Álgebra Ejemplos

$y = - \frac{6}{17} x^{2} - \frac{3}{17} x + \frac{1}{51}$

Paso 1

Reescribe la ecuación en forma de vértice.

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Paso 1.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.1

Combina $x^{2}$ y $\frac{6}{17}$ .

$y = - \frac{x^{2} \cdot 6}{17} - \frac{3}{17} x + \frac{1}{51}$

Paso 1.1.2

Mueve $6$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$y = - \frac{6 \cdot x^{2}}{17} - \frac{3}{17} x + \frac{1}{51}$

Paso 1.1.3

Combina $x$ y $\frac{3}{17}$ .

$y = - \frac{6 x^{2}}{17} - \frac{x \cdot 3}{17} + \frac{1}{51}$

Paso 1.1.4

Mueve $3$ a la izquierda de $x$ .

$y = - \frac{6 x^{2}}{17} - \frac{3 x}{17} + \frac{1}{51}$

Paso 1.2

Completa el cuadrado de $- \frac{6 x^{2}}{17} - \frac{3 x}{17} + \frac{1}{51}$ .

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Paso 1.2.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = - \frac{6}{17}$

$b = - \frac{3}{17}$

$c = \frac{1}{51}$

Paso 1.2.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.2.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.2.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- \frac{3}{17}}{2 (- \frac{6}{17})}$

Paso 1.2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$d = \frac{\frac{3}{17}}{2 (\frac{6}{17})}$

Paso 1.2.3.2.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$d = \frac{3}{17} \cdot \frac{1}{2 (\frac{6}{17})}$

Paso 1.2.3.2.3

Combina $2$ y $\frac{6}{17}$ .

$d = \frac{3}{17} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 6}{17}}$

Paso 1.2.3.2.4

Multiplica $2$ por $6$ .

$d = \frac{3}{17} \cdot \frac{1}{\frac{12}{17}}$

Paso 1.2.3.2.5

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$d = \frac{3}{17} (1 (\frac{17}{12}))$

Paso 1.2.3.2.6

Multiplica $\frac{17}{12}$ por $1$ .

$d = \frac{3}{17} \cdot \frac{17}{12}$

Paso 1.2.3.2.7

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 1.2.3.2.7.1

Factoriza $3$ de $12$ .

$d = \frac{3}{17} \cdot \frac{17}{3 (4)}$

Paso 1.2.3.2.7.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{3}{17} \cdot \frac{17}{3 \cdot 4}$

Paso 1.2.3.2.7.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{1}{17} \cdot \frac{17}{4}$

Paso 1.2.3.2.8

Cancela el factor común de $17$ .

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Paso 1.2.3.2.8.1

Cancela el factor común.

$d = \frac{1}{17} \cdot \frac{17}{4}$

Paso 1.2.3.2.8.2

Reescribe la expresión.

$d = \frac{1}{4}$

Paso 1.2.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.2.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = \frac{1}{51} - \frac{{(- \frac{3}{17})}^{2}}{4 (- \frac{6}{17})}$

Paso 1.2.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.4.2.1.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.4.2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{3}{17}$ .

$e = \frac{1}{51} - \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{3}{17})}^{2}}{4 (- \frac{6}{17})}$

Paso 1.2.4.2.1.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$e = \frac{1}{51} - \frac{1 {(\frac{3}{17})}^{2}}{4 (- \frac{6}{17})}$

Paso 1.2.4.2.1.1.3

Aplica la regla del producto a $\frac{3}{17}$ .

$e = \frac{1}{51} - \frac{1 \frac{3^{2}}{17^{2}}}{4 (- \frac{6}{17})}$

Paso 1.2.4.2.1.1.4

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$e = \frac{1}{51} - \frac{1 \frac{9}{17^{2}}}{4 (- \frac{6}{17})}$

Paso 1.2.4.2.1.1.5

Eleva $17$ a la potencia de $2$ .

$e = \frac{1}{51} - \frac{1 (\frac{9}{289})}{4 (- \frac{6}{17})}$

Paso 1.2.4.2.1.1.6

Multiplica $\frac{9}{289}$ por $1$ .

