Álgebra Ejemplos

$\sqrt{64 x} = x + 12$

Paso 1

Mueve todas las expresiones al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.1

Resta $x$ de ambos lados de la ecuación.

$\sqrt{64 x} - x = 12$

Paso 1.2

Resta $12$ de ambos lados de la ecuación.

$\sqrt{64 x} - x - 12 = 0$

Paso 2

Simplifica cada término.

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Paso 2.1

Reescribe $64$ como $8^{2}$ .

$\sqrt{8^{2} x} - x - 12 = 0$

Paso 2.2

Retira los términos de abajo del radical.

$8 \sqrt{x} - x - 12 = 0$

Paso 3

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$8 x^{\frac{1}{2}} - x - 12 = 0$

Paso 4

Reescribe $x$ como ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

$8 x^{\frac{1}{2}} - {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} - 12 = 0$

Paso 5

Sea $u = x^{\frac{1}{2}}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{\frac{1}{2}}$ .

$8 u - u^{2} - 12 = 0$

Paso 6

Factoriza por agrupación.

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Paso 6.1

Reordena los términos.

$- u^{2} + 8 u - 12 = 0$

Paso 6.2

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = - 1 \cdot - 12 = 12$ y cuya suma es $b = 8$ .

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Paso 6.2.1

Factoriza $8$ de $8 u$ .

$- u^{2} + 8 (u) - 12 = 0$

Paso 6.2.2

Reescribe $8$ como $2$ más $6$

$- u^{2} + (2 + 6) u - 12 = 0$

Paso 6.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- u^{2} + 2 u + 6 u - 12 = 0$

Paso 6.3

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 6.3.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(- u^{2} + 2 u) + 6 u - 12 = 0$

Paso 6.3.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$u (- u + 2) - 6 (- u + 2) = 0$

Paso 6.4

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- u + 2$ .

$(- u + 2) (u - 6) = 0$

Paso 7

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{\frac{1}{2}}$ .

$(- x^{\frac{1}{2}} + 2) (x^{\frac{1}{2}} - 6) = 0$

Paso 8

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$- x^{\frac{1}{2}} + 2 = 0$

$x^{\frac{1}{2}} - 6 = 0$

Paso 9

Establece $- x^{\frac{1}{2}} + 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 9.1

Establece $- x^{\frac{1}{2}} + 2$ igual a $0$ .

$- x^{\frac{1}{2}} + 2 = 0$

Paso 9.2

Resuelve $- x^{\frac{1}{2}} + 2 = 0$ en $x$ .

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Paso 9.2.1

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$- x^{\frac{1}{2}} = - 2$

Paso 9.2.2

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $2$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(- x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2)}^{2}$

Paso 9.2.3

Simplifica el exponente.

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Paso 9.2.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 9.2.3.1.1

Simplifica ${(- x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 9.2.3.1.1.1

Aplica la regla del producto a $- x^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 1)}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2)}^{2}$

Paso 9.2.3.1.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$1 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2)}^{2}$

Paso 9.2.3.1.1.3

Multiplica ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ por $1$ .

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2)}^{2}$

Paso 9.2.3.1.1.4

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 9.2.3.1.1.4.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 2)}^{2}$

Paso 9.2.3.1.1.4.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.2.3.1.1.4.2.1

Cancela el factor común.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 2)}^{2}$

Paso 9.2.3.1.1.4.2.2

Reescribe la expresión.

$x^{1} = {(- 2)}^{2}$

Paso 9.2.3.1.1.5

Simplifica.

$x = {(- 2)}^{2}$

Paso 9.2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 9.2.3.2.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$x = 4$

Paso 10

Establece $x^{\frac{1}{2}} - 6$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 10.1

Establece $x^{\frac{1}{2}} - 6$ igual a $0$ .

$x^{\frac{1}{2}} - 6 = 0$

Paso 10.2

Resuelve $x^{\frac{1}{2}} - 6 = 0$ en $x$ .

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Paso 10.2.1

Suma $6$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{\frac{1}{2}} = 6$

Paso 10.2.2

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $2$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 6^{2}$

Paso 10.2.3

Simplifica el exponente.

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Paso 10.2.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 10.2.3.1.1

Simplifica ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 10.2.3.1.1.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 10.2.3.1.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 6^{2}$

Paso 10.2.3.1.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 10.2.3.1.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 6^{2}$

Paso 10.2.3.1.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$x^{1} = 6^{2}$

Paso 10.2.3.1.1.2

Simplifica.

$x = 6^{2}$

Paso 10.2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 10.2.3.2.1

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$x = 36$

Paso 11

La solución final comprende todos los valores que hacen $(- x^{\frac{1}{2}} + 2) (x^{\frac{1}{2}} - 6) = 0$ verdadera.

$x = 4, 36$