Álgebra Ejemplos

$x^{4} - 5 x^{3} - 9 x^{2} + 81 x - 108$

Paso 1

Reagrupa los términos.

$x^{4} - 9 x^{2} - 5 x^{3} + 81 x - 108$

Paso 2

Factoriza $x^{2}$ de $x^{4} - 9 x^{2}$ .

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Paso 2.1

Factoriza $x^{2}$ de $x^{4}$ .

$x^{2} x^{2} - 9 x^{2} - 5 x^{3} + 81 x - 108$

Paso 2.2

Factoriza $x^{2}$ de $- 9 x^{2}$ .

$x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 9 - 5 x^{3} + 81 x - 108$

Paso 2.3

Factoriza $x^{2}$ de $x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 9$ .

$x^{2} (x^{2} - 9) - 5 x^{3} + 81 x - 108$

Paso 3

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$x^{2} (x^{2} - 3^{2}) - 5 x^{3} + 81 x - 108$

Paso 4

Factoriza.

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Paso 4.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 3$ .

$x^{2} ((x + 3) (x - 3)) - 5 x^{3} + 81 x - 108$

Paso 4.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$x^{2} (x + 3) (x - 3) - 5 x^{3} + 81 x - 108$

Paso 5

Factoriza $- 5 x^{3} + 81 x - 108$ mediante la prueba de raíces racionales.

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Paso 5.1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 108, \pm 2, \pm 54, \pm 3, \pm 36, \pm 4, \pm 27, \pm 6, \pm 18, \pm 9, \pm 12$

$q = \pm 1, \pm 5$

Paso 5.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 0.2, \pm 108, \pm 21.6, \pm 2, \pm 0.4, \pm 54, \pm 10.8, \pm 3, \pm 0.6, \pm 36, \pm 7.2, \pm 4, \pm 0.8, \pm 27, \pm 5.4, \pm 6, \pm 1.2, \pm 18, \pm 3.6, \pm 9, \pm 1.8, \pm 12, \pm 2.4$

Paso 5.3

Sustituye $3$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $3$ es una raíz del polinomio.

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Paso 5.3.1

Sustituye $3$ en el polinomio.

$- 5 \cdot 3^{3} + 81 \cdot 3 - 108$

Paso 5.3.2

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$- 5 \cdot 27 + 81 \cdot 3 - 108$

Paso 5.3.3

Multiplica $- 5$ por $27$ .

$- 135 + 81 \cdot 3 - 108$

Paso 5.3.4

Multiplica $81$ por $3$ .

$- 135 + 243 - 108$

Paso 5.3.5

Suma $- 135$ y $243$ .

$108 - 108$

Paso 5.3.6

Resta $108$ de $108$ .

$0$

Paso 5.4

Como $3$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x - 3$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{- 5 x^{3} + 81 x - 108}{x - 3}$

Paso 5.5

Divide $- 5 x^{3} + 81 x - 108$ por $x - 3$ .

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Paso 5.5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x$

$3$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$81 x$

$108$

Paso 5.5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 5 x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				-	$5 x^{2}$
	$x$	-	$3$	-	$5 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$81 x$	-	$108$

Paso 5.5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

			-	$5 x^{2}$
$x$	-	$3$	-	$5 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$81 x$	-	$108$
			-	$5 x^{3}$	+	$15 x^{2}$

Paso 5.5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 5 x^{3} + 15 x^{2}$ .

			-	$5 x^{2}$
$x$	-	$3$	-	$5 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$81 x$	-	$108$
			+	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$

Paso 5.5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

			-	$5 x^{2}$
$x$	-	$3$	-	$5 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$81 x$	-	$108$
			+	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					-	$15 x^{2}$

Paso 5.5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

			-	$5 x^{2}$
$x$	-	$3$	-	$5 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$81 x$	-	$108$
			+	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					-	$15 x^{2}$	+	$81 x$

Paso 5.5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 15 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

			-	$5 x^{2}$	-	$15 x$
$x$	-	$3$	-	$5 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$81 x$	-	$108$
			+	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					-	$15 x^{2}$	+	$81 x$

Paso 5.5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

			-	$5 x^{2}$	-	$15 x$
$x$	-	$3$	-	$5 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$81 x$	-	$108$
			+	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					-	$15 x^{2}$	+	$81 x$
					-	$15 x^{2}$	+	$45 x$

Paso 5.5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 15 x^{2} + 45 x$ .