$e = \frac{1}{51} - \frac{\frac{9}{289}}{4 (- \frac{6}{17})}$

Paso 1.2.4.2.1.2

Simplifica el denominador.

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Paso 1.2.4.2.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$e = \frac{1}{51} - \frac{\frac{9}{289}}{- 4 (\frac{6}{17})}$

Paso 1.2.4.2.1.2.2

Combina $- 4$ y $\frac{6}{17}$ .

$e = \frac{1}{51} - \frac{\frac{9}{289}}{\frac{- 4 \cdot 6}{17}}$

Paso 1.2.4.2.1.3

Multiplica $- 4$ por $6$ .

$e = \frac{1}{51} - \frac{\frac{9}{289}}{\frac{- 24}{17}}$

Paso 1.2.4.2.1.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$e = \frac{1}{51} - \frac{\frac{9}{289}}{- \frac{24}{17}}$

Paso 1.2.4.2.1.5

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$e = \frac{1}{51} - (\frac{9}{289} (- \frac{17}{24}))$

Paso 1.2.4.2.1.6

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 1.2.4.2.1.6.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{17}{24}$ al numerador.

$e = \frac{1}{51} - (\frac{9}{289} \cdot \frac{- 17}{24})$

Paso 1.2.4.2.1.6.2

Factoriza $3$ de $9$ .

$e = \frac{1}{51} - (\frac{3 (3)}{289} \cdot \frac{- 17}{24})$

Paso 1.2.4.2.1.6.3

Factoriza $3$ de $24$ .

$e = \frac{1}{51} - (\frac{3 \cdot 3}{289} \cdot \frac{- 17}{3 \cdot 8})$

Paso 1.2.4.2.1.6.4

Cancela el factor común.

$e = \frac{1}{51} - (\frac{3 \cdot 3}{289} \cdot \frac{- 17}{3 \cdot 8})$

Paso 1.2.4.2.1.6.5

Reescribe la expresión.

$e = \frac{1}{51} - (\frac{3}{289} \cdot \frac{- 17}{8})$

Paso 1.2.4.2.1.7

Cancela el factor común de $17$ .

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Paso 1.2.4.2.1.7.1

Factoriza $17$ de $289$ .

$e = \frac{1}{51} - (\frac{3}{17 (17)} \cdot \frac{- 17}{8})$

Paso 1.2.4.2.1.7.2

Factoriza $17$ de $- 17$ .

$e = \frac{1}{51} - (\frac{3}{17 \cdot 17} \cdot \frac{17 \cdot - 1}{8})$

Paso 1.2.4.2.1.7.3

Cancela el factor común.

$e = \frac{1}{51} - (\frac{3}{17 \cdot 17} \cdot \frac{17 \cdot - 1}{8})$

Paso 1.2.4.2.1.7.4

Reescribe la expresión.

$e = \frac{1}{51} - (\frac{3}{17} \cdot \frac{- 1}{8})$

Paso 1.2.4.2.1.8

Multiplica $\frac{3}{17}$ por $\frac{- 1}{8}$ .

$e = \frac{1}{51} - \frac{3 \cdot - 1}{17 \cdot 8}$

Paso 1.2.4.2.1.9

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$e = \frac{1}{51} - \frac{- 3}{17 \cdot 8}$

Paso 1.2.4.2.1.10

Multiplica $17$ por $8$ .

$e = \frac{1}{51} - \frac{- 3}{136}$

Paso 1.2.4.2.1.11

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$e = \frac{1}{51} - - \frac{3}{136}$

Paso 1.2.4.2.1.12

Multiplica $- - \frac{3}{136}$ .

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Paso 1.2.4.2.1.12.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$e = \frac{1}{51} + 1 (\frac{3}{136})$

Paso 1.2.4.2.1.12.2

Multiplica $\frac{3}{136}$ por $1$ .

$e = \frac{1}{51} + \frac{3}{136}$

Paso 1.2.4.2.2

Para escribir $\frac{1}{51}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{8}{8}$ .

