Álgebra Ejemplos

$y + \frac{2 y^{3}}{x^{3} - y^{3}}$

Paso 1

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , donde $a = x$ y $b = y$ .

$y + \frac{2 y^{3}}{(x - y) (x^{2} + x y + y^{2})}$

Paso 2

Para escribir $y$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{(x - y) (x^{2} + x y + y^{2})}{(x - y) (x^{2} + x y + y^{2})}$ .

$y \cdot \frac{(x - y) (x^{2} + x y + y^{2})}{(x - y) (x^{2} + x y + y^{2})} + \frac{2 y^{3}}{(x - y) (x^{2} + x y + y^{2})}$

Paso 3

Simplifica los términos.

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Paso 3.1

Combina $y$ y $\frac{(x - y) (x^{2} + x y + y^{2})}{(x - y) (x^{2} + x y + y^{2})}$ .

$\frac{y ((x - y) (x^{2} + x y + y^{2}))}{(x - y) (x^{2} + x y + y^{2})} + \frac{2 y^{3}}{(x - y) (x^{2} + x y + y^{2})}$

Paso 3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{y ((x - y) (x^{2} + x y + y^{2})) + 2 y^{3}}{(x - y) (x^{2} + x y + y^{2})}$

Paso 4

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1

Factoriza $y$ de $y ((x - y) (x^{2} + x y + y^{2})) + 2 y^{3}$ .

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Paso 4.1.1

Factoriza $y$ de $2 y^{3}$ .

$\frac{y ((x - y) (x^{2} + x y + y^{2})) + y (2 y^{2})}{(x - y) (x^{2} + x y + y^{2})}$

Paso 4.1.2

Factoriza $y$ de $y ((x - y) (x^{2} + x y + y^{2})) + y (2 y^{2})$ .

$\frac{y ((x - y) (x^{2} + x y + y^{2}) + 2 y^{2})}{(x - y) (x^{2} + x y + y^{2})}$

Paso 4.2

Expande $(x - y) (x^{2} + x y + y^{2})$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$\frac{y (x \cdot x^{2} + x (x y) + x y^{2} - y x^{2} - y (x y) - y \cdot y^{2} + 2 y^{2})}{(x - y) (x^{2} + x y + y^{2})}$

Paso 4.3

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.1

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.3.1.1

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 4.3.1.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{y (x^{1} x^{2} + x (x y) + x y^{2} - y x^{2} - y (x y) - y \cdot y^{2} + 2 y^{2})}{(x - y) (x^{2} + x y + y^{2})}$

Paso 4.3.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{y (x^{1 + 2} + x (x y) + x y^{2} - y x^{2} - y (x y) - y \cdot y^{2} + 2 y^{2})}{(x - y) (x^{2} + x y + y^{2})}$

Paso 4.3.1.2

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{y (x^{3} + x (x y) + x y^{2} - y x^{2} - y (x y) - y \cdot y^{2} + 2 y^{2})}{(x - y) (x^{2} + x y + y^{2})}$

Paso 4.3.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 4.3.2.1

Mueve $x$ .

$\frac{y (x^{3} + x \cdot x y + x y^{2} - y x^{2} - y (x y) - y \cdot y^{2} + 2 y^{2})}{(x - y) (x^{2} + x y + y^{2})}$

Paso 4.3.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{y (x^{3} + x^{2} y + x y^{2} - y x^{2} - y (x y) - y \cdot y^{2} + 2 y^{2})}{(x - y) (x^{2} + x y + y^{2})}$

Paso 4.3.3

Multiplica $y$ por $y$ sumando los exponentes.

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Paso 4.3.3.1

Mueve $y$ .

$\frac{y (x^{3} + x^{2} y + x y^{2} - y x^{2} - (y \cdot y) x - y \cdot y^{2} + 2 y^{2})}{(x - y) (x^{2} + x y + y^{2})}$

Paso 4.3.3.2

Multiplica $y$ por $y$ .

$\frac{y (x^{3} + x^{2} y + x y^{2} - y x^{2} - y^{2} x - y \cdot y^{2} + 2 y^{2})}{(x - y) (x^{2} + x y + y^{2})}$

Paso 4.3.4

Multiplica $y$ por $y^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.3.4.1

Mueve $y^{2}$ .

$\frac{y (x^{3} + x^{2} y + x y^{2} - y x^{2} - y^{2} x - (y^{2} y) + 2 y^{2})}{(x - y) (x^{2} + x y + y^{2})}$

Paso 4.3.4.2

Multiplica $y^{2}$ por $y$ .

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Paso 4.3.4.2.1

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$\frac{y (x^{3} + x^{2} y + x y^{2} - y x^{2} - y^{2} x - (y^{2} y^{1}) + 2 y^{2})}{(x - y) (x^{2} + x y + y^{2})}$

Paso 4.3.4.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{y (x^{3} + x^{2} y + x y^{2} - y x^{2} - y^{2} x - y^{2 + 1} + 2 y^{2})}{(x - y) (x^{2} + x y + y^{2})}$

Paso 4.3.4.3

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{y (x^{3} + x^{2} y + x y^{2} - y x^{2} - y^{2} x - y^{3} + 2 y^{2})}{(x - y) (x^{2} + x y + y^{2})}$

Paso 4.4

Combina los términos opuestos en $x^{3} + x^{2} y + x y^{2} - y x^{2} - y^{2} x - y^{3}$ .

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Paso 4.4.1

Reordena los factores en los términos $x^{2} y$ y $- y x^{2}$ .

$\frac{y (x^{3} + x^{2} y + x y^{2} - x^{2} y - y^{2} x - y^{3} + 2 y^{2})}{(x - y) (x^{2} + x y + y^{2})}$

Paso 4.4.2

Resta $x^{2} y$ de $x^{2} y$ .

$\frac{y (x^{3} + x y^{2} + 0 - y^{2} x - y^{3} + 2 y^{2})}{(x - y) (x^{2} + x y + y^{2})}$

Paso 4.4.3

Suma $x^{3} + x y^{2}$ y $0$ .

$\frac{y (x^{3} + x y^{2} - y^{2} x - y^{3} + 2 y^{2})}{(x - y) (x^{2} + x y + y^{2})}$

Paso 4.4.4

Reordena los factores en los términos $x y^{2}$ y $- y^{2} x$ .

$\frac{y (x^{3} + y^{2} x - y^{2} x - y^{3} + 2 y^{2})}{(x - y) (x^{2} + x y + y^{2})}$

Paso 4.4.5

Resta $y^{2} x$ de $y^{2} x$ .

$\frac{y (x^{3} + 0 - y^{3} + 2 y^{2})}{(x - y) (x^{2} + x y + y^{2})}$

Paso 4.4.6

Suma $x^{3}$ y $0$ .

$\frac{y (x^{3} - y^{3} + 2 y^{2})}{(x - y) (x^{2} + x y + y^{2})}$