Álgebra Ejemplos

$(- 5, 0)$ , $(- 3, 1)$

Paso 1

La ecuación general de una parábola con vértice $(h, k)$ es $y = a {(x - h)}^{2} + k$ . En este caso, tenemos $(- 3, 1)$ como vértice $(h, k)$ y $(- 5, 0)$ es un punto $(x, y)$ en la parábola. Para obtener $a$ , sustituye los dos puntos en $y = a {(x - h)}^{2} + k$ .

$0 = a {(- 5 - (- 3))}^{2} + 1$

Paso 2

Usa $0 = a {(- 5 - (- 3))}^{2} + 1$ para resolver $a$ , $a = - \frac{1}{4}$ .

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Paso 2.1

Reescribe la ecuación como $a {(- 5 - (- 3))}^{2} + 1 = 0$ .

$a {(- 5 - (- 3))}^{2} + 1 = 0$

Paso 2.2

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 3$ .

$a {(- 5 + 3)}^{2} + 1 = 0$

Paso 2.2.2

Suma $- 5$ y $3$ .

$a {(- 2)}^{2} + 1 = 0$

Paso 2.2.3

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$a \cdot 4 + 1 = 0$

Paso 2.2.4

Mueve $4$ a la izquierda de $a$ .

$4 a + 1 = 0$

Paso 2.3

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$4 a = - 1$

Paso 2.4

Divide cada término en $4 a = - 1$ por $4$ y simplifica.

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Paso 2.4.1

Divide cada término en $4 a = - 1$ por $4$ .

$\frac{4 a}{4} = \frac{- 1}{4}$

Paso 2.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.4.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 2.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 a}{4} = \frac{- 1}{4}$

Paso 2.4.2.1.2

Divide $a$ por $1$ .

$a = \frac{- 1}{4}$

Paso 2.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.4.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$a = - \frac{1}{4}$

Paso 3

Mediante $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , la ecuación general de la parábola con el vértice $(- 3, 1)$ y $a = - \frac{1}{4}$ es $y = (- \frac{1}{4}) {(x - (- 3))}^{2} + 1$ .

$y = (- \frac{1}{4}) {(x - (- 3))}^{2} + 1$

Paso 4

Resuelve $y = (- \frac{1}{4}) {(x - (- 3))}^{2} + 1$ en $y$ .

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Paso 4.1

Elimina los paréntesis.

$y = (- \frac{1}{4}) {(x - (- 3))}^{2} + 1$

Paso 4.2

Multiplica $- \frac{1}{4}$ por ${(x - (- 3))}^{2}$ .

$y = - \frac{1}{4} \cdot {(x - (- 3))}^{2} + 1$

Paso 4.3

Elimina los paréntesis.

$y = (- \frac{1}{4}) {(x - (- 3))}^{2} + 1$

Paso 4.4

Simplifica $(- \frac{1}{4}) {(x - (- 3))}^{2} + 1$ .

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Paso 4.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.4.1.1

Multiplica $- 1$ por $- 3$ .

$y = - \frac{1}{4} {(x + 3)}^{2} + 1$

Paso 4.4.1.2

Reescribe ${(x + 3)}^{2}$ como $(x + 3) (x + 3)$ .

$y = - \frac{1}{4} ((x + 3) (x + 3)) + 1$

Paso 4.4.1.3

Expande $(x + 3) (x + 3)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 4.4.1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = - \frac{1}{4} (x (x + 3) + 3 (x + 3)) + 1$

Paso 4.4.1.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y = - \frac{1}{4} (x \cdot x + x \cdot 3 + 3 (x + 3)) + 1$

Paso 4.4.1.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = - \frac{1}{4} (x \cdot x + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3) + 1$

Paso 4.4.1.4

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 4.4.1.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.4.1.4.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$y = - \frac{1}{4} (x^{2} + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3) + 1$

Paso 4.4.1.4.1.2

Mueve $3$ a la izquierda de $x$ .

$y = - \frac{1}{4} (x^{2} + 3 \cdot x + 3 x + 3 \cdot 3) + 1$

Paso 4.4.1.4.1.3

Multiplica $3$ por $3$ .