			-	$5 x^{2}$	-	$15 x$
$x$	-	$3$	-	$5 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$81 x$	-	$108$
			+	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					-	$15 x^{2}$	+	$81 x$
					+	$15 x^{2}$	-	$45 x$

Paso 5.5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

			-	$5 x^{2}$	-	$15 x$
$x$	-	$3$	-	$5 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$81 x$	-	$108$
			+	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					-	$15 x^{2}$	+	$81 x$
					+	$15 x^{2}$	-	$45 x$
							+	$36 x$

Paso 5.5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

			-	$5 x^{2}$	-	$15 x$
$x$	-	$3$	-	$5 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$81 x$	-	$108$
			+	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					-	$15 x^{2}$	+	$81 x$
					+	$15 x^{2}$	-	$45 x$
							+	$36 x$	-	$108$

Paso 5.5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $36 x$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

			-	$5 x^{2}$	-	$15 x$	+	$36$
$x$	-	$3$	-	$5 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$81 x$	-	$108$
			+	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					-	$15 x^{2}$	+	$81 x$
					+	$15 x^{2}$	-	$45 x$
							+	$36 x$	-	$108$

Paso 5.5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

			-	$5 x^{2}$	-	$15 x$	+	$36$
$x$	-	$3$	-	$5 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$81 x$	-	$108$
			+	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					-	$15 x^{2}$	+	$81 x$
					+	$15 x^{2}$	-	$45 x$
							+	$36 x$	-	$108$
							+	$36 x$	-	$108$

Paso 5.5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $36 x - 108$ .

			-	$5 x^{2}$	-	$15 x$	+	$36$
$x$	-	$3$	-	$5 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$81 x$	-	$108$
			+	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					-	$15 x^{2}$	+	$81 x$
					+	$15 x^{2}$	-	$45 x$
							+	$36 x$	-	$108$
							-	$36 x$	+	$108$

Paso 5.5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

			-	$5 x^{2}$	-	$15 x$	+	$36$
$x$	-	$3$	-	$5 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$81 x$	-	$108$
			+	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					-	$15 x^{2}$	+	$81 x$
					+	$15 x^{2}$	-	$45 x$
							+	$36 x$	-	$108$
							-	$36 x$	+	$108$
										$0$

Paso 5.5.16

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$- 5 x^{2} - 15 x + 36$

Paso 5.6

Escribe $- 5 x^{3} + 81 x - 108$ como un conjunto de factores.

$x^{2} (x + 3) (x - 3) + (x - 3) (- 5 x^{2} - 15 x + 36)$

Paso 6

Factoriza $x - 3$ de $x^{2} (x + 3) (x - 3) + (x - 3) (- 5 x^{2} - 15 x + 36)$ .

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Paso 6.1

Factoriza $x - 3$ de $x^{2} (x + 3) (x - 3)$ .

$(x - 3) (x^{2} (x + 3)) + (x - 3) (- 5 x^{2} - 15 x + 36)$

Paso 6.2

Factoriza $x - 3$ de $(x - 3) (x^{2} (x + 3)) + (x - 3) (- 5 x^{2} - 15 x + 36)$ .

$(x - 3) (x^{2} (x + 3) - 5 x^{2} - 15 x + 36)$

Paso 7

Aplica la propiedad distributiva.

$(x - 3) (x^{2} x + x^{2} \cdot 3 - 5 x^{2} - 15 x + 36)$

Paso 8

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 8.1

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

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Paso 8.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$(x - 3) (x^{2} x^{1} + x^{2} \cdot 3 - 5 x^{2} - 15 x + 36)$

Paso 8.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$(x - 3) (x^{2 + 1} + x^{2} \cdot 3 - 5 x^{2} - 15 x + 36)$

Paso 8.2

Suma $2$ y $1$ .

$(x - 3) (x^{3} + x^{2} \cdot 3 - 5 x^{2} - 15 x + 36)$

Paso 9

Mueve $3$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$(x - 3) (x^{3} + 3 x^{2} - 5 x^{2} - 15 x + 36)$

Paso 10

Resta $5 x^{2}$ de $3 x^{2}$ .

$(x - 3) (x^{3} - 2 x^{2} - 15 x + 36)$

Paso 11

Factoriza.

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Paso 11.1

Reescribe $x^{3} - 2 x^{2} - 15 x + 36$ en forma factorizada.

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Paso 11.1.1

Factoriza $x^{3} - 2 x^{2} - 15 x + 36$ mediante la prueba de raíces racionales.

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Paso 11.1.1.1

$p = \pm 1, \pm 36, \pm 2, \pm 18, \pm 3, \pm 12, \pm 4, \pm 9, \pm 6$

$q = \pm 1$

Paso 11.1.1.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 36, \pm 2, \pm 18, \pm 3, \pm 12, \pm 4, \pm 9, \pm 6$

Paso 11.1.1.3

Sustituye $3$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $3$ es una raíz del polinomio.

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Paso 11.1.1.3.1

Sustituye $3$ en el polinomio.

$3^{3} - 2 \cdot 3^{2} - 15 \cdot 3 + 36$

Paso 11.1.1.3.2

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$27 - 2 \cdot 3^{2} - 15 \cdot 3 + 36$

Paso 11.1.1.3.3

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$27 - 2 \cdot 9 - 15 \cdot 3 + 36$

Paso 11.1.1.3.4

Multiplica $- 2$ por $9$ .

