Álgebra Ejemplos

${(3 x - 2)}^{2} = 84 y - 112$

Paso 1

Aísla $y$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.1

Reescribe la ecuación como $84 y - 112 = {(3 x - 2)}^{2}$ .

$84 y - 112 = {(3 x - 2)}^{2}$

Paso 1.2

Suma $112$ a ambos lados de la ecuación.

$84 y = {(3 x - 2)}^{2} + 112$

Paso 1.3

Divide cada término en $84 y = {(3 x - 2)}^{2} + 112$ por $84$ y simplifica.

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Paso 1.3.1

Divide cada término en $84 y = {(3 x - 2)}^{2} + 112$ por $84$ .

$\frac{84 y}{84} = \frac{{(3 x - 2)}^{2}}{84} + \frac{112}{84}$

Paso 1.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.3.2.1

Cancela el factor común de $84$ .

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Paso 1.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{84 y}{84} = \frac{{(3 x - 2)}^{2}}{84} + \frac{112}{84}$

Paso 1.3.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{{(3 x - 2)}^{2}}{84} + \frac{112}{84}$

Paso 1.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.3.1

Cancela el factor común de $112$ y $84$ .

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Paso 1.3.3.1.1

Factoriza $28$ de $112$ .

$y = \frac{{(3 x - 2)}^{2}}{84} + \frac{28 (4)}{84}$

Paso 1.3.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.3.3.1.2.1

Factoriza $28$ de $84$ .

$y = \frac{{(3 x - 2)}^{2}}{84} + \frac{28 \cdot 4}{28 \cdot 3}$

Paso 1.3.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{{(3 x - 2)}^{2}}{84} + \frac{28 \cdot 4}{28 \cdot 3}$

Paso 1.3.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{{(3 x - 2)}^{2}}{84} + \frac{4}{3}$

Paso 1.4

Reordena los términos.

$y = \frac{1}{84} \cdot {(3 x - 2)}^{2} + \frac{4}{3}$

Paso 2

Completa el cuadrado de $\frac{1}{84} \cdot {(3 x - 2)}^{2} + \frac{4}{3}$ .

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Paso 2.1

Simplifica la expresión.

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Paso 2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1.1

Reescribe ${(3 x - 2)}^{2}$ como $(3 x - 2) (3 x - 2)$ .

$\frac{1}{84} \cdot ((3 x - 2) (3 x - 2)) + \frac{4}{3}$

Paso 2.1.1.2

Expande $(3 x - 2) (3 x - 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.1.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{84} \cdot (3 x (3 x - 2) - 2 (3 x - 2)) + \frac{4}{3}$

Paso 2.1.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{84} \cdot (3 x (3 x) + 3 x \cdot - 2 - 2 (3 x - 2)) + \frac{4}{3}$

Paso 2.1.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{84} \cdot (3 x (3 x) + 3 x \cdot - 2 - 2 (3 x) - 2 \cdot - 2) + \frac{4}{3}$

Paso 2.1.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.1.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1.3.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{1}{84} \cdot (3 \cdot 3 x \cdot x + 3 x \cdot - 2 - 2 (3 x) - 2 \cdot - 2) + \frac{4}{3}$

Paso 2.1.1.3.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 2.1.1.3.1.2.1

Mueve $x$ .

$\frac{1}{84} \cdot (3 \cdot 3 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 2 - 2 (3 x) - 2 \cdot - 2) + \frac{4}{3}$

Paso 2.1.1.3.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{1}{84} \cdot (3 \cdot 3 x^{2} + 3 x \cdot - 2 - 2 (3 x) - 2 \cdot - 2) + \frac{4}{3}$

Paso 2.1.1.3.1.3

Multiplica $3$ por $3$ .

$\frac{1}{84} \cdot (9 x^{2} + 3 x \cdot - 2 - 2 (3 x) - 2 \cdot - 2) + \frac{4}{3}$

Paso 2.1.1.3.1.4

Multiplica $- 2$ por $3$ .

