Álgebra Ejemplos

${(x - 1)}^{2} = 4 {(y - 4)}^{2}$

Paso 1

Mueve todos los términos que contengan las variables al lado izquierdo de la ecuación

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Paso 1.1

Resta $4 {(y - 4)}^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

${(x - 1)}^{2} - 4 {(y - 4)}^{2} = 0$

Paso 1.2

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.1

Reescribe ${(x - 1)}^{2}$ como $(x - 1) (x - 1)$ .

$(x - 1) (x - 1) - 4 {(y - 4)}^{2} = 0$

Paso 1.2.2

Expande $(x - 1) (x - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.2.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x (x - 1) - 1 (x - 1) - 4 {(y - 4)}^{2} = 0$

Paso 1.2.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1) - 4 {(y - 4)}^{2} = 0$

Paso 1.2.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1 - 4 {(y - 4)}^{2} = 0$

Paso 1.2.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1 - 4 {(y - 4)}^{2} = 0$

Paso 1.2.3.1.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x$ .

$x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1 - 4 {(y - 4)}^{2} = 0$

Paso 1.2.3.1.3

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1 - 4 {(y - 4)}^{2} = 0$

Paso 1.2.3.1.4

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1 - 4 {(y - 4)}^{2} = 0$

Paso 1.2.3.1.5

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$x^{2} - x - x + 1 - 4 {(y - 4)}^{2} = 0$

Paso 1.2.3.2

Resta $x$ de $- x$ .

$x^{2} - 2 x + 1 - 4 {(y - 4)}^{2} = 0$

Paso 1.2.4

Reescribe ${(y - 4)}^{2}$ como $(y - 4) (y - 4)$ .

$x^{2} - 2 x + 1 - 4 ((y - 4) (y - 4)) = 0$

Paso 1.2.5

Expande $(y - 4) (y - 4)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.2.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} - 2 x + 1 - 4 (y (y - 4) - 4 (y - 4)) = 0$

Paso 1.2.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} - 2 x + 1 - 4 (y \cdot y + y \cdot - 4 - 4 (y - 4)) = 0$

Paso 1.2.5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} - 2 x + 1 - 4 (y \cdot y + y \cdot - 4 - 4 y - 4 \cdot - 4) = 0$

Paso 1.2.6

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.2.6.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.6.1.1

Multiplica $y$ por $y$ .

$x^{2} - 2 x + 1 - 4 (y^{2} + y \cdot - 4 - 4 y - 4 \cdot - 4) = 0$

Paso 1.2.6.1.2

Mueve $- 4$ a la izquierda de $y$ .

$x^{2} - 2 x + 1 - 4 (y^{2} - 4 \cdot y - 4 y - 4 \cdot - 4) = 0$

Paso 1.2.6.1.3

Multiplica $- 4$ por $- 4$ .

$x^{2} - 2 x + 1 - 4 (y^{2} - 4 y - 4 y + 16) = 0$

Paso 1.2.6.2

Resta $4 y$ de $- 4 y$ .

$x^{2} - 2 x + 1 - 4 (y^{2} - 8 y + 16) = 0$

Paso 1.2.7

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} - 2 x + 1 - 4 y^{2} - 4 (- 8 y) - 4 \cdot 16 = 0$

Paso 1.2.8

Simplifica.

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Paso 1.2.8.1

Multiplica $- 8$ por $- 4$ .

$x^{2} - 2 x + 1 - 4 y^{2} + 32 y - 4 \cdot 16 = 0$

Paso 1.2.8.2

Multiplica $- 4$ por $16$ .

$x^{2} - 2 x + 1 - 4 y^{2} + 32 y - 64 = 0$

Paso 1.3

Resta $64$ de $1$ .

$x^{2} - 2 x - 4 y^{2} + 32 y - 63 = 0$

Paso 1.4

Mueve $- 2 x$ .

$x^{2} - 4 y^{2} - 2 x + 32 y - 63 = 0$

Paso 2

Suma $63$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{2} - 4 y^{2} - 2 x + 32 y = 63$

Paso 3

Completa el cuadrado de $x^{2} - 2 x$ .

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Paso 3.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 1$

$b = - 2$

$c = 0$

Paso 3.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 3.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 3.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 2}{2 \cdot 1}$

Paso 3.3.2

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

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Paso 3.3.2.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

Paso 3.3.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.3.2.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}$

Paso 3.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

Paso 3.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 1}{1}$

Paso 3.3.2.2.4

Divide $- 1$ por $1$ .

