Álgebra Ejemplos

${(\sqrt{2} x + \frac{1}{2} y)}^{4}$

Paso 1

Combina $\frac{1}{2}$ y $y$ .

${(\sqrt{2} x + \frac{y}{2})}^{4}$

Paso 2

Usa el teorema del binomio.

${(\sqrt{2} x)}^{4} + 4 {(\sqrt{2} x)}^{3} \frac{y}{2} + 6 {(\sqrt{2} x)}^{2} {(\frac{y}{2})}^{2} + 4 (\sqrt{2} x) {(\frac{y}{2})}^{3} + {(\frac{y}{2})}^{4}$

Paso 3

Simplifica cada término.

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Paso 3.1

Aplica la regla del producto a $\sqrt{2} x$ .

${\sqrt{2}}^{4} x^{4} + 4 {(\sqrt{2} x)}^{3} \frac{y}{2} + 6 {(\sqrt{2} x)}^{2} {(\frac{y}{2})}^{2} + 4 (\sqrt{2} x) {(\frac{y}{2})}^{3} + {(\frac{y}{2})}^{4}$

Paso 3.2

Reescribe ${\sqrt{2}}^{4}$ como $2^{2}$ .

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Paso 3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

${(2^{\frac{1}{2}})}^{4} x^{4} + 4 {(\sqrt{2} x)}^{3} \frac{y}{2} + 6 {(\sqrt{2} x)}^{2} {(\frac{y}{2})}^{2} + 4 (\sqrt{2} x) {(\frac{y}{2})}^{3} + {(\frac{y}{2})}^{4}$

Paso 3.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{\frac{1}{2} \cdot 4} x^{4} + 4 {(\sqrt{2} x)}^{3} \frac{y}{2} + 6 {(\sqrt{2} x)}^{2} {(\frac{y}{2})}^{2} + 4 (\sqrt{2} x) {(\frac{y}{2})}^{3} + {(\frac{y}{2})}^{4}$

Paso 3.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $4$ .

$2^{\frac{4}{2}} x^{4} + 4 {(\sqrt{2} x)}^{3} \frac{y}{2} + 6 {(\sqrt{2} x)}^{2} {(\frac{y}{2})}^{2} + 4 (\sqrt{2} x) {(\frac{y}{2})}^{3} + {(\frac{y}{2})}^{4}$

Paso 3.2.4

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

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Paso 3.2.4.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$2^{\frac{2 \cdot 2}{2}} x^{4} + 4 {(\sqrt{2} x)}^{3} \frac{y}{2} + 6 {(\sqrt{2} x)}^{2} {(\frac{y}{2})}^{2} + 4 (\sqrt{2} x) {(\frac{y}{2})}^{3} + {(\frac{y}{2})}^{4}$

Paso 3.2.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.2.4.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$2^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} x^{4} + 4 {(\sqrt{2} x)}^{3} \frac{y}{2} + 6 {(\sqrt{2} x)}^{2} {(\frac{y}{2})}^{2} + 4 (\sqrt{2} x) {(\frac{y}{2})}^{3} + {(\frac{y}{2})}^{4}$

Paso 3.2.4.2.2

Cancela el factor común.

$2^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} x^{4} + 4 {(\sqrt{2} x)}^{3} \frac{y}{2} + 6 {(\sqrt{2} x)}^{2} {(\frac{y}{2})}^{2} + 4 (\sqrt{2} x) {(\frac{y}{2})}^{3} + {(\frac{y}{2})}^{4}$

Paso 3.2.4.2.3

Reescribe la expresión.

$2^{\frac{2}{1}} x^{4} + 4 {(\sqrt{2} x)}^{3} \frac{y}{2} + 6 {(\sqrt{2} x)}^{2} {(\frac{y}{2})}^{2} + 4 (\sqrt{2} x) {(\frac{y}{2})}^{3} + {(\frac{y}{2})}^{4}$

Paso 3.2.4.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$2^{2} x^{4} + 4 {(\sqrt{2} x)}^{3} \frac{y}{2} + 6 {(\sqrt{2} x)}^{2} {(\frac{y}{2})}^{2} + 4 (\sqrt{2} x) {(\frac{y}{2})}^{3} + {(\frac{y}{2})}^{4}$

Paso 3.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$4 x^{4} + 4 {(\sqrt{2} x)}^{3} \frac{y}{2} + 6 {(\sqrt{2} x)}^{2} {(\frac{y}{2})}^{2} + 4 (\sqrt{2} x) {(\frac{y}{2})}^{3} + {(\frac{y}{2})}^{4}$

Paso 3.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.4.1

Factoriza $2$ de $4 {(\sqrt{2} x)}^{3}$ .

$4 x^{4} + 2 (2 {(\sqrt{2} x)}^{3}) \frac{y}{2} + 6 {(\sqrt{2} x)}^{2} {(\frac{y}{2})}^{2} + 4 (\sqrt{2} x) {(\frac{y}{2})}^{3} + {(\frac{y}{2})}^{4}$

Paso 3.4.2

Cancela el factor común.