$\frac{1}{84} \cdot (9 x^{2} - 6 x - 2 (3 x) - 2 \cdot - 2) + \frac{4}{3}$

Paso 2.1.1.3.1.5

Multiplica $3$ por $- 2$ .

$\frac{1}{84} \cdot (9 x^{2} - 6 x - 6 x - 2 \cdot - 2) + \frac{4}{3}$

Paso 2.1.1.3.1.6

Multiplica $- 2$ por $- 2$ .

$\frac{1}{84} \cdot (9 x^{2} - 6 x - 6 x + 4) + \frac{4}{3}$

Paso 2.1.1.3.2

Resta $6 x$ de $- 6 x$ .

$\frac{1}{84} \cdot (9 x^{2} - 12 x + 4) + \frac{4}{3}$

Paso 2.1.1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{84} (9 x^{2}) + \frac{1}{84} (- 12 x) + \frac{1}{84} \cdot 4 + \frac{4}{3}$

Paso 2.1.1.5

Simplifica.

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Paso 2.1.1.5.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.1.1.5.1.1

Factoriza $3$ de $84$ .

$\frac{1}{3 (28)} (9 x^{2}) + \frac{1}{84} (- 12 x) + \frac{1}{84} \cdot 4 + \frac{4}{3}$

Paso 2.1.1.5.1.2

Factoriza $3$ de $9 x^{2}$ .

$\frac{1}{3 (28)} (3 (3 x^{2})) + \frac{1}{84} (- 12 x) + \frac{1}{84} \cdot 4 + \frac{4}{3}$

Paso 2.1.1.5.1.3

Cancela el factor común.

$\frac{1}{3 \cdot 28} (3 (3 x^{2})) + \frac{1}{84} (- 12 x) + \frac{1}{84} \cdot 4 + \frac{4}{3}$

Paso 2.1.1.5.1.4

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{28} (3 x^{2}) + \frac{1}{84} (- 12 x) + \frac{1}{84} \cdot 4 + \frac{4}{3}$

Paso 2.1.1.5.2

Combina $3$ y $\frac{1}{28}$ .

$\frac{3}{28} x^{2} + \frac{1}{84} (- 12 x) + \frac{1}{84} \cdot 4 + \frac{4}{3}$

Paso 2.1.1.5.3

Combina $\frac{3}{28}$ y $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{28} + \frac{1}{84} (- 12 x) + \frac{1}{84} \cdot 4 + \frac{4}{3}$

Paso 2.1.1.5.4

Cancela el factor común de $12$ .

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Paso 2.1.1.5.4.1

Factoriza $12$ de $84$ .

$\frac{3 x^{2}}{28} + \frac{1}{12 (7)} (- 12 x) + \frac{1}{84} \cdot 4 + \frac{4}{3}$

Paso 2.1.1.5.4.2

Factoriza $12$ de $- 12 x$ .

$\frac{3 x^{2}}{28} + \frac{1}{12 (7)} (12 (- x)) + \frac{1}{84} \cdot 4 + \frac{4}{3}$

Paso 2.1.1.5.4.3

Cancela el factor común.

$\frac{3 x^{2}}{28} + \frac{1}{12 \cdot 7} (12 (- x)) + \frac{1}{84} \cdot 4 + \frac{4}{3}$

Paso 2.1.1.5.4.4

Reescribe la expresión.

$\frac{3 x^{2}}{28} + \frac{1}{7} (- x) + \frac{1}{84} \cdot 4 + \frac{4}{3}$

Paso 2.1.1.5.5

Combina $\frac{1}{7}$ y $x$ .

$\frac{3 x^{2}}{28} - \frac{x}{7} + \frac{1}{84} \cdot 4 + \frac{4}{3}$

Paso 2.1.1.5.6

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 2.1.1.5.6.1

Factoriza $4$ de $84$ .

$\frac{3 x^{2}}{28} - \frac{x}{7} + \frac{1}{4 (21)} \cdot 4 + \frac{4}{3}$

Paso 2.1.1.5.6.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 x^{2}}{28} - \frac{x}{7} + \frac{1}{4 \cdot 21} \cdot 4 + \frac{4}{3}$

Paso 2.1.1.5.6.3

Reescribe la expresión.

