Álgebra Ejemplos

$f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x}$

Paso 1

Escribe $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x}$ como una ecuación.

$y = {(\frac{1}{2})}^{x}$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = {(\frac{1}{2})}^{y}$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como ${(\frac{1}{2})}^{y} = x$ .

${(\frac{1}{2})}^{y} = x$

Paso 3.2

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln ({(\frac{1}{2})}^{y}) = \ln (x)$

Paso 3.3

Expande el lado izquierdo.

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Paso 3.3.1

Expande $\ln ({(\frac{1}{2})}^{y})$ ; para ello, mueve $y$ fuera del logaritmo.

$y \ln (\frac{1}{2}) = \ln (x)$

Paso 3.3.2

Reescribe $\ln (\frac{1}{2})$ como $\ln (1) - \ln (2)$ .

$y (\ln (1) - \ln (2)) = \ln (x)$

Paso 3.3.3

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$y (0 - \ln (2)) = \ln (x)$

Paso 3.3.4

Resta $\ln (2)$ de $0$ .

$y (- \ln (2)) = \ln (x)$

Paso 3.4

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.1

Reordena los factores en $y (- \ln (2))$ .

$- y \ln (2) = \ln (x)$

Paso 3.5

Divide cada término en $- y \ln (2) = \ln (x)$ por $- \ln (2)$ y simplifica.

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Paso 3.5.1

Divide cada término en $- y \ln (2) = \ln (x)$ por $- \ln (2)$ .

$\frac{- y \ln (2)}{- \ln (2)} = \frac{\ln (x)}{- \ln (2)}$

Paso 3.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{y \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (x)}{- \ln (2)}$

Paso 3.5.2.2

Cancela el factor común de $\ln (2)$ .

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Paso 3.5.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (x)}{- \ln (2)}$

Paso 3.5.2.2.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\ln (x)}{- \ln (2)}$

Paso 3.5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.5.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{\ln (x)}{\ln (2)}$

Paso 4

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (x)}{\ln (2)}$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (x)}{\ln (2)}$ es la inversa de $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x}$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} ({(\frac{1}{2})}^{x})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{1}{2})}^{x}) = - \frac{\ln ({(\frac{1}{2})}^{x})}{\ln (2)}$

Paso 5.2.3

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.3.1

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{1}{2})}^{x}) = - \frac{\ln (\frac{1^{x}}{2^{x}})}{\ln (2)}$

Paso 5.2.3.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f^{- 1} ({(\frac{1}{2})}^{x}) = - \frac{\ln (\frac{1}{2^{x}})}{\ln (2)}$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (- \frac{\ln (x)}{\ln (2)})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (- \frac{\ln (x)}{\ln (2)}) = {(\frac{1}{2})}^{- \frac{\ln (x)}{\ln (2)}}$

Paso 5.3.3

Simplifica la expresión.

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Paso 5.3.3.1

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{\ln (x)}{\ln (2)}) = \frac{1^{- \frac{\ln (x)}{\ln (2)}}}{2^{- \frac{\ln (x)}{\ln (2)}}}$

Paso 5.3.3.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (- \frac{\ln (x)}{\ln (2)}) = \frac{1}{2^{- \frac{\ln (x)}{\ln (2)}}}$

Paso 5.3.4

Simplifica el denominador.

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Paso 5.3.4.1

Usa la regla de cambio de base $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ .

$f (- \frac{\ln (x)}{\ln (2)}) = \frac{1}{2^{- \log_{2} (x)}}$

Paso 5.3.4.2

Simplifica $- \log_{2} (x)$ al mover $- 1$ dentro del algoritmo.

$f (- \frac{\ln (x)}{\ln (2)}) = \frac{1}{2^{\log_{2} (x^{- 1})}}$

Paso 5.3.4.3

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$f (- \frac{\ln (x)}{\ln (2)}) = \frac{1}{x^{- 1}}$

Paso 5.3.4.4

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- \frac{\ln (x)}{\ln (2)}) = \frac{1}{\frac{1}{x}}$

Paso 5.3.5

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f (- \frac{\ln (x)}{\ln (2)}) = 1 x$

Paso 5.3.6

Multiplica $x$ por $1$ .

$f (- \frac{\ln (x)}{\ln (2)}) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (x)}{\ln (2)}$ es la inversa de $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x}$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (x)}{\ln (2)}$