Álgebra Ejemplos

$q (3) = \frac{1}{x^{2} - 9}$

Paso 1

Reescribe la ecuación como $\frac{1}{x^{2} - 9} = q (3)$ .

$\frac{1}{x^{2} - 9} = q (3)$

Paso 2

Factoriza cada término.

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Paso 2.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2} - 3^{2}} = q (3)$

Paso 2.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 3$ .

$\frac{1}{(x + 3) (x - 3)} = q (3)$

Paso 3

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 3.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$(x + 3) (x - 3), 1$

Paso 3.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$(x + 3) (x - 3)$

Paso 4

Multiplica cada término en $\frac{1}{(x + 3) (x - 3)} = q (3)$ por $(x + 3) (x - 3)$ para eliminar las fracciones.

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Paso 4.1

Multiplica cada término en $\frac{1}{(x + 3) (x - 3)} = q (3)$ por $(x + 3) (x - 3)$ .

$\frac{1}{(x + 3) (x - 3)} ((x + 3) (x - 3)) = q (3) ((x + 3) (x - 3))$

Paso 4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1

Cancela el factor común de $(x + 3) (x - 3)$ .

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Paso 4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{(x + 3) (x - 3)} ((x + 3) (x - 3)) = q (3) ((x + 3) (x - 3))$

Paso 4.2.1.2

Reescribe la expresión.

$1 = q (3) ((x + 3) (x - 3))$

Paso 4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.3.1

Mueve $3$ a la izquierda de $q$ .

$1 = 3 q ((x + 3) (x - 3))$

Paso 4.3.2

Expande $(x + 3) (x - 3)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 4.3.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$1 = 3 q (x (x - 3) + 3 (x - 3))$

Paso 4.3.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$1 = 3 q (x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 (x - 3))$

Paso 4.3.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$1 = 3 q (x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3)$

Paso 4.3.3

Simplifica los términos.

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Paso 4.3.3.1

Combina los términos opuestos en $x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3$ .

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Paso 4.3.3.1.1

Reordena los factores en los términos $x \cdot - 3$ y $3 x$ .

$1 = 3 q (x \cdot x - 3 x + 3 x + 3 \cdot - 3)$

Paso 4.3.3.1.2

Suma $- 3 x$ y $3 x$ .

$1 = 3 q (x \cdot x + 0 + 3 \cdot - 3)$

Paso 4.3.3.1.3

Suma $x \cdot x$ y $0$ .

$1 = 3 q (x \cdot x + 3 \cdot - 3)$

Paso 4.3.3.2

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.3.2.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$1 = 3 q (x^{2} + 3 \cdot - 3)$

Paso 4.3.3.2.2

Multiplica $3$ por $- 3$ .

$1 = 3 q (x^{2} - 9)$

Paso 4.3.3.3

Simplifica mediante la multiplicación.

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Paso 4.3.3.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$1 = 3 q x^{2} + 3 q \cdot - 9$

Paso 4.3.3.3.2

Multiplica $- 9$ por $3$ .

$1 = 3 q x^{2} - 27 q$

Paso 5

Resuelve la ecuación.

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Paso 5.1

Reescribe la ecuación como $3 q x^{2} - 27 q = 1$ .

$3 q x^{2} - 27 q = 1$

Paso 5.2

Suma $27 q$ a ambos lados de la ecuación.

$3 q x^{2} = 1 + 27 q$

Paso 5.3

Divide cada término en $3 q x^{2} = 1 + 27 q$ por $3 q$ y simplifica.

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Paso 5.3.1

Divide cada término en $3 q x^{2} = 1 + 27 q$ por $3 q$ .

$\frac{3 q x^{2}}{3 q} = \frac{1}{3 q} + \frac{27 q}{3 q}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 q x^{2}}{3 q} = \frac{1}{3 q} + \frac{27 q}{3 q}$

Paso 5.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{q x^{2}}{q} = \frac{1}{3 q} + \frac{27 q}{3 q}$

Paso 5.3.2.2

Cancela el factor común de $q$ .

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Paso 5.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{q x^{2}}{q} = \frac{1}{3 q} + \frac{27 q}{3 q}$

Paso 5.3.2.2.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{1}{3 q} + \frac{27 q}{3 q}$

Paso 5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.3.1.1

Cancela el factor común de $27$ y $3$ .

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Paso 5.3.3.1.1.1

Factoriza $3$ de $27 q$ .

$x^{2} = \frac{1}{3 q} + \frac{3 (9 q)}{3 q}$

Paso 5.3.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.3.3.1.1.2.1

Factoriza $3$ de $3 q$ .

$x^{2} = \frac{1}{3 q} + \frac{3 (9 q)}{3 (q)}$

Paso 5.3.3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$x^{2} = \frac{1}{3 q} + \frac{3 (9 q)}{3 q}$

Paso 5.3.3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$x^{2} = \frac{1}{3 q} + \frac{9 q}{q}$

Paso 5.3.3.1.2

Cancela el factor común de $q$ .

