Álgebra Ejemplos

$(5, 3)$ , $(4, - 7)$

Paso 1

El diámetro de un círculo es cualquier segmento de recta que pase por el centro del círculo y cuyos extremos estén en la circunferencia del círculo. Los extremos dados del diámetro son $(5, 3)$ y $(4, - 7)$ . El punto central del círculo es el centro del diámetro, que es el punto medio entre $(5, 3)$ y $(4, - 7)$ . En este caso, el punto medio es $(\frac{9}{2}, - 2)$ .

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Paso 1.1

Usa la fórmula del punto medio para obtener el punto medio del segmento.

$(\frac{x_{1} + x_{2}}{2}, \frac{y_{1} + y_{2}}{2})$

Paso 1.2

Sustituye los valores de $(x_{1}, y_{1})$ y $(x_{2}, y_{2})$ .

$(\frac{5 + 4}{2}, \frac{3 - 7}{2})$

Paso 1.3

Suma $5$ y $4$ .

$(\frac{9}{2}, \frac{3 - 7}{2})$

Paso 1.4

Resta $7$ de $3$ .

$(\frac{9}{2}, \frac{- 4}{2})$

Paso 1.5

Divide $- 4$ por $2$ .

$(\frac{9}{2}, - 2)$

Paso 2

Obtén el radio $r$ en el círculo. El radio es cualquier segmento desde el centro del círculo hasta cualquier punto en su circunferencia. En este caso, $r$ es la distancia entre $(\frac{9}{2}, - 2)$ y $(5, 3)$ .

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Paso 2.1

Usa la fórmula de distancia para determinar la distancia entre los dos puntos.

$Distancia = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

Paso 2.2

Sustituye los valores reales de los puntos en la fórmula de distancia.

$r = \sqrt{{(5 - \frac{9}{2})}^{2} + {(3 - (- 2))}^{2}}$

Paso 2.3

Simplifica.

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Paso 2.3.1

Para escribir $5$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$r = \sqrt{{(5 \cdot \frac{2}{2} - \frac{9}{2})}^{2} + {(3 - (- 2))}^{2}}$

Paso 2.3.2

Combina $5$ y $\frac{2}{2}$ .

$r = \sqrt{{(\frac{5 \cdot 2}{2} - \frac{9}{2})}^{2} + {(3 - (- 2))}^{2}}$

Paso 2.3.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$r = \sqrt{{(\frac{5 \cdot 2 - 9}{2})}^{2} + {(3 - (- 2))}^{2}}$

Paso 2.3.4

Simplifica el numerador.

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Paso 2.3.4.1

Multiplica $5$ por $2$ .

$r = \sqrt{{(\frac{10 - 9}{2})}^{2} + {(3 - (- 2))}^{2}}$

Paso 2.3.4.2

Resta $9$ de $10$ .

$r = \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} + {(3 - (- 2))}^{2}}$

Paso 2.3.5

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$r = \sqrt{\frac{1^{2}}{2^{2}} + {(3 - (- 2))}^{2}}$

Paso 2.3.6

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$r = \sqrt{\frac{1}{2^{2}} + {(3 - (- 2))}^{2}}$

Paso 2.3.7

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$r = \sqrt{\frac{1}{4} + {(3 - (- 2))}^{2}}$

Paso 2.3.8

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$r = \sqrt{\frac{1}{4} + {(3 + 2)}^{2}}$

Paso 2.3.9

Suma $3$ y $2$ .

$r = \sqrt{\frac{1}{4} + 5^{2}}$

Paso 2.3.10

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$r = \sqrt{\frac{1}{4} + 25}$

Paso 2.3.11

Para escribir $25$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$r = \sqrt{\frac{1}{4} + 25 \cdot \frac{4}{4}}$

Paso 2.3.12

Combina $25$ y $\frac{4}{4}$ .

$r = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{25 \cdot 4}{4}}$

Paso 2.3.13

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$r = \sqrt{\frac{1 + 25 \cdot 4}{4}}$

Paso 2.3.14

Simplifica el numerador.

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Paso 2.3.14.1

Multiplica $25$ por $4$ .

$r = \sqrt{\frac{1 + 100}{4}}$

Paso 2.3.14.2

Suma $1$ y $100$ .

$r = \sqrt{\frac{101}{4}}$

Paso 2.3.15

Reescribe $\sqrt{\frac{101}{4}}$ como $\frac{\sqrt{101}}{\sqrt{4}}$ .

$r = \frac{\sqrt{101}}{\sqrt{4}}$

Paso 2.3.16

Simplifica el denominador.

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Paso 2.3.16.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$r = \frac{\sqrt{101}}{\sqrt{2^{2}}}$

Paso 2.3.16.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$r = \frac{\sqrt{101}}{2}$

Paso 3

${(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = r^{2}$ es la forma de la ecuación para un círculo con $r$ radio y $(h, k)$ como punto central. En este caso, $r = \frac{\sqrt{101}}{2}$ y el punto central es $(\frac{9}{2}, - 2)$ . La ecuación del círculo es ${(x - (\frac{9}{2}))}^{2} + {(y - (- 2))}^{2} = {(\frac{\sqrt{101}}{2})}^{2}$ .

${(x - (\frac{9}{2}))}^{2} + {(y - (- 2))}^{2} = {(\frac{\sqrt{101}}{2})}^{2}$

Paso 4

La ecuación de un círculo es ${(x - \frac{9}{2})}^{2} + {(y + 2)}^{2} = \frac{101}{4}$ .

${(x - \frac{9}{2})}^{2} + {(y + 2)}^{2} = \frac{101}{4}$

Paso 5