Álgebra Ejemplos

$x^{- \frac{2}{3}} + x^{- \frac{1}{3}} - 20 = 0$

Paso 1

Reescribe $x^{- \frac{2}{3}}$ como ${(x^{- \frac{1}{3}})}^{2}$ .

${(x^{- \frac{1}{3}})}^{2} + x^{- \frac{1}{3}} - 20 = 0$

Paso 2

Sea $u = x^{- \frac{1}{3}}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$u^{2} + u - 20 = 0$

Paso 3

Factoriza $u^{2} + u - 20$ con el método AC.

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Paso 3.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 20$ y cuya suma es $1$ .

$- 4, 5$

Paso 3.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(u - 4) (u + 5) = 0$

Paso 4

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$(x^{- \frac{1}{3}} - 4) (x^{- \frac{1}{3}} + 5) = 0$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} - 4) (x^{- \frac{1}{3}} + 5) = 0$

Paso 5.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} - 4) (\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} + 5) = 0$

Paso 6

Para escribir $- 4$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

$(\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} - 4 \cdot \frac{x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}}) (\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} + 5) = 0$

Paso 7

Combina $- 4$ y $\frac{x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

$(\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} + \frac{- 4 x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}}) (\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} + 5) = 0$

Paso 8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1 - 4 x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}} \cdot (\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} + 5) = 0$

Paso 9

Para escribir $5$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{1 - 4 x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}} \cdot (\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} + \frac{5 x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}}) = 0$

Paso 10

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1 - 4 x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{1 + 5 x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}} = 0$

Paso 11

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$\frac{1 - 4 x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}} = 0$

$\frac{1 + 5 x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}} = 0$

Paso 12

Establece $\frac{1 - 4 x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 12.1

Establece $\frac{1 - 4 x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}}$ igual a $0$ .

$\frac{1 - 4 x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}} = 0$

Paso 12.2

Resuelve $\frac{1 - 4 x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}} = 0$ en $x$ .

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Paso 12.2.1

Establece el numerador igual a cero.

$1 - 4 x^{\frac{1}{3}} = 0$

Paso 12.2.2

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 12.2.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- 4 x^{\frac{1}{3}} = - 1$

Paso 12.2.2.2

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $3$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(- 4 x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 1)}^{3}$

Paso 12.2.2.3

Simplifica el exponente.

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Paso 12.2.2.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 12.2.2.3.1.1

Simplifica ${(- 4 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 12.2.2.3.1.1.1

Aplica la regla del producto a $- 4 x^{\frac{1}{3}}$ .

${(- 4)}^{3} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 1)}^{3}$

Paso 12.2.2.3.1.1.2

Eleva $- 4$ a la potencia de $3$ .

$- 64 {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 1)}^{3}$

Paso 12.2.2.3.1.1.3

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 12.2.2.3.1.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 64 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 1)}^{3}$

Paso 12.2.2.3.1.1.3.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 12.2.2.3.1.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$- 64 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 1)}^{3}$

Paso 12.2.2.3.1.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$- 64 x^{1} = {(- 1)}^{3}$

Paso 12.2.2.3.1.1.4

Simplifica.

$- 64 x = {(- 1)}^{3}$

Paso 12.2.2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 12.2.2.3.2.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$- 64 x = - 1$

Paso 12.2.2.4

Divide cada término en $- 64 x = - 1$ por $- 64$ y simplifica.

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Paso 12.2.2.4.1

Divide cada término en $- 64 x = - 1$ por $- 64$ .

$\frac{- 64 x}{- 64} = \frac{- 1}{- 64}$

Paso 12.2.2.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 12.2.2.4.2.1

Cancela el factor común de $- 64$ .

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Paso 12.2.2.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 64 x}{- 64} = \frac{- 1}{- 64}$

Paso 12.2.2.4.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 64}$

Paso 12.2.2.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 12.2.2.4.3.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$x = \frac{1}{64}$

Paso 13

Establece $\frac{1 + 5 x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 13.1

Establece $\frac{1 + 5 x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}}$ igual a $0$ .

$\frac{1 + 5 x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}} = 0$

Paso 13.2

Resuelve $\frac{1 + 5 x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}} = 0$ en $x$ .

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Paso 13.2.1

Establece el numerador igual a cero.

$1 + 5 x^{\frac{1}{3}} = 0$

Paso 13.2.2

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 13.2.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$5 x^{\frac{1}{3}} = - 1$

Paso 13.2.2.2

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $3$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(5 x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 1)}^{3}$

Paso 13.2.2.3

Simplifica el exponente.

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Paso 13.2.2.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 13.2.2.3.1.1

Simplifica ${(5 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 13.2.2.3.1.1.1

Aplica la regla del producto a $5 x^{\frac{1}{3}}$ .

$5^{3} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 1)}^{3}$

Paso 13.2.2.3.1.1.2

Eleva $5$ a la potencia de $3$ .

$125 {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 1)}^{3}$

Paso 13.2.2.3.1.1.3

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 13.2.2.3.1.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$125 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 1)}^{3}$

Paso 13.2.2.3.1.1.3.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 13.2.2.3.1.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$125 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 1)}^{3}$

Paso 13.2.2.3.1.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$125 x^{1} = {(- 1)}^{3}$

Paso 13.2.2.3.1.1.4

Simplifica.

$125 x = {(- 1)}^{3}$

Paso 13.2.2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 13.2.2.3.2.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$125 x = - 1$

Paso 13.2.2.4

Divide cada término en $125 x = - 1$ por $125$ y simplifica.

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Paso 13.2.2.4.1

Divide cada término en $125 x = - 1$ por $125$ .

$\frac{125 x}{125} = \frac{- 1}{125}$

Paso 13.2.2.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 13.2.2.4.2.1

Cancela el factor común de $125$ .

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Paso 13.2.2.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{125 x}{125} = \frac{- 1}{125}$

Paso 13.2.2.4.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{125}$

Paso 13.2.2.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 13.2.2.4.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{1}{125}$

Paso 14

La solución final comprende todos los valores que hacen $\frac{1 - 4 x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{1 + 5 x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}} = 0$ verdadera.

$x = \frac{1}{64}, - \frac{1}{125}$