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Paso 5.3.3.1.2.1

Cancela el factor común.

$x^{2} = \frac{1}{3 q} + \frac{9 q}{q}$

Paso 5.3.3.1.2.2

Divide $9$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{1}{3 q} + 9$

Paso 5.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{3 q} + 9}$

Paso 5.5

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{1}{3 q} + 9}$ .

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Paso 5.5.1

Para escribir $9$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3 q}{3 q}$ .

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{3 q} + 9 \cdot \frac{3 q}{3 q}}$

Paso 5.5.2

Combina $9$ y $\frac{3 q}{3 q}$ .

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{3 q} + \frac{9 (3 q)}{3 q}}$

Paso 5.5.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \pm \sqrt{\frac{1 + 9 (3 q)}{3 q}}$

Paso 5.5.4

Multiplica $9$ por $3$ .

$x = \pm \sqrt{\frac{1 + 27 q}{3 q}}$

Paso 5.5.5

Reescribe $\sqrt{\frac{1 + 27 q}{3 q}}$ como $\frac{\sqrt{1 + 27 q}}{\sqrt{3 q}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + 27 q}}{\sqrt{3 q}}$

Paso 5.5.6

Multiplica $\frac{\sqrt{1 + 27 q}}{\sqrt{3 q}}$ por $\frac{\sqrt{3 q}}{\sqrt{3 q}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + 27 q}}{\sqrt{3 q}} \cdot \frac{\sqrt{3 q}}{\sqrt{3 q}}$

Paso 5.5.7

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 5.5.7.1

Multiplica $\frac{\sqrt{1 + 27 q}}{\sqrt{3 q}}$ por $\frac{\sqrt{3 q}}{\sqrt{3 q}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + 27 q} \sqrt{3 q}}{\sqrt{3 q} \sqrt{3 q}}$

Paso 5.5.7.2

Eleva $\sqrt{3 q}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + 27 q} \sqrt{3 q}}{{\sqrt{3 q}}^{1} \sqrt{3 q}}$

Paso 5.5.7.3

Eleva $\sqrt{3 q}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + 27 q} \sqrt{3 q}}{{\sqrt{3 q}}^{1} {\sqrt{3 q}}^{1}}$

Paso 5.5.7.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + 27 q} \sqrt{3 q}}{{\sqrt{3 q}}^{1 + 1}}$

Paso 5.5.7.5

Suma $1$ y $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + 27 q} \sqrt{3 q}}{{\sqrt{3 q}}^{2}}$

Paso 5.5.7.6

Reescribe ${\sqrt{3 q}}^{2}$ como $3 q$ .

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Paso 5.5.7.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3 q}$ como ${(3 q)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + 27 q} \sqrt{3 q}}{{({(3 q)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 5.5.7.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + 27 q} \sqrt{3 q}}{{(3 q)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 5.5.7.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + 27 q} \sqrt{3 q}}{{(3 q)}^{\frac{2}{2}}}$

Paso 5.5.7.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.5.7.6.4.1

Cancela el factor común.

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + 27 q} \sqrt{3 q}}{{(3 q)}^{\frac{2}{2}}}$

Paso 5.5.7.6.4.2

Reescribe la expresión.

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + 27 q} \sqrt{3 q}}{{(3 q)}^{1}}$

Paso 5.5.7.6.5

Simplifica.

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + 27 q} \sqrt{3 q}}{3 q}$

Paso 5.5.8

Combina con la regla del producto para radicales.

$x = \pm \frac{\sqrt{(1 + 27 q) \cdot 3 q}}{3 q}$

Paso 5.5.9

Reordena los factores en $\pm \frac{\sqrt{(1 + 27 q) \cdot 3 q}}{3 q}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3 q (1 + 27 q)}}{3 q}$

Paso 5.6

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 5.6.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \frac{\sqrt{3 q (1 + 27 q)}}{3 q}$

Paso 5.6.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \frac{\sqrt{3 q (1 + 27 q)}}{3 q}$

Paso 5.6.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \frac{\sqrt{3 q (1 + 27 q)}}{3 q}$

$x = - \frac{\sqrt{3 q (1 + 27 q)}}{3 q}$

$x = \frac{\sqrt{3 q (1 + 27 q)}}{3 q}$

$x = - \frac{\sqrt{3 q (1 + 27 q)}}{3 q}$

$x = \frac{\sqrt{3 q (1 + 27 q)}}{3 q}$

$x = - \frac{\sqrt{3 q (1 + 27 q)}}{3 q}$

Paso 6

Para reescribir como una función de $q$ , escribe la ecuación para que $x$ quede por sí sola a un lado del signo igual y una expresión que solo involucra $q$ quede al otro lado.

$f (q) = \frac{\sqrt{3 q (1 + 27 q)}}{3 q}, - \frac{\sqrt{3 q (1 + 27 q)}}{3 q}$