Álgebra Ejemplos

$r (x) = - \frac{3}{2} {(x + 10)}^{2}$

Paso 1

Reescribe ${(x + 10)}^{2}$ como $(x + 10) (x + 10)$ .

$r (x) = - \frac{3}{2} \cdot ((x + 10) (x + 10))$

Paso 2

Expande $(x + 10) (x + 10)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$r (x) = - \frac{3}{2} \cdot (x (x + 10) + 10 (x + 10))$

Paso 2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$r (x) = - \frac{3}{2} \cdot (x \cdot x + x \cdot 10 + 10 (x + 10))$

Paso 2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$r (x) = - \frac{3}{2} \cdot (x \cdot x + x \cdot 10 + 10 x + 10 \cdot 10)$

Paso 3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$r (x) = - \frac{3}{2} \cdot (x^{2} + x \cdot 10 + 10 x + 10 \cdot 10)$

Paso 3.1.2

Mueve $10$ a la izquierda de $x$ .

$r (x) = - \frac{3}{2} \cdot (x^{2} + 10 \cdot x + 10 x + 10 \cdot 10)$

Paso 3.1.3

Multiplica $10$ por $10$ .

$r (x) = - \frac{3}{2} \cdot (x^{2} + 10 x + 10 x + 100)$

Paso 3.2

Suma $10 x$ y $10 x$ .

$r (x) = - \frac{3}{2} \cdot (x^{2} + 20 x + 100)$

Paso 4

Aplica la propiedad distributiva.

$r (x) = - \frac{3}{2} x^{2} - \frac{3}{2} \cdot (20 x) - \frac{3}{2} \cdot 100$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Combina $x^{2}$ y $\frac{3}{2}$ .

$r (x) = - \frac{x^{2} \cdot 3}{2} - \frac{3}{2} \cdot (20 x) - \frac{3}{2} \cdot 100$

Paso 5.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{3}{2}$ al numerador.

$r (x) = - \frac{x^{2} \cdot 3}{2} + \frac{- 3}{2} \cdot (20 x) - \frac{3}{2} \cdot 100$

Paso 5.2.2

Factoriza $2$ de $20 x$ .

$r (x) = - \frac{x^{2} \cdot 3}{2} + \frac{- 3}{2} \cdot (2 (10 x)) - \frac{3}{2} \cdot 100$

Paso 5.2.3

Cancela el factor común.

$r (x) = - \frac{x^{2} \cdot 3}{2} + \frac{- 3}{2} \cdot (2 (10 x)) - \frac{3}{2} \cdot 100$

Paso 5.2.4

Reescribe la expresión.

$r (x) = - \frac{x^{2} \cdot 3}{2} - 3 (10 x) - \frac{3}{2} \cdot 100$

Paso 5.3

Multiplica $10$ por $- 3$ .

$r (x) = - \frac{x^{2} \cdot 3}{2} - 30 x - \frac{3}{2} \cdot 100$

Paso 5.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.4.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{3}{2}$ al numerador.

$r (x) = - \frac{x^{2} \cdot 3}{2} - 30 x + \frac{- 3}{2} \cdot 100$

Paso 5.4.2

Factoriza $2$ de $100$ .

$r (x) = - \frac{x^{2} \cdot 3}{2} - 30 x + \frac{- 3}{2} \cdot (2 (50))$

Paso 5.4.3

Cancela el factor común.

$r (x) = - \frac{x^{2} \cdot 3}{2} - 30 x + \frac{- 3}{2} \cdot (2 \cdot 50)$

Paso 5.4.4

Reescribe la expresión.

$r (x) = - \frac{x^{2} \cdot 3}{2} - 30 x - 3 \cdot 50$

Paso 5.5

Multiplica $- 3$ por $50$ .

$r (x) = - \frac{x^{2} \cdot 3}{2} - 30 x - 150$

Paso 6

Mueve $3$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$r (x) = - \frac{3 x^{2}}{2} - 30 x - 150$

Paso 7

El máximo de una función cuadrática se produce en $x = - \frac{b}{2 a}$ . Si $a$ es negativa, el valor máximo de la función es $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{max}$ $x = a x^{2} + b x + c$ ocurre en $x = - \frac{b}{2 a}$

Paso 8

Obtén el valor de $x = - \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 8.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ .

$x = - \frac{- 30}{2 (- 1.5)}$

Paso 8.2

Elimina los paréntesis.

$x = - \frac{- 30}{2 (- 1.5)}$

Paso 8.3

Simplifica $- \frac{- 30}{2 (- 1.5)}$ .

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Paso 8.3.1

Cancela el factor común de $- 30$ y $2$ .

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Paso 8.3.1.1

Factoriza $2$ de $- 30$ .

$x = - \frac{2 \cdot - 15}{2 \cdot - 1.5}$

Paso 8.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.3.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot - 1.5$ .

$x = - \frac{2 \cdot - 15}{2 (- 1.5)}$

Paso 8.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$x = - \frac{2 \cdot - 15}{2 \cdot - 1.5}$

Paso 8.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$x = - \frac{- 15}{- 1.5}$

Paso 8.3.2

Simplifica la expresión.

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Paso 8.3.2.1

Divide $- 15$ por $- 1.5$ .

$x = - 1 \cdot 10$

Paso 8.3.2.2

Multiplica $- 1$ por $10$ .

$x = - 10$

Paso 9

Evalúa $f (- 10)$ .

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Paso 9.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 10$ en la expresión.

$r (- 10) = - \frac{3 {(- 10)}^{2}}{2} - 30 \cdot - 10 - 150$

Paso 9.2

Simplifica el resultado.

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Paso 9.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 9.2.1.1

Eleva $- 10$ a la potencia de $2$ .

$r (- 10) = - \frac{3 \cdot 100}{2} - 30 \cdot - 10 - 150$

Paso 9.2.1.2

Multiplica $3$ por $100$ .

$r (- 10) = - \frac{300}{2} - 30 \cdot - 10 - 150$

Paso 9.2.1.3

Divide $300$ por $2$ .

$r (- 10) = - 1 \cdot 150 - 30 \cdot - 10 - 150$

Paso 9.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $150$ .

$r (- 10) = - 150 - 30 \cdot - 10 - 150$

Paso 9.2.1.5

Multiplica $- 30$ por $- 10$ .

$r (- 10) = - 150 + 300 - 150$

Paso 9.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 9.2.2.1

Suma $- 150$ y $300$ .

$r (- 10) = 150 - 150$

Paso 9.2.2.2

Resta $150$ de $150$ .

$r (- 10) = 0$

Paso 9.2.3

La respuesta final es $0$ .

$0$

Paso 10

Usa los valores $x$ y $y$ para obtener dónde ocurre el máximo.

$(- 10, 0)$

Paso 11