Álgebra Ejemplos

$y = \frac{1}{10} x^{2} - \frac{1}{5} x + \frac{18}{5}$

Paso 1

Reescribe la ecuación en forma de vértice.

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Paso 1.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.1

Combina $\frac{1}{10}$ y $x^{2}$ .

$y = \frac{x^{2}}{10} - \frac{1}{5} x + \frac{18}{5}$

Paso 1.1.2

Combina $x$ y $\frac{1}{5}$ .

$y = \frac{x^{2}}{10} - \frac{x}{5} + \frac{18}{5}$

Paso 1.2

Completa el cuadrado de $\frac{x^{2}}{10} - \frac{x}{5} + \frac{18}{5}$ .

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Paso 1.2.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = \frac{1}{10}$

$b = - \frac{1}{5}$

$c = \frac{18}{5}$

Paso 1.2.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.2.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.2.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- \frac{1}{5}}{2 (\frac{1}{10})}$

Paso 1.2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.2.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$d = - \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{10})}$

Paso 1.2.3.2.2

Combina $2$ y $\frac{1}{10}$ .

$d = - \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{\frac{2}{10}}$

Paso 1.2.3.2.3

Cancela el factor común de $2$ y $10$ .

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Paso 1.2.3.2.3.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$d = - \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{\frac{2 (1)}{10}}$

Paso 1.2.3.2.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.3.2.3.2.1

Factoriza $2$ de $10$ .

$d = - \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 5}}$

Paso 1.2.3.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$d = - \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 5}}$

Paso 1.2.3.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$d = - \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{\frac{1}{5}}$

Paso 1.2.3.2.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$d = - \frac{1}{5} (1 \cdot 5)$

Paso 1.2.3.2.5

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 1.2.3.2.5.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{5}$ al numerador.

$d = \frac{- 1}{5} (1 \cdot 5)$

Paso 1.2.3.2.5.2

Factoriza $5$ de $1 \cdot 5$ .

$d = \frac{- 1}{5} (5 \cdot 1)$

Paso 1.2.3.2.5.3

Cancela el factor común.

$d = \frac{- 1}{5} (5 \cdot 1)$

Paso 1.2.3.2.5.4

Reescribe la expresión.

$d = - 1$

Paso 1.2.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.2.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = \frac{18}{5} - \frac{{(- \frac{1}{5})}^{2}}{4 (\frac{1}{10})}$

Paso 1.2.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.4.2.1.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.4.2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{1}{5}$ .

$e = \frac{18}{5} - \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{1}{5})}^{2}}{4 (\frac{1}{10})}$

Paso 1.2.4.2.1.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$e = \frac{18}{5} - \frac{1 {(\frac{1}{5})}^{2}}{4 (\frac{1}{10})}$

Paso 1.2.4.2.1.1.3

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{5}$ .

$e = \frac{18}{5} - \frac{1 \frac{1^{2}}{5^{2}}}{4 (\frac{1}{10})}$

Paso 1.2.4.2.1.1.4

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$e = \frac{18}{5} - \frac{1 \frac{1}{5^{2}}}{4 (\frac{1}{10})}$

Paso 1.2.4.2.1.1.5

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$e = \frac{18}{5} - \frac{1 (\frac{1}{25})}{4 (\frac{1}{10})}$

Paso 1.2.4.2.1.1.6

Multiplica $\frac{1}{25}$ por $1$ .

$e = \frac{18}{5} - \frac{\frac{1}{25}}{4 (\frac{1}{10})}$

Paso 1.2.4.2.1.2

Combina $4$ y $\frac{1}{10}$ .

$e = \frac{18}{5} - \frac{\frac{1}{25}}{\frac{4}{10}}$

Paso 1.2.4.2.1.3

Cancela el factor común de $4$ y $10$ .

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Paso 1.2.4.2.1.3.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$e = \frac{18}{5} - \frac{\frac{1}{25}}{\frac{2 (2)}{10}}$

Paso 1.2.4.2.1.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.4.2.1.3.2.1

Factoriza $2$ de $10$ .

$e = \frac{18}{5} - \frac{\frac{1}{25}}{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 5}}$

Paso 1.2.4.2.1.3.2.2

Cancela el factor común.

$e = \frac{18}{5} - \frac{\frac{1}{25}}{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 5}}$

Paso 1.2.4.2.1.3.2.3

Reescribe la expresión.