$27 - 18 - 15 \cdot 3 + 36$

Paso 11.1.1.3.5

Resta $18$ de $27$ .

$9 - 15 \cdot 3 + 36$

Paso 11.1.1.3.6

Multiplica $- 15$ por $3$ .

$9 - 45 + 36$

Paso 11.1.1.3.7

Resta $45$ de $9$ .

$- 36 + 36$

Paso 11.1.1.3.8

Suma $- 36$ y $36$ .

$0$

Paso 11.1.1.4

Como $3$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x - 3$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 15 x + 36}{x - 3}$

Paso 11.1.1.5

Divide $x^{3} - 2 x^{2} - 15 x + 36$ por $x - 3$ .

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Paso 11.1.1.5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x$

$3$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$15 x$

$36$

Paso 11.1.1.5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$15 x$	+	$36$

Paso 11.1.1.5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$15 x$	+	$36$
			+	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$

Paso 11.1.1.5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x^{3} - 3 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$15 x$	+	$36$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$

Paso 11.1.1.5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$15 x$	+	$36$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$x^{2}$

Paso 11.1.1.5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$15 x$	+	$36$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$15 x$

Paso 11.1.1.5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$15 x$	+	$36$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$15 x$

Paso 11.1.1.5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$15 x$	+	$36$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$15 x$
					+	$x^{2}$	-	$3 x$

Paso 11.1.1.5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x^{2} - 3 x$ .

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$15 x$	+	$36$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$15 x$
					-	$x^{2}$	+	$3 x$

Paso 11.1.1.5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$15 x$	+	$36$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$15 x$
					-	$x^{2}$	+	$3 x$
							-	$12 x$

Paso 11.1.1.5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$15 x$	+	$36$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$15 x$
					-	$x^{2}$	+	$3 x$
							-	$12 x$	+	$36$

Paso 11.1.1.5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 12 x$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$x^{2}$	+	$x$	-	$12$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$15 x$	+	$36$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$15 x$
					-	$x^{2}$	+	$3 x$
							-	$12 x$	+	$36$

Paso 11.1.1.5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$	+	$x$	-	$12$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$15 x$	+	$36$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$15 x$
					-	$x^{2}$	+	$3 x$
							-	$12 x$	+	$36$
							-	$12 x$	+	$36$

Paso 11.1.1.5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 12 x + 36$ .

				$x^{2}$	+	$x$	-	$12$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$15 x$	+	$36$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$15 x$
					-	$x^{2}$	+	$3 x$
							-	$12 x$	+	$36$
							+	$12 x$	-	$36$

Paso 11.1.1.5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$	+	$x$	-	$12$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$15 x$	+	$36$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$15 x$
					-	$x^{2}$	+	$3 x$
							-	$12 x$	+	$36$
							+	$12 x$	-	$36$
										$0$

Paso 11.1.1.5.16

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$x^{2} + x - 12$

Paso 11.1.1.6

Escribe $x^{3} - 2 x^{2} - 15 x + 36$ como un conjunto de factores.

$(x - 3) ((x - 3) (x^{2} + x - 12))$

Paso 11.1.2

Factoriza $x^{2} + x - 12$ con el método AC.

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Paso 11.1.2.1

Factoriza $x^{2} + x - 12$ con el método AC.

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Paso 11.1.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 12$ y cuya suma es $1$ .

$- 3, 4$

Paso 11.1.2.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(x - 3) ((x - 3) ((x - 3) (x + 4)))$

Paso 11.1.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(x - 3) ((x - 3) (x - 3) (x + 4))$

Paso 11.1.3

Combina factores semejantes.

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Paso 11.1.3.1

Eleva $x - 3$ a la potencia de $1$ .

$(x - 3) ({(x - 3)}^{1} (x - 3) (x + 4))$

Paso 11.1.3.2

Eleva $x - 3$ a la potencia de $1$ .

$(x - 3) ({(x - 3)}^{1} {(x - 3)}^{1} (x + 4))$

Paso 11.1.3.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$(x - 3) ({(x - 3)}^{1 + 1} (x + 4))$

Paso 11.1.3.4

Suma $1$ y $1$ .

$(x - 3) ({(x - 3)}^{2} (x + 4))$

Paso 11.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(x - 3) {(x - 3)}^{2} (x + 4)$

Paso 12

Multiplica $x - 3$ por ${(x - 3)}^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 12.1

Multiplica $x - 3$ por ${(x - 3)}^{2}$ .

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Paso 12.1.1

Eleva $x - 3$ a la potencia de $1$ .

${(x - 3)}^{1} {(x - 3)}^{2} (x + 4)$

Paso 12.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

${(x - 3)}^{1 + 2} (x + 4)$

Paso 12.2

Suma $1$ y $2$ .

${(x - 3)}^{3} (x + 4)$