Álgebra Ejemplos

$\sqrt{x + 3} > \sqrt{4 - x}$

Paso 1

Resuelve $\frac{1}{2} < x < 4$ .

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Paso 1.1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la desigualdad, eleva al cuadrado ambos lados de la desigualdad.

${\sqrt{x + 3}}^{2} > {\sqrt{4 - x}}^{2}$

Paso 1.2

Simplifica cada lado de la desigualdad.

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Paso 1.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x + 3}$ como ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} > {\sqrt{4 - x}}^{2}$

Paso 1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.2.1

Simplifica ${({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 1.2.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 1.2.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > {\sqrt{4 - x}}^{2}$

Paso 1.2.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > {\sqrt{4 - x}}^{2}$

Paso 1.2.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(x + 3)}^{1} > {\sqrt{4 - x}}^{2}$

Paso 1.2.2.1.2

Simplifica.

$x + 3 > {\sqrt{4 - x}}^{2}$

Paso 1.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.1

Reescribe ${\sqrt{4 - x}}^{2}$ como $4 - x$ .

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Paso 1.2.3.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{4 - x}$ como ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x + 3 > {({(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Paso 1.2.3.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x + 3 > {(4 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Paso 1.2.3.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$x + 3 > {(4 - x)}^{\frac{2}{2}}$

Paso 1.2.3.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.3.1.4.1

Cancela el factor común.

$x + 3 > {(4 - x)}^{\frac{2}{2}}$

Paso 1.2.3.1.4.2

Reescribe la expresión.

$x + 3 > {(4 - x)}^{1}$

Paso 1.2.3.1.5

Simplifica.

$x + 3 > 4 - x$

Paso 1.3

Resuelve $x$

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Paso 1.3.1

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la desigualdad.

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Paso 1.3.1.1

Suma $x$ a ambos lados de la desigualdad.

$x + 3 + x > 4$

Paso 1.3.1.2

Suma $x$ y $x$ .

$2 x + 3 > 4$

Paso 1.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la desigualdad.

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Paso 1.3.2.1

Resta $3$ de ambos lados de la desigualdad.

$2 x > 4 - 3$

Paso 1.3.2.2

Resta $3$ de $4$ .

$2 x > 1$

Paso 1.3.3

Divide cada término en $2 x > 1$ por $2$ y simplifica.

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Paso 1.3.3.1

Divide cada término en $2 x > 1$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} > \frac{1}{2}$

Paso 1.3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.3.3.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} > \frac{1}{2}$

Paso 1.3.3.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x > \frac{1}{2}$

Paso 1.4

Obtén el dominio de $\sqrt{x + 3} - \sqrt{4 - x}$ .

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Paso 1.4.1

Establece el radicando en $\sqrt{x + 3}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$x + 3 \geq 0$

Paso 1.4.2

Resta $3$ de ambos lados de la desigualdad.

$x \geq - 3$

Paso 1.4.3

Establece el radicando en $\sqrt{4 - x}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$4 - x \geq 0$

Paso 1.4.4

Resuelve $x$

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Paso 1.4.4.1

Resta $4$ de ambos lados de la desigualdad.

$- x \geq - 4$

Paso 1.4.4.2

Divide cada término en $- x \geq - 4$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 1.4.4.2.1

Divide cada término de $- x \geq - 4$ por $- 1$ . Cuando multipliques o dividas ambos lados de una desigualdad por un valor negativo, cambia la dirección del signo de desigualdad.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{- 4}{- 1}$

Paso 1.4.4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.4.4.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} \leq \frac{- 4}{- 1}$

Paso 1.4.4.2.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x \leq \frac{- 4}{- 1}$

Paso 1.4.4.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.4.4.2.3.1

Divide $- 4$ por $- 1$ .

$x \leq 4$

Paso 1.4.5

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$[- 3, 4]$

Paso 1.5

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 3$

$- 3 < x < \frac{1}{2}$

$\frac{1}{2} < x < 4$

$x > 4$

Paso 1.6

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 1.6.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 3$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 1.6.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 3$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 6$

Paso 1.6.1.2

Reemplaza $x$ con $- 6$ en la desigualdad original.

$\sqrt{(- 6) + 3} > \sqrt{4 - (- 6)}$

Paso 1.6.1.3

El lado izquierdo no es igual al lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 1.6.2

Prueba un valor en el intervalo $- 3 < x < \frac{1}{2}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 1.6.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 3 < x < \frac{1}{2}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 1.6.2.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$\sqrt{(0) + 3} > \sqrt{4 - (0)}$

Paso 1.6.2.3

$1.7320508$ del lado izquierdo no es mayor que $2$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 1.6.3

Prueba un valor en el intervalo $\frac{1}{2} < x < 4$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 1.6.3.1

Elije un valor en el intervalo $\frac{1}{2} < x < 4$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 2$

Paso 1.6.3.2

Reemplaza $x$ con $2$ en la desigualdad original.

$\sqrt{(2) + 3} > \sqrt{4 - (2)}$

Paso 1.6.3.3

$2.23606797$ del lado izquierdo es mayor que $1.41421356$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 1.6.4

Prueba un valor en el intervalo $x > 4$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 1.6.4.1

Elije un valor en el intervalo $x > 4$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 6$

Paso 1.6.4.2

Reemplaza $x$ con $6$ en la desigualdad original.

$\sqrt{(6) + 3} > \sqrt{4 - (6)}$

Paso 1.6.4.3

El lado izquierdo no es igual al lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 1.6.5

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 3$ Falso

$- 3 < x < \frac{1}{2}$ Falso

$\frac{1}{2} < x < 4$ Verdadero

$x > 4$ Falso

$x < - 3$ Falso

$- 3 < x < \frac{1}{2}$ Falso

$\frac{1}{2} < x < 4$ Verdadero

$x > 4$ Falso

Paso 1.7

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$\frac{1}{2} < x < 4$

Paso 2

Usa la desigualdad $\frac{1}{2} < x < 4$ para crear la notación de conjunto.

${x | \frac{1}{2} < x < 4}$

Paso 3