$e = \frac{18}{5} - \frac{\frac{1}{25}}{\frac{2}{5}}$

Paso 1.2.4.2.1.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$e = \frac{18}{5} - (\frac{1}{25} \cdot \frac{5}{2})$

Paso 1.2.4.2.1.5

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 1.2.4.2.1.5.1

Factoriza $5$ de $25$ .

$e = \frac{18}{5} - (\frac{1}{5 (5)} \cdot \frac{5}{2})$

Paso 1.2.4.2.1.5.2

Cancela el factor común.

$e = \frac{18}{5} - (\frac{1}{5 \cdot 5} \cdot \frac{5}{2})$

Paso 1.2.4.2.1.5.3

Reescribe la expresión.

$e = \frac{18}{5} - (\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{2})$

Paso 1.2.4.2.1.6

Multiplica $\frac{1}{5}$ por $\frac{1}{2}$ .

$e = \frac{18}{5} - \frac{1}{5 \cdot 2}$

Paso 1.2.4.2.1.7

Multiplica $5$ por $2$ .

$e = \frac{18}{5} - \frac{1}{10}$

Paso 1.2.4.2.2

Para escribir $\frac{18}{5}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$e = \frac{18}{5} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{10}$

Paso 1.2.4.2.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $10$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 1.2.4.2.3.1

Multiplica $\frac{18}{5}$ por $\frac{2}{2}$ .

$e = \frac{18 \cdot 2}{5 \cdot 2} - \frac{1}{10}$

Paso 1.2.4.2.3.2

Multiplica $5$ por $2$ .

$e = \frac{18 \cdot 2}{10} - \frac{1}{10}$

Paso 1.2.4.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$e = \frac{18 \cdot 2 - 1}{10}$

Paso 1.2.4.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.4.2.5.1

Multiplica $18$ por $2$ .

$e = \frac{36 - 1}{10}$

Paso 1.2.4.2.5.2

Resta $1$ de $36$ .

$e = \frac{35}{10}$

Paso 1.2.4.2.6

Cancela el factor común de $35$ y $10$ .

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Paso 1.2.4.2.6.1

Factoriza $5$ de $35$ .

$e = \frac{5 (7)}{10}$

Paso 1.2.4.2.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.4.2.6.2.1

Factoriza $5$ de $10$ .

$e = \frac{5 \cdot 7}{5 \cdot 2}$

Paso 1.2.4.2.6.2.2

Cancela el factor común.

$e = \frac{5 \cdot 7}{5 \cdot 2}$

Paso 1.2.4.2.6.2.3

Reescribe la expresión.

$e = \frac{7}{2}$

Paso 1.2.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $\frac{1}{10} {(x - 1)}^{2} + \frac{7}{2}$ .

$\frac{1}{10} {(x - 1)}^{2} + \frac{7}{2}$

Paso 1.3

Establece $y$ igual al nuevo lado derecho.

$y = \frac{1}{10} \cdot {(x - 1)}^{2} + \frac{7}{2}$

Paso 2

Usa la forma de vértice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = \frac{1}{10}$

$h = 1$

$k = \frac{7}{2}$

Paso 3

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(1, \frac{7}{2})$

Paso 4

Obtén $p$ , la distancia desde el vértice hasta el foco.

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Paso 4.1

Obtén la distancia desde el vértice hasta un foco de la parábola con la siguiente fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Paso 4.2

Sustituye el valor de $a$ en la fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{10}}$

Paso 4.3

Simplifica.

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Paso 4.3.1

Combina $4$ y $\frac{1}{10}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{10}}$

Paso 4.3.2

Cancela el factor común de $4$ y $10$ .

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Paso 4.3.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{1}{\frac{2 (2)}{10}}$

Paso 4.3.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.3.2.2.1

Factoriza $2$ de $10$ .

$\frac{1}{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 5}}$

Paso 4.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 5}}$

Paso 4.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{\frac{2}{5}}$

Paso 4.3.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$1 (\frac{5}{2})$

Paso 4.3.4

Multiplica $\frac{5}{2}$ por $1$ .

$\frac{5}{2}$

Paso 5

Obtén la directriz.

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Paso 5.1

La directriz de una parábola es la recta horizontal que se obtiene al restar $p$ de la coordenada y $k$ del vértice si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$y = k - p$

Paso 5.2

Sustituye los valores conocidos de $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$y = 1$

Paso 6