$4 x^{4} + 2 (2 {(\sqrt{2} x)}^{3}) \frac{y}{2} + 6 {(\sqrt{2} x)}^{2} {(\frac{y}{2})}^{2} + 4 (\sqrt{2} x) {(\frac{y}{2})}^{3} + {(\frac{y}{2})}^{4}$

Paso 3.4.3

Reescribe la expresión.

$4 x^{4} + 2 {(\sqrt{2} x)}^{3} y + 6 {(\sqrt{2} x)}^{2} {(\frac{y}{2})}^{2} + 4 (\sqrt{2} x) {(\frac{y}{2})}^{3} + {(\frac{y}{2})}^{4}$

Paso 3.5

Aplica la regla del producto a $\sqrt{2} x$ .

$4 x^{4} + 2 ({\sqrt{2}}^{3} x^{3}) y + 6 {(\sqrt{2} x)}^{2} {(\frac{y}{2})}^{2} + 4 (\sqrt{2} x) {(\frac{y}{2})}^{3} + {(\frac{y}{2})}^{4}$

Paso 3.6

Reescribe ${\sqrt{2}}^{3}$ como $\sqrt{2^{3}}$ .

$4 x^{4} + 2 (\sqrt{2^{3}} x^{3}) y + 6 {(\sqrt{2} x)}^{2} {(\frac{y}{2})}^{2} + 4 (\sqrt{2} x) {(\frac{y}{2})}^{3} + {(\frac{y}{2})}^{4}$

Paso 3.7

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$4 x^{4} + 2 (\sqrt{8} x^{3}) y + 6 {(\sqrt{2} x)}^{2} {(\frac{y}{2})}^{2} + 4 (\sqrt{2} x) {(\frac{y}{2})}^{3} + {(\frac{y}{2})}^{4}$

Paso 3.8

Reescribe $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

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Paso 3.8.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$4 x^{4} + 2 (\sqrt{4 (2)} x^{3}) y + 6 {(\sqrt{2} x)}^{2} {(\frac{y}{2})}^{2} + 4 (\sqrt{2} x) {(\frac{y}{2})}^{3} + {(\frac{y}{2})}^{4}$

Paso 3.8.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$4 x^{4} + 2 (\sqrt{2^{2} \cdot 2} x^{3}) y + 6 {(\sqrt{2} x)}^{2} {(\frac{y}{2})}^{2} + 4 (\sqrt{2} x) {(\frac{y}{2})}^{3} + {(\frac{y}{2})}^{4}$

Paso 3.9

Retira los términos de abajo del radical.

$4 x^{4} + 2 (2 \sqrt{2} x^{3}) y + 6 {(\sqrt{2} x)}^{2} {(\frac{y}{2})}^{2} + 4 (\sqrt{2} x) {(\frac{y}{2})}^{3} + {(\frac{y}{2})}^{4}$

Paso 3.10

Multiplica $2$ por $2$ .

$4 x^{4} + 4 (\sqrt{2} x^{3}) y + 6 {(\sqrt{2} x)}^{2} {(\frac{y}{2})}^{2} + 4 (\sqrt{2} x) {(\frac{y}{2})}^{3} + {(\frac{y}{2})}^{4}$

Paso 3.11

Aplica la regla del producto a $\sqrt{2} x$ .

$4 x^{4} + 4 \sqrt{2} x^{3} y + 6 ({\sqrt{2}}^{2} x^{2}) {(\frac{y}{2})}^{2} + 4 (\sqrt{2} x) {(\frac{y}{2})}^{3} + {(\frac{y}{2})}^{4}$

Paso 3.12

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 3.12.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$4 x^{4} + 4 \sqrt{2} x^{3} y + 6 ({(2^{\frac{1}{2}})}^{2} x^{2}) {(\frac{y}{2})}^{2} + 4 (\sqrt{2} x) {(\frac{y}{2})}^{3} + {(\frac{y}{2})}^{4}$

Paso 3.12.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 x^{4} + 4 \sqrt{2} x^{3} y + 6 (2^{\frac{1}{2} \cdot 2} x^{2}) {(\frac{y}{2})}^{2} + 4 (\sqrt{2} x) {(\frac{y}{2})}^{3} + {(\frac{y}{2})}^{4}$

Paso 3.12.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$4 x^{4} + 4 \sqrt{2} x^{3} y + 6 (2^{\frac{2}{2}} x^{2}) {(\frac{y}{2})}^{2} + 4 (\sqrt{2} x) {(\frac{y}{2})}^{3} + {(\frac{y}{2})}^{4}$

Paso 3.12.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.12.4.1

Cancela el factor común.

$4 x^{4} + 4 \sqrt{2} x^{3} y + 6 (2^{\frac{2}{2}} x^{2}) {(\frac{y}{2})}^{2} + 4 (\sqrt{2} x) {(\frac{y}{2})}^{3} + {(\frac{y}{2})}^{4}$

Paso 3.12.4.2

Reescribe la expresión.

$4 x^{4} + 4 \sqrt{2} x^{3} y + 6 (2^{1} x^{2}) {(\frac{y}{2})}^{2} + 4 (\sqrt{2} x) {(\frac{y}{2})}^{3} + {(\frac{y}{2})}^{4}$

Paso 3.12.5

Evalúa el exponente.

