Álgebra Ejemplos

$10^{x - 1}$

Paso 1

Intercambia las variables.

$x = 10^{y - 1}$

Paso 2

Resuelve $y$

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Paso 2.1

Reescribe la ecuación como $10^{y - 1} = x$ .

$10^{y - 1} = x$

Paso 2.2

Resta el logaritmo en base $10$ de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\log (10^{y - 1}) = \log (x)$

Paso 2.3

Expande el lado izquierdo.

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Paso 2.3.1

Expande $\log (10^{y - 1})$ ; para ello, mueve $y - 1$ fuera del logaritmo.

$(y - 1) \log (10) = \log (x)$

Paso 2.3.2

El logaritmo en base $10$ de $10$ es $1$ .

$(y - 1) \cdot 1 = \log (x)$

Paso 2.3.3

Multiplica $y - 1$ por $1$ .

$y - 1 = \log (x)$

Paso 2.4

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$y = \log (x) + 1$

Paso 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \log (x) + 1$

Paso 4

Verifica si $f^{- 1} (x) = \log (x) + 1$ es la inversa de $f (x) = 10^{x - 1}$ .

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Paso 4.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 4.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 4.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 4.2.2

Evalúa $f^{- 1} \cdot 10^{x - 1}$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} \cdot 10^{x - 1} = \log (10^{x - 1}) + 1$

Paso 4.2.3

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.3.1

Usa las reglas de logaritmos para mover $x - 1$ fuera del exponente.

$f^{- 1} \cdot 10^{x - 1} = (x - 1) \log (10) + 1$

Paso 4.2.3.2

El logaritmo en base $10$ de $10$ es $1$ .

$f^{- 1} \cdot 10^{x - 1} = (x - 1) \cdot 1 + 1$

Paso 4.2.3.3

Multiplica $x - 1$ por $1$ .

$f^{- 1} \cdot 10^{x - 1} = x - 1 + 1$

Paso 4.2.4

Combina los términos opuestos en $x - 1 + 1$ .

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Paso 4.2.4.1

Suma $- 1$ y $1$ .

$f^{- 1} \cdot 10^{x - 1} = x + 0$

Paso 4.2.4.2

Suma $x$ y $0$ .

$f^{- 1} \cdot 10^{x - 1} = x$

Paso 4.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 4.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 4.3.2

Evalúa $f (\log (x) + 1)$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\log (x) + 1) = 10^{(\log (x) + 1) - 1}$

Paso 4.3.3

Combina los términos opuestos en $(\log (x) + 1) - 1$ .

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Paso 4.3.3.1

Resta $1$ de $1$ .

$f (\log (x) + 1) = 10^{\log (x) + 0}$

Paso 4.3.3.2

Suma $\log (x)$ y $0$ .

$f (\log (x) + 1) = 10^{\log (x)}$

Paso 4.3.4

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$f (\log (x) + 1) = x$

Paso 4.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \log (x) + 1$ es la inversa de $f (x) = 10^{x - 1}$ .

$f^{- 1} (x) = \log (x) + 1$