$\frac{3 x^{2}}{28} - \frac{x}{7} + \frac{1}{21} + \frac{4}{3}$

Paso 2.1.2

Para escribir $\frac{4}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{7}{7}$ .

$\frac{3 x^{2}}{28} - \frac{x}{7} + \frac{1}{21} + \frac{4}{3} \cdot \frac{7}{7}$

Paso 2.1.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $21$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 2.1.3.1

Multiplica $\frac{4}{3}$ por $\frac{7}{7}$ .

$\frac{3 x^{2}}{28} - \frac{x}{7} + \frac{1}{21} + \frac{4 \cdot 7}{3 \cdot 7}$

Paso 2.1.3.2

Multiplica $3$ por $7$ .

$\frac{3 x^{2}}{28} - \frac{x}{7} + \frac{1}{21} + \frac{4 \cdot 7}{21}$

Paso 2.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{3 x^{2}}{28} - \frac{x}{7} + \frac{1 + 4 \cdot 7}{21}$

Paso 2.1.5

Simplifica el numerador.

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Paso 2.1.5.1

Multiplica $4$ por $7$ .

$\frac{3 x^{2}}{28} - \frac{x}{7} + \frac{1 + 28}{21}$

Paso 2.1.5.2

Suma $1$ y $28$ .

$\frac{3 x^{2}}{28} - \frac{x}{7} + \frac{29}{21}$

Paso 2.2

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = \frac{3}{28}$

$b = - \frac{1}{7}$

$c = \frac{29}{21}$

Paso 2.3

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 2.4

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 2.4.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- \frac{1}{7}}{2 (\frac{3}{28})}$

Paso 2.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.4.2.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$d = - \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{2 (\frac{3}{28})}$

Paso 2.4.2.2

Combina $2$ y $\frac{3}{28}$ .

$d = - \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 3}{28}}$

Paso 2.4.2.3

Multiplica $2$ por $3$ .

$d = - \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{\frac{6}{28}}$

Paso 2.4.2.4

Cancela el factor común de $6$ y $28$ .

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Paso 2.4.2.4.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$d = - \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{\frac{2 (3)}{28}}$

Paso 2.4.2.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.4.2.4.2.1

Factoriza $2$ de $28$ .

$d = - \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 14}}$

Paso 2.4.2.4.2.2

Cancela el factor común.

$d = - \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 14}}$

Paso 2.4.2.4.2.3

Reescribe la expresión.

$d = - \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{\frac{3}{14}}$

Paso 2.4.2.5

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$d = - \frac{1}{7} (1 (\frac{14}{3}))$

Paso 2.4.2.6

Multiplica $\frac{14}{3}$ por $1$ .

$d = - \frac{1}{7} \cdot \frac{14}{3}$

Paso 2.4.2.7

Cancela el factor común de $7$ .

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Paso 2.4.2.7.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{7}$ al numerador.

$d = \frac{- 1}{7} \cdot \frac{14}{3}$

Paso 2.4.2.7.2

Factoriza $7$ de $14$ .

$d = \frac{- 1}{7} \cdot \frac{7 (2)}{3}$

Paso 2.4.2.7.3

Cancela el factor común.

$d = \frac{- 1}{7} \cdot \frac{7 \cdot 2}{3}$

Paso 2.4.2.7.4

Reescribe la expresión.

$d = - \frac{2}{3}$

Paso 2.5

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 2.5.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = \frac{29}{21} - \frac{{(- \frac{1}{7})}^{2}}{4 (\frac{3}{28})}$

Paso 2.5.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.5.2.1.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.5.2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{1}{7}$ .

$e = \frac{29}{21} - \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{1}{7})}^{2}}{4 (\frac{3}{28})}$

Paso 2.5.2.1.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$e = \frac{29}{21} - \frac{1 {(\frac{1}{7})}^{2}}{4 (\frac{3}{28})}$

Paso 2.5.2.1.1.3

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{7}$ .

