Álgebra Ejemplos

$x^{- 2} - 7 x^{- 1} + 10 = 0$

Paso 1

Factoriza $x^{- 2} - 7 x^{- 1} + 10$ con el método AC.

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Paso 1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $10$ y cuya suma es $- 7$ .

$- 5, - 2$

Paso 1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(x^{- 1} - 5) (x^{- 1} - 2) = 0$

Paso 2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(\frac{1}{x} - 5) (x^{- 1} - 2) = 0$

Paso 3

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(\frac{1}{x} - 5) (\frac{1}{x} - 2) = 0$

Paso 4

Para escribir $- 5$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x}{x}$ .

$(\frac{1}{x} - 5 \cdot \frac{x}{x}) (\frac{1}{x} - 2) = 0$

Paso 5

Combina $- 5$ y $\frac{x}{x}$ .

$(\frac{1}{x} + \frac{- 5 x}{x}) (\frac{1}{x} - 2) = 0$

Paso 6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1 - 5 x}{x} \cdot (\frac{1}{x} - 2) = 0$

Paso 7

Para escribir $- 2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{1 - 5 x}{x} \cdot (\frac{1}{x} - 2 \cdot \frac{x}{x}) = 0$

Paso 8

Combina $- 2$ y $\frac{x}{x}$ .

$\frac{1 - 5 x}{x} \cdot (\frac{1}{x} + \frac{- 2 x}{x}) = 0$

Paso 9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1 - 5 x}{x} \cdot \frac{1 - 2 x}{x} = 0$

Paso 10

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$\frac{1 - 5 x}{x} = 0$

$\frac{1 - 2 x}{x} = 0$

Paso 11

Establece $\frac{1 - 5 x}{x}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 11.1

Establece $\frac{1 - 5 x}{x}$ igual a $0$ .

$\frac{1 - 5 x}{x} = 0$

Paso 11.2

Resuelve $\frac{1 - 5 x}{x} = 0$ en $x$ .

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Paso 11.2.1

Establece el numerador igual a cero.

$1 - 5 x = 0$

Paso 11.2.2

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 11.2.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- 5 x = - 1$

Paso 11.2.2.2

Divide cada término en $- 5 x = - 1$ por $- 5$ y simplifica.

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Paso 11.2.2.2.1

Divide cada término en $- 5 x = - 1$ por $- 5$ .

$\frac{- 5 x}{- 5} = \frac{- 1}{- 5}$

Paso 11.2.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 11.2.2.2.2.1

Cancela el factor común de $- 5$ .

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Paso 11.2.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 5 x}{- 5} = \frac{- 1}{- 5}$

Paso 11.2.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 5}$

Paso 11.2.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 11.2.2.2.3.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$x = \frac{1}{5}$

Paso 12

Establece $\frac{1 - 2 x}{x}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 12.1

Establece $\frac{1 - 2 x}{x}$ igual a $0$ .

$\frac{1 - 2 x}{x} = 0$

Paso 12.2

Resuelve $\frac{1 - 2 x}{x} = 0$ en $x$ .

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Paso 12.2.1

Establece el numerador igual a cero.

$1 - 2 x = 0$

Paso 12.2.2

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 12.2.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- 2 x = - 1$

Paso 12.2.2.2

Divide cada término en $- 2 x = - 1$ por $- 2$ y simplifica.

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Paso 12.2.2.2.1

Divide cada término en $- 2 x = - 1$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Paso 12.2.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 12.2.2.2.2.1

Cancela el factor común de $- 2$ .

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Paso 12.2.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Paso 12.2.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 2}$

Paso 12.2.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 12.2.2.2.3.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$x = \frac{1}{2}$

Paso 13

La solución final comprende todos los valores que hacen $\frac{1 - 5 x}{x} \cdot \frac{1 - 2 x}{x} = 0$ verdadera.

$x = \frac{1}{5}, \frac{1}{2}$