$4 x^{4} + 4 \sqrt{2} x^{3} y + 6 (2 x^{2}) {(\frac{y}{2})}^{2} + 4 (\sqrt{2} x) {(\frac{y}{2})}^{3} + {(\frac{y}{2})}^{4}$

Paso 3.13

Multiplica $2$ por $6$ .

$4 x^{4} + 4 \sqrt{2} x^{3} y + 12 x^{2} {(\frac{y}{2})}^{2} + 4 (\sqrt{2} x) {(\frac{y}{2})}^{3} + {(\frac{y}{2})}^{4}$

Paso 3.14

Aplica la regla del producto a $\frac{y}{2}$ .

$4 x^{4} + 4 \sqrt{2} x^{3} y + 12 x^{2} \frac{y^{2}}{2^{2}} + 4 (\sqrt{2} x) {(\frac{y}{2})}^{3} + {(\frac{y}{2})}^{4}$

Paso 3.15

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$4 x^{4} + 4 \sqrt{2} x^{3} y + 12 x^{2} \frac{y^{2}}{4} + 4 (\sqrt{2} x) {(\frac{y}{2})}^{3} + {(\frac{y}{2})}^{4}$

Paso 3.16

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 3.16.1

Factoriza $4$ de $12 x^{2}$ .

$4 x^{4} + 4 \sqrt{2} x^{3} y + 4 (3 x^{2}) \frac{y^{2}}{4} + 4 (\sqrt{2} x) {(\frac{y}{2})}^{3} + {(\frac{y}{2})}^{4}$

Paso 3.16.2

Cancela el factor común.

$4 x^{4} + 4 \sqrt{2} x^{3} y + 4 (3 x^{2}) \frac{y^{2}}{4} + 4 (\sqrt{2} x) {(\frac{y}{2})}^{3} + {(\frac{y}{2})}^{4}$

Paso 3.16.3

Reescribe la expresión.

$4 x^{4} + 4 \sqrt{2} x^{3} y + 3 x^{2} y^{2} + 4 (\sqrt{2} x) {(\frac{y}{2})}^{3} + {(\frac{y}{2})}^{4}$

Paso 3.17

Aplica la regla del producto a $\frac{y}{2}$ .

$4 x^{4} + 4 \sqrt{2} x^{3} y + 3 x^{2} y^{2} + 4 \sqrt{2} x \frac{y^{3}}{2^{3}} + {(\frac{y}{2})}^{4}$

Paso 3.18

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$4 x^{4} + 4 \sqrt{2} x^{3} y + 3 x^{2} y^{2} + 4 \sqrt{2} x \frac{y^{3}}{8} + {(\frac{y}{2})}^{4}$

Paso 3.19

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 3.19.1

Factoriza $4$ de $4 \sqrt{2} x$ .

$4 x^{4} + 4 \sqrt{2} x^{3} y + 3 x^{2} y^{2} + 4 (\sqrt{2} x) \frac{y^{3}}{8} + {(\frac{y}{2})}^{4}$

Paso 3.19.2

Factoriza $4$ de $8$ .

$4 x^{4} + 4 \sqrt{2} x^{3} y + 3 x^{2} y^{2} + 4 (\sqrt{2} x) \frac{y^{3}}{4 (2)} + {(\frac{y}{2})}^{4}$

Paso 3.19.3

Cancela el factor común.

$4 x^{4} + 4 \sqrt{2} x^{3} y + 3 x^{2} y^{2} + 4 (\sqrt{2} x) \frac{y^{3}}{4 \cdot 2} + {(\frac{y}{2})}^{4}$

Paso 3.19.4

Reescribe la expresión.

$4 x^{4} + 4 \sqrt{2} x^{3} y + 3 x^{2} y^{2} + \sqrt{2} x \frac{y^{3}}{2} + {(\frac{y}{2})}^{4}$

Paso 3.20

Combina $\sqrt{2}$ y $\frac{y^{3}}{2}$ .

$4 x^{4} + 4 \sqrt{2} x^{3} y + 3 x^{2} y^{2} + x \frac{\sqrt{2} y^{3}}{2} + {(\frac{y}{2})}^{4}$

Paso 3.21

Combina $x$ y $\frac{\sqrt{2} y^{3}}{2}$ .

$4 x^{4} + 4 \sqrt{2} x^{3} y + 3 x^{2} y^{2} + \frac{x (\sqrt{2} y^{3})}{2} + {(\frac{y}{2})}^{4}$

Paso 3.22

Aplica la regla del producto a $\frac{y}{2}$ .

$4 x^{4} + 4 \sqrt{2} x^{3} y + 3 x^{2} y^{2} + \frac{x \sqrt{2} y^{3}}{2} + \frac{y^{4}}{2^{4}}$

Paso 3.23

Eleva $2$ a la potencia de $4$ .

$4 x^{4} + 4 \sqrt{2} x^{3} y + 3 x^{2} y^{2} + \frac{x \sqrt{2} y^{3}}{2} + \frac{y^{4}}{16}$