$y = - \frac{1}{4} (x^{2} + 3 x + 3 x + 9) + 1$

Paso 4.4.1.4.2

Suma $3 x$ y $3 x$ .

$y = - \frac{1}{4} (x^{2} + 6 x + 9) + 1$

Paso 4.4.1.5

Aplica la propiedad distributiva.

$y = - \frac{1}{4} x^{2} - \frac{1}{4} (6 x) - \frac{1}{4} \cdot 9 + 1$

Paso 4.4.1.6

Simplifica.

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Paso 4.4.1.6.1

Combina $x^{2}$ y $\frac{1}{4}$ .

$y = - \frac{x^{2}}{4} - \frac{1}{4} (6 x) - \frac{1}{4} \cdot 9 + 1$

Paso 4.4.1.6.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.4.1.6.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{4}$ al numerador.

$y = - \frac{x^{2}}{4} + \frac{- 1}{4} (6 x) - \frac{1}{4} \cdot 9 + 1$

Paso 4.4.1.6.2.2

Factoriza $2$ de $4$ .

$y = - \frac{x^{2}}{4} + \frac{- 1}{2 (2)} (6 x) - \frac{1}{4} \cdot 9 + 1$

Paso 4.4.1.6.2.3

Factoriza $2$ de $6 x$ .

$y = - \frac{x^{2}}{4} + \frac{- 1}{2 (2)} (2 (3 x)) - \frac{1}{4} \cdot 9 + 1$

Paso 4.4.1.6.2.4

Cancela el factor común.

$y = - \frac{x^{2}}{4} + \frac{- 1}{2 \cdot 2} (2 (3 x)) - \frac{1}{4} \cdot 9 + 1$

Paso 4.4.1.6.2.5

Reescribe la expresión.

$y = - \frac{x^{2}}{4} + \frac{- 1}{2} (3 x) - \frac{1}{4} \cdot 9 + 1$

Paso 4.4.1.6.3

Combina $3$ y $\frac{- 1}{2}$ .

$y = - \frac{x^{2}}{4} + \frac{3 \cdot - 1}{2} x - \frac{1}{4} \cdot 9 + 1$

Paso 4.4.1.6.4

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$y = - \frac{x^{2}}{4} + \frac{- 3}{2} x - \frac{1}{4} \cdot 9 + 1$

Paso 4.4.1.6.5

Combina $\frac{- 3}{2}$ y $x$ .

$y = - \frac{x^{2}}{4} + \frac{- 3 x}{2} - \frac{1}{4} \cdot 9 + 1$

Paso 4.4.1.6.6

Multiplica $- \frac{1}{4} \cdot 9$ .

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Paso 4.4.1.6.6.1

Multiplica $9$ por $- 1$ .

$y = - \frac{x^{2}}{4} + \frac{- 3 x}{2} - 9 (\frac{1}{4}) + 1$

Paso 4.4.1.6.6.2

Combina $- 9$ y $\frac{1}{4}$ .

$y = - \frac{x^{2}}{4} + \frac{- 3 x}{2} + \frac{- 9}{4} + 1$

Paso 4.4.1.7

Simplifica cada término.

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Paso 4.4.1.7.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{- 9}{4} + 1$

Paso 4.4.1.7.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} - \frac{9}{4} + 1$

Paso 4.4.2

Simplifica la expresión.

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Paso 4.4.2.1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$y = - \frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} - \frac{9}{4} + \frac{4}{4}$

Paso 4.4.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = - \frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{- 9 + 4}{4}$

Paso 4.4.2.3

Suma $- 9$ y $4$ .

$y = - \frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{- 5}{4}$

Paso 4.4.2.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} - \frac{5}{4}$

Paso 5

La ecuación ordinaria y la forma del vértice son las siguientes.

Ecuación ordinaria: $y = - \frac{1}{4} x^{2} - \frac{3}{2} x - \frac{5}{4}$

Forma de vértice: $y = (- \frac{1}{4}) {(x - (- 3))}^{2} + 1$

Paso 6

Simplifica la ecuación ordinaria.

Ecuación ordinaria: $y = - \frac{1}{4} x^{2} - \frac{3}{2} x - \frac{5}{4}$

Forma de vértice: $y = - \frac{1}{4} {(x + 3)}^{2} + 1$

Paso 7