Álgebra Ejemplos

$x^{\frac{3}{4}} = 729$

Paso 1

Resta $729$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{\frac{3}{4}} - 729 = 0$

Paso 2

Reescribe $x^{\frac{3}{4}}$ como ${(x^{\frac{1}{4}})}^{3}$ .

${(x^{\frac{1}{4}})}^{3} - 729 = 0$

Paso 3

Reescribe $729$ como $9^{3}$ .

${(x^{\frac{1}{4}})}^{3} - 9^{3} = 0$

Paso 4

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , donde $a = x^{\frac{1}{4}}$ y $b = 9$ .

$(x^{\frac{1}{4}} - 9) ({(x^{\frac{1}{4}})}^{2} + x^{\frac{1}{4}} \cdot 9 + 9^{2}) = 0$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{4}})}^{2}$ .

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Paso 5.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(x^{\frac{1}{4}} - 9) (x^{\frac{1}{4} \cdot 2} + x^{\frac{1}{4}} \cdot 9 + 9^{2}) = 0$

Paso 5.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.1.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$(x^{\frac{1}{4}} - 9) (x^{\frac{1}{2 (2)} \cdot 2} + x^{\frac{1}{4}} \cdot 9 + 9^{2}) = 0$

Paso 5.1.2.2

Cancela el factor común.

$(x^{\frac{1}{4}} - 9) (x^{\frac{1}{2 \cdot 2} \cdot 2} + x^{\frac{1}{4}} \cdot 9 + 9^{2}) = 0$

Paso 5.1.2.3

Reescribe la expresión.

$(x^{\frac{1}{4}} - 9) (x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{4}} \cdot 9 + 9^{2}) = 0$

Paso 5.2

Mueve $9$ a la izquierda de $x^{\frac{1}{4}}$ .

$(x^{\frac{1}{4}} - 9) (x^{\frac{1}{2}} + 9 x^{\frac{1}{4}} + 9^{2}) = 0$

Paso 5.3

Eleva $9$ a la potencia de $2$ .

$(x^{\frac{1}{4}} - 9) (x^{\frac{1}{2}} + 9 x^{\frac{1}{4}} + 81) = 0$

Paso 5.4

Reordena los términos.

$(x^{\frac{1}{4}} - 9) (9 x^{\frac{1}{4}} + x^{\frac{1}{2}} + 81) = 0$

Paso 6

Simplifica $(x^{\frac{1}{4}} - 9) (9 x^{\frac{1}{4}} + x^{\frac{1}{2}} + 81)$ .

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Paso 6.1

Expande $(x^{\frac{1}{4}} - 9) (9 x^{\frac{1}{4}} + x^{\frac{1}{2}} + 81)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$x^{\frac{1}{4}} (9 x^{\frac{1}{4}}) + x^{\frac{1}{4}} x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{4}} \cdot 81 - 9 (9 x^{\frac{1}{4}}) - 9 x^{\frac{1}{2}} - 9 \cdot 81 = 0$

Paso 6.2

Simplifica los términos.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$9 x^{\frac{1}{4}} x^{\frac{1}{4}} + x^{\frac{1}{4}} x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{4}} \cdot 81 - 9 (9 x^{\frac{1}{4}}) - 9 x^{\frac{1}{2}} - 9 \cdot 81 = 0$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $x^{\frac{1}{4}}$ por $x^{\frac{1}{4}}$ sumando los exponentes.

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Paso 6.2.1.2.1

Mueve $x^{\frac{1}{4}}$ .

$9 (x^{\frac{1}{4}} x^{\frac{1}{4}}) + x^{\frac{1}{4}} x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{4}} \cdot 81 - 9 (9 x^{\frac{1}{4}}) - 9 x^{\frac{1}{2}} - 9 \cdot 81 = 0$

Paso 6.2.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$9 x^{\frac{1}{4} + \frac{1}{4}} + x^{\frac{1}{4}} x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{4}} \cdot 81 - 9 (9 x^{\frac{1}{4}}) - 9 x^{\frac{1}{2}} - 9 \cdot 81 = 0$

Paso 6.2.1.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$9 x^{\frac{1 + 1}{4}} + x^{\frac{1}{4}} x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{4}} \cdot 81 - 9 (9 x^{\frac{1}{4}}) - 9 x^{\frac{1}{2}} - 9 \cdot 81 = 0$

Paso 6.2.1.2.4

Suma $1$ y $1$ .

$9 x^{\frac{2}{4}} + x^{\frac{1}{4}} x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{4}} \cdot 81 - 9 (9 x^{\frac{1}{4}}) - 9 x^{\frac{1}{2}} - 9 \cdot 81 = 0$

Paso 6.2.1.2.5

Cancela el factor común de $2$ y $4$ .

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Paso 6.2.1.2.5.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$9 x^{\frac{2 (1)}{4}} + x^{\frac{1}{4}} x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{4}} \cdot 81 - 9 (9 x^{\frac{1}{4}}) - 9 x^{\frac{1}{2}} - 9 \cdot 81 = 0$

Paso 6.2.1.2.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.2.1.2.5.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$9 x^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}} + x^{\frac{1}{4}} x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{4}} \cdot 81 - 9 (9 x^{\frac{1}{4}}) - 9 x^{\frac{1}{2}} - 9 \cdot 81 = 0$

Paso 6.2.1.2.5.2.2

Cancela el factor común.

$9 x^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}} + x^{\frac{1}{4}} x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{4}} \cdot 81 - 9 (9 x^{\frac{1}{4}}) - 9 x^{\frac{1}{2}} - 9 \cdot 81 = 0$

Paso 6.2.1.2.5.2.3

Reescribe la expresión.

