Álgebra Ejemplos

$\sqrt{\frac{48}{x}}$

Paso 1

Intercambia las variables.

$x = \sqrt{\frac{48}{y}}$

Paso 2

Resuelve $y$

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Paso 2.1

Reescribe la ecuación como $\sqrt{\frac{48}{y}} = x$ .

$\sqrt{\frac{48}{y}} = x$

Paso 2.2

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{\frac{48}{y}}}^{2} = x^{2}$

Paso 2.3

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 2.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{\frac{48}{y}}$ como ${(\frac{48}{y})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(\frac{48}{y})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Paso 2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.2.1

Simplifica ${({(\frac{48}{y})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 2.3.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(\frac{48}{y})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 2.3.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(\frac{48}{y})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Paso 2.3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(\frac{48}{y})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Paso 2.3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(\frac{48}{y})}^{1} = x^{2}$

Paso 2.3.2.1.2

Simplifica.

$\frac{48}{y} = x^{2}$

Paso 2.4

Resuelve $y$

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Paso 2.4.1

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 2.4.1.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$y, 1$

Paso 2.4.1.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$y$

Paso 2.4.2

Multiplica cada término en $\frac{48}{y} = x^{2}$ por $y$ para eliminar las fracciones.

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Paso 2.4.2.1

Multiplica cada término en $\frac{48}{y} = x^{2}$ por $y$ .

$\frac{48}{y} y = x^{2} y$

Paso 2.4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.4.2.2.1

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 2.4.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{48}{y} y = x^{2} y$

Paso 2.4.2.2.1.2

Reescribe la expresión.

$48 = x^{2} y$

Paso 2.4.3

Resuelve la ecuación.

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Paso 2.4.3.1

Reescribe la ecuación como $x^{2} y = 48$ .

$x^{2} y = 48$

Paso 2.4.3.2

Divide cada término en $x^{2} y = 48$ por $x^{2}$ y simplifica.

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Paso 2.4.3.2.1

Divide cada término en $x^{2} y = 48$ por $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{48}{x^{2}}$

Paso 2.4.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.4.3.2.2.1

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 2.4.3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{48}{x^{2}}$

Paso 2.4.3.2.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{48}{x^{2}}$

Paso 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{48}{x^{2}}$

Paso 4

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{48}{x^{2}}$ es la inversa de $f (x) = \sqrt{\frac{48}{x}}$ .

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Paso 4.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 4.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 4.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 4.2.2

Evalúa $f^{- 1} (\sqrt{\frac{48}{x}})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{48}{x}}) = \frac{48}{{(\sqrt{\frac{48}{x}})}^{2}}$

Paso 4.2.3

Simplifica el denominador.

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Paso 4.2.3.1

Reescribe $\sqrt{\frac{48}{x}}$ como $\frac{\sqrt{48}}{\sqrt{x}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{48}{x}}) = \frac{48}{{(\frac{\sqrt{48}}{\sqrt{x}})}^{2}}$

Paso 4.2.3.2

Simplifica el numerador.

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Paso 4.2.3.2.1

Reescribe $48$ como $4^{2} \cdot 3$ .

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Paso 4.2.3.2.1.1

Factoriza $16$ de $48$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{48}{x}}) = \frac{48}{{(\frac{\sqrt{16 (3)}}{\sqrt{x}})}^{2}}$

Paso 4.2.3.2.1.2

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{48}{x}}) = \frac{48}{{(\frac{\sqrt{4^{2} \cdot 3}}{\sqrt{x}})}^{2}}$

Paso 4.2.3.2.2

Retira los términos de abajo del radical.

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{48}{x}}) = \frac{48}{{(\frac{4 \sqrt{3}}{\sqrt{x}})}^{2}}$

Paso 4.2.3.3

Multiplica $\frac{4 \sqrt{3}}{\sqrt{x}}$ por $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{48}{x}}) = \frac{48}{{(\frac{4 \sqrt{3}}{\sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}})}^{2}}$

Paso 4.2.3.4

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 4.2.3.4.1

Multiplica $\frac{4 \sqrt{3}}{\sqrt{x}}$ por $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{48}{x}}) = \frac{48}{{(\frac{4 \sqrt{3} \sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{x}})}^{2}}$

Paso 4.2.3.4.2

Eleva $\sqrt{x}$ a la potencia de $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{48}{x}}) = \frac{48}{{(\frac{4 \sqrt{3} \sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{x}})}^{2}}$

Paso 4.2.3.4.3

Eleva $\sqrt{x}$ a la potencia de $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{48}{x}}) = \frac{48}{{(\frac{4 \sqrt{3} \sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{x}})}^{2}}$

Paso 4.2.3.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{48}{x}}) = \frac{48}{{(\frac{4 \sqrt{3} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1 + 1}})}^{2}}$

Paso 4.2.3.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{48}{x}}) = \frac{48}{{(\frac{4 \sqrt{3} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{2}})}^{2}}$

Paso 4.2.3.4.6

Reescribe ${\sqrt{x}}^{2}$ como $x$ .