$e = \frac{29}{21} - \frac{1 \frac{1^{2}}{7^{2}}}{4 (\frac{3}{28})}$

Paso 2.5.2.1.1.4

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$e = \frac{29}{21} - \frac{1 \frac{1}{7^{2}}}{4 (\frac{3}{28})}$

Paso 2.5.2.1.1.5

Eleva $7$ a la potencia de $2$ .

$e = \frac{29}{21} - \frac{1 (\frac{1}{49})}{4 (\frac{3}{28})}$

Paso 2.5.2.1.1.6

Multiplica $\frac{1}{49}$ por $1$ .

$e = \frac{29}{21} - \frac{\frac{1}{49}}{4 (\frac{3}{28})}$

Paso 2.5.2.1.2

Combina $4$ y $\frac{3}{28}$ .

$e = \frac{29}{21} - \frac{\frac{1}{49}}{\frac{4 \cdot 3}{28}}$

Paso 2.5.2.1.3

Multiplica $4$ por $3$ .

$e = \frac{29}{21} - \frac{\frac{1}{49}}{\frac{12}{28}}$

Paso 2.5.2.1.4

Cancela el factor común de $12$ y $28$ .

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Paso 2.5.2.1.4.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$e = \frac{29}{21} - \frac{\frac{1}{49}}{\frac{4 (3)}{28}}$

Paso 2.5.2.1.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.5.2.1.4.2.1

Factoriza $4$ de $28$ .

$e = \frac{29}{21} - \frac{\frac{1}{49}}{\frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 7}}$

Paso 2.5.2.1.4.2.2

Cancela el factor común.

$e = \frac{29}{21} - \frac{\frac{1}{49}}{\frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 7}}$

Paso 2.5.2.1.4.2.3

Reescribe la expresión.

$e = \frac{29}{21} - \frac{\frac{1}{49}}{\frac{3}{7}}$

Paso 2.5.2.1.5

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$e = \frac{29}{21} - (\frac{1}{49} \cdot \frac{7}{3})$

Paso 2.5.2.1.6

Cancela el factor común de $7$ .

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Paso 2.5.2.1.6.1

Factoriza $7$ de $49$ .

$e = \frac{29}{21} - (\frac{1}{7 (7)} \cdot \frac{7}{3})$

Paso 2.5.2.1.6.2

Cancela el factor común.

$e = \frac{29}{21} - (\frac{1}{7 \cdot 7} \cdot \frac{7}{3})$

Paso 2.5.2.1.6.3

Reescribe la expresión.

$e = \frac{29}{21} - (\frac{1}{7} \cdot \frac{1}{3})$

Paso 2.5.2.1.7

Multiplica $\frac{1}{7}$ por $\frac{1}{3}$ .

$e = \frac{29}{21} - \frac{1}{7 \cdot 3}$

Paso 2.5.2.1.8

Multiplica $7$ por $3$ .

$e = \frac{29}{21} - \frac{1}{21}$

Paso 2.5.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$e = \frac{29 - 1}{21}$

Paso 2.5.2.3

Resta $1$ de $29$ .

$e = \frac{28}{21}$

Paso 2.5.2.4

Cancela el factor común de $28$ y $21$ .

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Paso 2.5.2.4.1

Factoriza $7$ de $28$ .

$e = \frac{7 (4)}{21}$

Paso 2.5.2.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.5.2.4.2.1

Factoriza $7$ de $21$ .

$e = \frac{7 \cdot 4}{7 \cdot 3}$

Paso 2.5.2.4.2.2

Cancela el factor común.

$e = \frac{7 \cdot 4}{7 \cdot 3}$

Paso 2.5.2.4.2.3

Reescribe la expresión.

$e = \frac{4}{3}$

Paso 2.6

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $\frac{3}{28} {(x - \frac{2}{3})}^{2} + \frac{4}{3}$ .

$\frac{3}{28} {(x - \frac{2}{3})}^{2} + \frac{4}{3}$

Paso 3

Establece $y$ igual al nuevo lado derecho.

$y = \frac{3}{28} \cdot {(x - \frac{2}{3})}^{2} + \frac{4}{3}$