$d = - 1$

Paso 3.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 3.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 2)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Paso 3.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.4.2.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{4}{4 \cdot 1}$

Paso 3.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $1$ .

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Paso 3.4.2.1.3

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 3.4.2.1.3.1

Cancela el factor común.

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Paso 3.4.2.1.3.2

Reescribe la expresión.

$e = 0 - 1 \cdot 1$

Paso 3.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$e = 0 - 1$

Paso 3.4.2.2

Resta $1$ de $0$ .

$e = - 1$

Paso 3.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice ${(x - 1)}^{2} - 1$ .

${(x - 1)}^{2} - 1$

Paso 4

Sustituye ${(x - 1)}^{2} - 1$ por $x^{2} - 2 x$ en la ecuación $x^{2} - 4 y^{2} - 2 x + 32 y = 63$ .

${(x - 1)}^{2} - 1 - 4 y^{2} + 32 y = 63$

Paso 5

Mueve $- 1$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $1$ a ambos lados.

${(x - 1)}^{2} - 4 y^{2} + 32 y = 63 + 1$

Paso 6

Completa el cuadrado de $- 4 y^{2} + 32 y$ .

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Paso 6.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = - 4$

$b = 32$

$c = 0$

Paso 6.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 6.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 6.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{32}{2 \cdot - 4}$

Paso 6.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.2.1

Cancela el factor común de $32$ y $2$ .

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Paso 6.3.2.1.1

Factoriza $2$ de $32$ .

$d = \frac{2 \cdot 16}{2 \cdot - 4}$

Paso 6.3.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.3.2.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot - 4$ .

$d = \frac{2 \cdot 16}{2 (- 4)}$

Paso 6.3.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot 16}{2 \cdot - 4}$

Paso 6.3.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{16}{- 4}$

Paso 6.3.2.2

Cancela el factor común de $16$ y $- 4$ .

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Paso 6.3.2.2.1

Factoriza $4$ de $16$ .

$d = \frac{4 (4)}{- 4}$

Paso 6.3.2.2.2

Mueve el negativo del denominador de $\frac{4}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 4$

Paso 6.3.2.3

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$d = - 4$

Paso 6.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 6.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{32^{2}}{4 \cdot - 4}$

Paso 6.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.4.2.1.1

Eleva $32$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{1024}{4 \cdot - 4}$

Paso 6.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $- 4$ .

$e = 0 - \frac{1024}{- 16}$

Paso 6.4.2.1.3

Divide $1024$ por $- 16$ .

$e = 0 - - 64$

Paso 6.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $- 64$ .

$e = 0 + 64$

Paso 6.4.2.2

Suma $0$ y $64$ .

$e = 64$

Paso 6.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $- 4 {(y - 4)}^{2} + 64$ .

$- 4 {(y - 4)}^{2} + 64$

Paso 7

Sustituye $- 4 {(y - 4)}^{2} + 64$ por $- 4 y^{2} + 32 y$ en la ecuación $x^{2} - 4 y^{2} - 2 x + 32 y = 63$ .

${(x - 1)}^{2} - 4 {(y - 4)}^{2} + 64 = 63 + 1$

Paso 8

Mueve $64$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $64$ a ambos lados.

${(x - 1)}^{2} - 4 {(y - 4)}^{2} = 63 + 1 - 64$

Paso 9

Simplifica $63 + 1 - 64$ .

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Paso 9.1

Suma $63$ y $1$ .

${(x - 1)}^{2} - 4 {(y - 4)}^{2} = 64 - 64$

Paso 9.2

Resta $64$ de $64$ .

${(x - 1)}^{2} - 4 {(y - 4)}^{2} = 0$

Paso 10

Divide cada término por $0$ para que el lado derecho sea igual a uno.

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{0} - \frac{4 {(y - 4)}^{2}}{0} = \frac{0}{0}$

Paso 11

Simplifica cada término en la ecuación para establecer el lado derecho igual a $1$ . La ecuación ordinaria de una elipse o hipérbola requiere que el lado derecho de la ecuación sea $1$ .

${(x - 1)}^{2} - {(y - 4)}^{2} = 1$