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Paso 4.2.3.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{48}{x}}) = \frac{48}{{(\frac{4 \sqrt{3} \sqrt{x}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2}}$

Paso 4.2.3.4.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{48}{x}}) = \frac{48}{{(\frac{4 \sqrt{3} \sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2}}$

Paso 4.2.3.4.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{48}{x}}) = \frac{48}{{(\frac{4 \sqrt{3} \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}})}^{2}}$

Paso 4.2.3.4.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.3.4.6.4.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{48}{x}}) = \frac{48}{{(\frac{4 \sqrt{3} \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}})}^{2}}$

Paso 4.2.3.4.6.4.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{48}{x}}) = \frac{48}{{(\frac{4 \sqrt{3} \sqrt{x}}{x})}^{2}}$

Paso 4.2.3.4.6.5

Simplifica.

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{48}{x}}) = \frac{48}{{(\frac{4 \sqrt{3} \sqrt{x}}{x})}^{2}}$

Paso 4.2.3.5

Combina con la regla del producto para radicales.

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{48}{x}}) = \frac{48}{{(\frac{4 \sqrt{x \cdot 3}}{x})}^{2}}$

Paso 4.2.3.6

Mueve $3$ a la izquierda de $x$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{48}{x}}) = \frac{48}{{(\frac{4 \sqrt{3 \cdot x}}{x})}^{2}}$

Paso 4.2.3.7

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 4.2.3.7.1

Aplica la regla del producto a $\frac{4 \sqrt{3 x}}{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{48}{x}}) = \frac{48}{\frac{{(4 \sqrt{3 x})}^{2}}{x^{2}}}$

Paso 4.2.3.7.2

Aplica la regla del producto a $4 \sqrt{3 x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{48}{x}}) = \frac{48}{\frac{4^{2} {\sqrt{3 x}}^{2}}{x^{2}}}$

Paso 4.2.3.8

Simplifica el numerador.

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Paso 4.2.3.8.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{48}{x}}) = \frac{48}{\frac{16 {\sqrt{3 x}}^{2}}{x^{2}}}$

Paso 4.2.3.8.2

Reescribe ${\sqrt{3 x}}^{2}$ como $3 x$ .

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Paso 4.2.3.8.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3 x}$ como ${(3 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{48}{x}}) = \frac{48}{\frac{16 {({(3 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{x^{2}}}$

Paso 4.2.3.8.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{48}{x}}) = \frac{48}{\frac{16 {(3 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{x^{2}}}$

Paso 4.2.3.8.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{48}{x}}) = \frac{48}{\frac{16 {(3 x)}^{\frac{2}{2}}}{x^{2}}}$

Paso 4.2.3.8.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.3.8.2.4.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{48}{x}}) = \frac{48}{\frac{16 {(3 x)}^{\frac{2}{2}}}{x^{2}}}$

Paso 4.2.3.8.2.4.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{48}{x}}) = \frac{48}{\frac{16 (3 x)}{x^{2}}}$

Paso 4.2.3.8.2.5

Simplifica.

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{48}{x}}) = \frac{48}{\frac{16 (3 x)}{x^{2}}}$

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{48}{x}}) = \frac{48}{\frac{16 \cdot (3 x)}{x^{2}}}$

Paso 4.2.3.8.3

Multiplica $16$ por $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{48}{x}}) = \frac{48}{\frac{48 x}{x^{2}}}$

Paso 4.2.3.9

Cancela el factor común de $x$ y $x^{2}$ .

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Paso 4.2.3.9.1

Factoriza $x$ de $48 x$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{48}{x}}) = \frac{48}{\frac{x \cdot 48}{x^{2}}}$

Paso 4.2.3.9.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.2.3.9.2.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{48}{x}}) = \frac{48}{\frac{x \cdot 48}{x \cdot x}}$

Paso 4.2.3.9.2.2

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{48}{x}}) = \frac{48}{\frac{x \cdot 48}{x \cdot x}}$

Paso 4.2.3.9.2.3

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{48}{x}}) = \frac{48}{\frac{48}{x}}$

Paso 4.2.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{48}{x}}) = 48 (\frac{x}{48})$

Paso 4.2.5

Cancela el factor común de $48$ .

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Paso 4.2.5.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{48}{x}}) = 48 (\frac{x}{48})$

Paso 4.2.5.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{48}{x}}) = x$

Paso 4.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 4.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 4.3.2

Evalúa $f (\frac{48}{x^{2}})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\frac{48}{x^{2}}) = \sqrt{\frac{48}{\frac{48}{x^{2}}}}$

Paso 4.3.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f (\frac{48}{x^{2}}) = \sqrt{48 (\frac{x^{2}}{48})}$

Paso 4.3.4

Cancela el factor común de $48$ .

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Paso 4.3.4.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{48}{x^{2}}) = \sqrt{48 (\frac{x^{2}}{48})}$

Paso 4.3.4.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{48}{x^{2}}) = \sqrt{x^{2}}$

Paso 4.3.5

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$f (\frac{48}{x^{2}}) = x$

Paso 4.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{48}{x^{2}}$ es la inversa de $f (x) = \sqrt{\frac{48}{x}}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{48}{x^{2}}$