Álgebra Ejemplos

$\log_{2} (\log_{2} (\sqrt{4 x})) = 1$

Paso 1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$\log_{2} (\log_{2} (\sqrt{4 x})) - 1 = 0$

Paso 2

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\log_{2} (\log_{2} (\sqrt{2^{2} x})) - 1 = 0$

Paso 2.2

Retira los términos de abajo del radical.

$\log_{2} (\log_{2} (2 \sqrt{x})) - 1 = 0$

Paso 3

Establece el argumento en $\log_{2} (2 \sqrt{x})$ menor o igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$2 \sqrt{x} \leq 0$

Paso 4

Resuelve $x$

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Paso 4.1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la desigualdad, eleva al cuadrado ambos lados de la desigualdad.

${(2 \sqrt{x})}^{2} \leq 0^{2}$

Paso 4.2

Simplifica cada lado de la desigualdad.

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Paso 4.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq 0^{2}$

Paso 4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.2.1

Simplifica ${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 4.2.2.1.1

Aplica la regla del producto a $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq 0^{2}$

Paso 4.2.2.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$4 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq 0^{2}$

Paso 4.2.2.1.3

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.2.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq 0^{2}$

Paso 4.2.2.1.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.2.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq 0^{2}$

Paso 4.2.2.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$4 x^{1} \leq 0^{2}$

Paso 4.2.2.1.4

Simplifica.

$4 x \leq 0^{2}$

Paso 4.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$4 x \leq 0$

Paso 4.3

Divide cada término en $4 x \leq 0$ por $4$ y simplifica.

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Paso 4.3.1

Divide cada término en $4 x \leq 0$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} \leq \frac{0}{4}$

Paso 4.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 x}{4} \leq \frac{0}{4}$

Paso 4.3.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x \leq \frac{0}{4}$

Paso 4.3.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.3.1

Divide $0$ por $4$ .

$x \leq 0$

Paso 5

Establece el argumento en $\log_{2} (\log_{2} (2 \sqrt{x}))$ menor o igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$\log_{2} (2 \sqrt{x}) \leq 0$

Paso 6

Resuelve $x$

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Paso 6.1

Convierte la desigualdad a una igualdad.

$\log_{2} (2 \sqrt{x}) = 0$

Paso 6.2

Resuelve la ecuación.

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Paso 6.2.1

Reescribe $\log_{2} (2 \sqrt{x}) = 0$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$2^{0} = 2 \sqrt{x}$

Paso 6.2.2

Resuelve $x$

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Paso 6.2.2.1

Reescribe la ecuación como $2 \sqrt{x} = 2^{0}$ .

$2 \sqrt{x} = 2^{0}$

Paso 6.2.2.2

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${(2 \sqrt{x})}^{2} = {(2^{0})}^{2}$

Paso 6.2.2.3

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 6.2.2.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2^{0})}^{2}$

Paso 6.2.2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.2.3.2.1

Simplifica ${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.2.3.2.1.1

Aplica la regla del producto a $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2^{0})}^{2}$

Paso 6.2.2.3.2.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$4 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2^{0})}^{2}$

Paso 6.2.2.3.2.1.3

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 6.2.2.3.2.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2^{0})}^{2}$

Paso 6.2.2.3.2.1.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.2.2.3.2.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2^{0})}^{2}$

Paso 6.2.2.3.2.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$4 x^{1} = {(2^{0})}^{2}$

Paso 6.2.2.3.2.1.4

Simplifica.

$4 x = {(2^{0})}^{2}$

Paso 6.2.2.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.2.2.3.3.1

Simplifica ${(2^{0})}^{2}$ .

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Paso 6.2.2.3.3.1.1

Multiplica los exponentes en ${(2^{0})}^{2}$ .

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Paso 6.2.2.3.3.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 x = 2^{0 \cdot 2}$

Paso 6.2.2.3.3.1.1.2

Multiplica $0$ por $2$ .

$4 x = 2^{0}$

Paso 6.2.2.3.3.1.2

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$4 x = 1$

Paso 6.2.2.4

Divide cada término en $4 x = 1$ por $4$ y simplifica.

