Álgebra Ejemplos

$\sqrt{2 + \sqrt{3}}$

Paso 1

Multiplica $\sqrt{2 + \sqrt{3}}$ por $1$ .

$\sqrt{2 + \sqrt{3}}$

Paso 2

Multiplica para racionalizar el numerador.

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}} \sqrt{2 + \sqrt{3}}}{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Eleva $\sqrt{2 + \sqrt{3}}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}^{1} \sqrt{2 + \sqrt{3}}}{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}$

Paso 3.2

Eleva $\sqrt{2 + \sqrt{3}}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}^{1} {\sqrt{2 + \sqrt{3}}}^{1}}{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}$

Paso 3.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}^{1 + 1}}{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}$

Paso 3.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}^{2}}{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}$

Paso 3.5

Reescribe ${\sqrt{2 + \sqrt{3}}}^{2}$ como $2 + \sqrt{3}$ .

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Paso 3.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2 + \sqrt{3}}$ como ${(2 + \sqrt{3})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{({(2 + \sqrt{3})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}$

Paso 3.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(2 + \sqrt{3})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}$

Paso 3.5.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{{(2 + \sqrt{3})}^{\frac{2}{2}}}{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}$

Paso 3.5.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.5.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{{(2 + \sqrt{3})}^{\frac{2}{2}}}{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}$

Paso 3.5.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{{(2 + \sqrt{3})}^{1}}{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}$

Paso 3.5.5

Simplifica.

$\frac{2 + \sqrt{3}}{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}$

Paso 4

Multiplica para racionalizar el numerador.

$\frac{(2 + \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3})}{\sqrt{2 + \sqrt{3}} (2 - \sqrt{3})}$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Expande el numerador con el método PEIU (primero, exterior, interior, último).

$\frac{4 - 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{2}}{\sqrt{2 + \sqrt{3}} (2 - \sqrt{3})}$

Paso 5.2

Simplifica.

$\frac{1}{\sqrt{2 + \sqrt{3}} (2 - \sqrt{3})}$

Paso 6

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{\sqrt{2 + \sqrt{3}} \cdot 2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}} (- \sqrt{3})}$

Paso 7

Mueve $2$ a la izquierda de $\sqrt{2 + \sqrt{3}}$ .

$\frac{1}{2 \cdot \sqrt{2 + \sqrt{3}} + \sqrt{2 + \sqrt{3}} (- \sqrt{3})}$

Paso 8

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{1}{2 \sqrt{2 + \sqrt{3}} - \sqrt{(2 + \sqrt{3}) \cdot 3}}$

Paso 9

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{1}{2 \sqrt{2 + \sqrt{3}} - \sqrt{(2 + \sqrt{3}) \cdot 3}}$

Forma decimal:

$1.93185165 \dots$