Álgebra Ejemplos

$x^{- 2} + 10 x^{- 1} + 16 = 0$

Paso 1

Factoriza $x^{- 2} + 10 x^{- 1} + 16$ con el método AC.

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Paso 1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $16$ y cuya suma es $10$ .

$2, 8$

Paso 1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(x^{- 1} + 2) (x^{- 1} + 8) = 0$

Paso 2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(\frac{1}{x} + 2) (x^{- 1} + 8) = 0$

Paso 3

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(\frac{1}{x} + 2) (\frac{1}{x} + 8) = 0$

Paso 4

Para escribir $2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x}{x}$ .

$(\frac{1}{x} + \frac{2 x}{x}) (\frac{1}{x} + 8) = 0$

Paso 5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1 + 2 x}{x} \cdot (\frac{1}{x} + 8) = 0$

Paso 6

Para escribir $8$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{1 + 2 x}{x} \cdot (\frac{1}{x} + \frac{8 x}{x}) = 0$

Paso 7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1 + 2 x}{x} \cdot \frac{1 + 8 x}{x} = 0$

Paso 8

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$\frac{1 + 2 x}{x} = 0$

$\frac{1 + 8 x}{x} = 0$

Paso 9

Establece $\frac{1 + 2 x}{x}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 9.1

Establece $\frac{1 + 2 x}{x}$ igual a $0$ .

$\frac{1 + 2 x}{x} = 0$

Paso 9.2

Resuelve $\frac{1 + 2 x}{x} = 0$ en $x$ .

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Paso 9.2.1

Establece el numerador igual a cero.

$1 + 2 x = 0$

Paso 9.2.2

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 9.2.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x = - 1$

Paso 9.2.2.2

Divide cada término en $2 x = - 1$ por $2$ y simplifica.

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Paso 9.2.2.2.1

Divide cada término en $2 x = - 1$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Paso 9.2.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 9.2.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.2.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Paso 9.2.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Paso 9.2.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 9.2.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{1}{2}$

Paso 10

Establece $\frac{1 + 8 x}{x}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 10.1

Establece $\frac{1 + 8 x}{x}$ igual a $0$ .

$\frac{1 + 8 x}{x} = 0$

Paso 10.2

Resuelve $\frac{1 + 8 x}{x} = 0$ en $x$ .

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Paso 10.2.1

Establece el numerador igual a cero.

$1 + 8 x = 0$

Paso 10.2.2

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 10.2.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$8 x = - 1$

Paso 10.2.2.2

Divide cada término en $8 x = - 1$ por $8$ y simplifica.

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Paso 10.2.2.2.1

Divide cada término en $8 x = - 1$ por $8$ .

$\frac{8 x}{8} = \frac{- 1}{8}$

Paso 10.2.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 10.2.2.2.2.1

Cancela el factor común de $8$ .

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Paso 10.2.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{8 x}{8} = \frac{- 1}{8}$

Paso 10.2.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{8}$

Paso 10.2.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 10.2.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{1}{8}$

Paso 11

La solución final comprende todos los valores que hacen $\frac{1 + 2 x}{x} \cdot \frac{1 + 8 x}{x} = 0$ verdadera.

$x = - \frac{1}{2}, - \frac{1}{8}$