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Paso 6.2.2.4.1

Divide cada término en $4 x = 1$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Paso 6.2.2.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.2.4.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 6.2.2.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Paso 6.2.2.4.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{4}$

Paso 6.3

Obtén el dominio de $\log_{2} (2 \sqrt{x})$ .

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Paso 6.3.1

Establece el argumento en $\log_{2} (2 \sqrt{x})$ mayor que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$2 \sqrt{x} > 0$

Paso 6.3.2

Resuelve $x$

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Paso 6.3.2.1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la desigualdad, eleva al cuadrado ambos lados de la desigualdad.

${(2 \sqrt{x})}^{2} > 0^{2}$

Paso 6.3.2.2

Simplifica cada lado de la desigualdad.

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Paso 6.3.2.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2} > 0^{2}$

Paso 6.3.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.3.2.2.2.1

Simplifica ${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 6.3.2.2.2.1.1

Aplica la regla del producto a $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} > 0^{2}$

Paso 6.3.2.2.2.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$4 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} > 0^{2}$

Paso 6.3.2.2.2.1.3

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 6.3.2.2.2.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} > 0^{2}$

Paso 6.3.2.2.2.1.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.3.2.2.2.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} > 0^{2}$

Paso 6.3.2.2.2.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$4 x^{1} > 0^{2}$

Paso 6.3.2.2.2.1.4

Simplifica.

$4 x > 0^{2}$

Paso 6.3.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.2.2.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$4 x > 0$

Paso 6.3.2.3

Divide cada término en $4 x > 0$ por $4$ y simplifica.

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Paso 6.3.2.3.1

Divide cada término en $4 x > 0$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} > \frac{0}{4}$

Paso 6.3.2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.3.2.3.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 6.3.2.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 x}{4} > \frac{0}{4}$

Paso 6.3.2.3.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x > \frac{0}{4}$

Paso 6.3.2.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.2.3.3.1

Divide $0$ por $4$ .

$x > 0$

Paso 6.3.2.4

Obtén el dominio de $2 \sqrt{x}$ .

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Paso 6.3.2.4.1

Establece el radicando en $\sqrt{x}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$x \geq 0$

Paso 6.3.2.4.2

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$[0, \infty)$

Paso 6.3.2.5

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x > 0$

Paso 6.3.3

Establece el radicando en $\sqrt{x}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$x \geq 0$

Paso 6.3.4

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(0, \infty)$

Paso 6.4

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < 0$

$0 < x < \frac{1}{4}$

$x > \frac{1}{4}$

Paso 6.5

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 6.5.1

Prueba un valor en el intervalo $x < 0$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 6.5.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < 0$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 2$

Paso 6.5.1.2

Reemplaza $x$ con $- 2$ en la desigualdad original.

$\log_{2} (2 \sqrt{- 2}) \leq 0$

Paso 6.5.1.3

El lado izquierdo no es igual al lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 6.5.2

Prueba un valor en el intervalo $0 < x < \frac{1}{4}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 6.5.2.1

Elije un valor en el intervalo $0 < x < \frac{1}{4}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0.12$

Paso 6.5.2.2

Reemplaza $x$ con $0.12$ en la desigualdad original.

$\log_{2} (2 \sqrt{0.12}) \leq 0$

Paso 6.5.2.3

$- 0.52944684$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 6.5.3

Prueba un valor en el intervalo $x > \frac{1}{4}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 6.5.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > \frac{1}{4}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 3$

Paso 6.5.3.2

Reemplaza $x$ con $3$ en la desigualdad original.

$\log_{2} (2 \sqrt{3}) \leq 0$

Paso 6.5.3.3

$1.79248125$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 6.5.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < 0$ Falso

$0 < x < \frac{1}{4}$ Verdadero

$x > \frac{1}{4}$ Falso

$x < 0$ Falso

$0 < x < \frac{1}{4}$ Verdadero

$x > \frac{1}{4}$ Falso

Paso 6.6

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$0 < x \leq \frac{1}{4}$

Paso 7

Establece el radicando en $\sqrt{x}$ menor que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x < 0$

Paso 8

La ecuación es indefinida cuando el denominador es igual a $0$ , el argumento de una raíz cuadrada es menor que $0$ o el argumento de un logaritmo es menor o igual que $0$ .

$x \leq \frac{1}{4}$

$(- \infty, \frac{1}{4}]$

Paso 9