 8 x^{2} - 9) = 0$

Paso 2.1.3.3

Factoriza $6 x$ de $6 x (x^{2}) + 6 x (- 1)$ .

$2 (6 x (x^{2} - 1) + x^{4} + 8 x^{2} - 9) = 0$

Paso 2.1.4

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$2 (6 x (x^{2} - 1^{2}) + x^{4} + 8 x^{2} - 9) = 0$

Paso 2.1.5

Factoriza.

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Paso 2.1.5.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$2 (6 x ((x + 1) (x - 1)) + x^{4} + 8 x^{2} - 9) = 0$

Paso 2.1.5.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$2 (6 x (x + 1) (x - 1) + x^{4} + 8 x^{2} - 9) = 0$

Paso 2.1.6

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$2 (6 x (x + 1) (x - 1) + {(x^{2})}^{2} + 8 x^{2} - 9) = 0$

Paso 2.1.7

Sea $u = x^{2}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{2}$ .

$2 (6 x (x + 1) (x - 1) + u^{2} + 8 u - 9) = 0$

Paso 2.1.8

Factoriza $u^{2} + 8 u - 9$ con el método AC.

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Paso 2.1.8.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 9$ y cuya suma es $8$ .

$- 1, 9$

Paso 2.1.8.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$2 (6 x (x + 1) (x - 1) + (u - 1) (u + 9)) = 0$

Paso 2.1.9

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$2 (6 x (x + 1) (x - 1) + (x^{2} - 1) (x^{2} + 9)) = 0$

Paso 2.1.10

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$2 (6 x (x + 1) (x - 1) + (x^{2} - 1^{2}) (x^{2} + 9)) = 0$

Paso 2.1.11

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$2 (6 x (x + 1) (x - 1) + (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 9)) = 0$

Paso 2.1.12

Factoriza $(x + 1) (x - 1)$ de $6 x (x + 1) (x - 1) + (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 9)$ .

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Paso 2.1.12.1

Factoriza $(x + 1) (x - 1)$ de $6 x (x + 1) (x - 1)$ .

$2 ((x + 1) (x - 1) (6 x) + (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 9)) = 0$

Paso 2.1.12.2

Factoriza $(x + 1) (x - 1)$ de $(x + 1) (x - 1) (6 x) + (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 9)$ .

$2 ((x + 1) (x - 1) (6 x + x^{2} + 9)) = 0$

Paso 2.1.13

Sea $u = x$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x$ .

$2 ((x + 1) (x - 1) (6 u + u^{2} + 9)) = 0$

Paso 2.1.14

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 2.1.14.1

Reorganiza los términos.

$2 ((x + 1) (x - 1) (u^{2} + 6 u + 9)) = 0$

Paso 2.1.14.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$2 ((x + 1) (x - 1) (u^{2} + 6 u + 3^{2})) = 0$

Paso 2.1.14.3

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$6 u = 2 \cdot u \cdot 3$

Paso 2.1.14.4

Reescribe el polinomio.

$2 ((x + 1) (x - 1) (u^{2} + 2 \cdot u \cdot 3 + 3^{2})) = 0$

Paso 2.1.14.5

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , donde $a = u$ y $b = 3$ .

$2 ((x + 1) (x - 1) {(u + 3)}^{2}) = 0$

Paso 2.1.15

Factoriza.

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Paso 2.1.15.1

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x$ .

$2 ((x + 1) (x - 1) {(x + 3)}^{2}) = 0$

Paso 2.1.15.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$2 (x + 1) (x - 1) {(x + 3)}^{2} = 0$

Paso 2.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

${(x + 3)}^{2} = 0$

Paso 2.3

Establece $x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.3.1

Establece $x + 1$ igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Paso 2.3.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 2.4

Establece $x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.4.1

Establece $x - 1$ igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Paso 2.4.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 2.5

Establece ${(x + 3)}^{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.5.1

Establece ${(x + 3)}^{2}$ igual a $0$ .

${(x + 3)}^{2} = 0$

Paso 2.5.2

Resuelve ${(x + 3)}^{2} = 0$ en $x$ .

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Paso 2.5.2.1

Establece $x + 3$ igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Paso 2.5.2.2

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 3$

Paso 2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $2 (x + 1) (x - 1) {(x + 3)}^{2} = 0$ verdadera. La multiplicidad de una raíz es la cantidad de veces que aparece la raíz.

$x = - 1$ (Multiplicidad de $1$ )

$x = 1$ (Multiplicidad de $1$ )

$x = - 3$ (Multiplicidad de $2$ )

$x = - 1$ (Multiplicidad de $1$ )

$x = 1$ (Multiplicidad de $1$ )

$x = - 3$ (Multiplicidad de $2$ )

Paso 3