$e = \frac{1}{51} \cdot \frac{8}{8} + \frac{3}{136}$

Paso 1.2.4.2.3

Para escribir $\frac{3}{136}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$e = \frac{1}{51} \cdot \frac{8}{8} + \frac{3}{136} \cdot \frac{3}{3}$

Paso 1.2.4.2.4

Escribe cada expresión con un denominador común de $408$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 1.2.4.2.4.1

Multiplica $\frac{1}{51}$ por $\frac{8}{8}$ .

$e = \frac{8}{51 \cdot 8} + \frac{3}{136} \cdot \frac{3}{3}$

Paso 1.2.4.2.4.2

Multiplica $51$ por $8$ .

$e = \frac{8}{408} + \frac{3}{136} \cdot \frac{3}{3}$

Paso 1.2.4.2.4.3

Multiplica $\frac{3}{136}$ por $\frac{3}{3}$ .

$e = \frac{8}{408} + \frac{3 \cdot 3}{136 \cdot 3}$

Paso 1.2.4.2.4.4

Multiplica $136$ por $3$ .

$e = \frac{8}{408} + \frac{3 \cdot 3}{408}$

Paso 1.2.4.2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$e = \frac{8 + 3 \cdot 3}{408}$

Paso 1.2.4.2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.4.2.6.1

Multiplica $3$ por $3$ .

$e = \frac{8 + 9}{408}$

Paso 1.2.4.2.6.2

Suma $8$ y $9$ .

$e = \frac{17}{408}$

Paso 1.2.4.2.7

Cancela el factor común de $17$ y $408$ .

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Paso 1.2.4.2.7.1

Factoriza $17$ de $17$ .

$e = \frac{17 (1)}{408}$

Paso 1.2.4.2.7.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.4.2.7.2.1

Factoriza $17$ de $408$ .

$e = \frac{17 \cdot 1}{17 \cdot 24}$

Paso 1.2.4.2.7.2.2

Cancela el factor común.

$e = \frac{17 \cdot 1}{17 \cdot 24}$

Paso 1.2.4.2.7.2.3

Reescribe la expresión.

$e = \frac{1}{24}$

Paso 1.2.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $- \frac{6}{17} {(x + \frac{1}{4})}^{2} + \frac{1}{24}$ .

$- \frac{6}{17} {(x + \frac{1}{4})}^{2} + \frac{1}{24}$

Paso 1.3

Establece $y$ igual al nuevo lado derecho.

$y = - \frac{6}{17} \cdot {(x + \frac{1}{4})}^{2} + \frac{1}{24}$

Paso 2

Usa la forma de vértice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = - \frac{6}{17}$

$h = - \frac{1}{4}$

$k = \frac{1}{24}$

Paso 3

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(- \frac{1}{4}, \frac{1}{24})$

Paso 4

Obtén $p$ , la distancia desde el vértice hasta el foco.

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Paso 4.1

Obtén la distancia desde el vértice hasta un foco de la parábola con la siguiente fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Paso 4.2

Sustituye el valor de $a$ en la fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{6}{17})}$

Paso 4.3

Simplifica.

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Paso 4.3.1

Cancela el factor común de $1$ y $- 1$ .

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Paso 4.3.1.1

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{6}{17})}$

Paso 4.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{4 (\frac{6}{17})}$

Paso 4.3.2

Combina $4$ y $\frac{6}{17}$ .

$- \frac{1}{\frac{4 \cdot 6}{17}}$

Paso 4.3.3

Multiplica $4$ por $6$ .

$- \frac{1}{\frac{24}{17}}$

Paso 4.3.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$- (1 (\frac{17}{24}))$

Paso 4.3.5

Multiplica $\frac{17}{24}$ por $1$ .

$- \frac{17}{24}$

Paso 5

Obtén el foco.

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Paso 5.1

El foco de una parábola puede obtenerse al sumar $p$ a la coordenada y $k$ si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$(h, k + p)$

Paso 5.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(- \frac{1}{4}, - \frac{2}{3})$

Paso 6