$9 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{4}} x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{4}} \cdot 81 - 9 (9 x^{\frac{1}{4}}) - 9 x^{\frac{1}{2}} - 9 \cdot 81 = 0$

Paso 6.2.1.3

Multiplica $x^{\frac{1}{4}}$ por $x^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 6.2.1.3.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$9 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{4} + \frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{4}} \cdot 81 - 9 (9 x^{\frac{1}{4}}) - 9 x^{\frac{1}{2}} - 9 \cdot 81 = 0$

Paso 6.2.1.3.2

Para escribir $\frac{1}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$9 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2}} + x^{\frac{1}{4}} \cdot 81 - 9 (9 x^{\frac{1}{4}}) - 9 x^{\frac{1}{2}} - 9 \cdot 81 = 0$

Paso 6.2.1.3.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $4$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 6.2.1.3.3.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$9 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{4} + \frac{2}{2 \cdot 2}} + x^{\frac{1}{4}} \cdot 81 - 9 (9 x^{\frac{1}{4}}) - 9 x^{\frac{1}{2}} - 9 \cdot 81 = 0$

Paso 6.2.1.3.3.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$9 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{4} + \frac{2}{4}} + x^{\frac{1}{4}} \cdot 81 - 9 (9 x^{\frac{1}{4}}) - 9 x^{\frac{1}{2}} - 9 \cdot 81 = 0$

Paso 6.2.1.3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$9 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1 + 2}{4}} + x^{\frac{1}{4}} \cdot 81 - 9 (9 x^{\frac{1}{4}}) - 9 x^{\frac{1}{2}} - 9 \cdot 81 = 0$

Paso 6.2.1.3.5

Suma $1$ y $2$ .

$9 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{3}{4}} + x^{\frac{1}{4}} \cdot 81 - 9 (9 x^{\frac{1}{4}}) - 9 x^{\frac{1}{2}} - 9 \cdot 81 = 0$

Paso 6.2.1.4

Mueve $81$ a la izquierda de $x^{\frac{1}{4}}$ .

$9 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{3}{4}} + 81 \cdot x^{\frac{1}{4}} - 9 (9 x^{\frac{1}{4}}) - 9 x^{\frac{1}{2}} - 9 \cdot 81 = 0$

Paso 6.2.1.5

Multiplica $9$ por $- 9$ .

$9 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{3}{4}} + 81 x^{\frac{1}{4}} - 81 x^{\frac{1}{4}} - 9 x^{\frac{1}{2}} - 9 \cdot 81 = 0$

Paso 6.2.1.6

Multiplica $- 9$ por $81$ .

$9 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{3}{4}} + 81 x^{\frac{1}{4}} - 81 x^{\frac{1}{4}} - 9 x^{\frac{1}{2}} - 729 = 0$

Paso 6.2.2

Combina los términos opuestos en $9 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{3}{4}} + 81 x^{\frac{1}{4}} - 81 x^{\frac{1}{4}} - 9 x^{\frac{1}{2}} - 729$ .

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Paso 6.2.2.1

Resta $81 x^{\frac{1}{4}}$ de $81 x^{\frac{1}{4}}$ .

$9 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{3}{4}} + 0 - 9 x^{\frac{1}{2}} - 729 = 0$

Paso 6.2.2.2

Suma $9 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{3}{4}}$ y $0$ .

$9 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{3}{4}} - 9 x^{\frac{1}{2}} - 729 = 0$

Paso 6.2.2.3

Resta $9 x^{\frac{1}{2}}$ de $9 x^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{\frac{3}{4}} + 0 - 729 = 0$

Paso 6.2.2.4

Suma $x^{\frac{3}{4}}$ y $0$ .

$x^{\frac{3}{4}} - 729 = 0$

Paso 7

Suma $729$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{\frac{3}{4}} = 729$

Paso 8

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $\frac{4}{3}$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(x^{\frac{3}{4}})}^{\frac{4}{3}} = 729^{\frac{4}{3}}$

Paso 9

Simplifica el exponente.

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Paso 9.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 9.1.1

Simplifica ${(x^{\frac{3}{4}})}^{\frac{4}{3}}$ .

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Paso 9.1.1.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{3}{4}})}^{\frac{4}{3}}$ .

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Paso 9.1.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3}} = 729^{\frac{4}{3}}$

Paso 9.1.1.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 9.1.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$x^{\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3}} = 729^{\frac{4}{3}}$

Paso 9.1.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$x^{\frac{1}{4} \cdot 4} = 729^{\frac{4}{3}}$

Paso 9.1.1.1.3

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 9.1.1.1.3.1

Cancela el factor común.

$x^{\frac{1}{4} \cdot 4} = 729^{\frac{4}{3}}$

Paso 9.1.1.1.3.2

Reescribe la expresión.

$x^{1} = 729^{\frac{4}{3}}$

Paso 9.1.1.2

Simplifica.

$x = 729^{\frac{4}{3}}$

Paso 9.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 9.2.1

Simplifica $729^{\frac{4}{3}}$ .

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Paso 9.2.1.1

Simplifica la expresión.

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Paso 9.2.1.1.1

Reescribe $729$ como $9^{3}$ .

$x = {(9^{3})}^{\frac{4}{3}}$

Paso 9.2.1.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = 9^{3 (\frac{4}{3})}$

Paso 9.2.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 9.2.1.2.1

Cancela el factor común.

$x = 9^{3 (\frac{4}{3})}$

Paso 9.2.1.2.2

Reescribe la expresión.

$x = 9^{4}$

Paso 9.2.1.3

Eleva $9$ a la potencia de $4$ .

$x = 6561$