Álgebra Ejemplos

$2 = \frac{11}{2 x - 1} + \frac{- 5}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Paso 1

Mueve todas las expresiones al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.1

Resta $\frac{11}{2 x - 1}$ de ambos lados de la ecuación.

$2 - \frac{11}{2 x - 1} = \frac{- 5}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Paso 1.2

Resta $\frac{- 5}{{(2 x - 1)}^{2}}$ de ambos lados de la ecuación.

$2 - \frac{11}{2 x - 1} - \frac{- 5}{{(2 x - 1)}^{2}} = 0$

Paso 2

Simplifica $2 - \frac{11}{2 x - 1} - \frac{- 5}{{(2 x - 1)}^{2}}$ .

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Paso 2.1

Obtén el denominador común

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Paso 2.1.1

Escribe $2$ como una fracción con el denominador $1$ .

$\frac{2}{1} - \frac{11}{2 x - 1} - \frac{- 5}{{(2 x - 1)}^{2}} = 0$

Paso 2.1.2

Multiplica $\frac{2}{1}$ por $\frac{{(2 x - 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{2}}$ .

$\frac{2}{1} \cdot \frac{{(2 x - 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{2}} - \frac{11}{2 x - 1} - \frac{- 5}{{(2 x - 1)}^{2}} = 0$

Paso 2.1.3

Multiplica $\frac{2}{1}$ por $\frac{{(2 x - 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{2}}$ .

$\frac{2 {(2 x - 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{2}} - \frac{11}{2 x - 1} - \frac{- 5}{{(2 x - 1)}^{2}} = 0$

Paso 2.1.4

Multiplica $\frac{11}{2 x - 1}$ por $\frac{2 x - 1}{2 x - 1}$ .

$\frac{2 {(2 x - 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{2}} - (\frac{11}{2 x - 1} \cdot \frac{2 x - 1}{2 x - 1}) - \frac{- 5}{{(2 x - 1)}^{2}} = 0$

Paso 2.1.5

Multiplica $\frac{11}{2 x - 1}$ por $\frac{2 x - 1}{2 x - 1}$ .

$\frac{2 {(2 x - 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{2}} - \frac{11 (2 x - 1)}{(2 x - 1) (2 x - 1)} - \frac{- 5}{{(2 x - 1)}^{2}} = 0$

Paso 2.1.6

Eleva $2 x - 1$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 {(2 x - 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{2}} - \frac{11 (2 x - 1)}{{(2 x - 1)}^{1} (2 x - 1)} - \frac{- 5}{{(2 x - 1)}^{2}} = 0$

Paso 2.1.7

Eleva $2 x - 1$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 {(2 x - 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{2}} - \frac{11 (2 x - 1)}{{(2 x - 1)}^{1} {(2 x - 1)}^{1}} - \frac{- 5}{{(2 x - 1)}^{2}} = 0$

Paso 2.1.8

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 {(2 x - 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{2}} - \frac{11 (2 x - 1)}{{(2 x - 1)}^{1 + 1}} - \frac{- 5}{{(2 x - 1)}^{2}} = 0$

Paso 2.1.9

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{2 {(2 x - 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{2}} - \frac{11 (2 x - 1)}{{(2 x - 1)}^{2}} - \frac{- 5}{{(2 x - 1)}^{2}} = 0$

Paso 2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 {(2 x - 1)}^{2} - 11 (2 x - 1) + 5}{{(2 x - 1)}^{2}} = 0$

Paso 2.3

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.1

Reescribe ${(2 x - 1)}^{2}$ como $(2 x - 1) (2 x - 1)$ .

$\frac{2 ((2 x - 1) (2 x - 1)) - 11 (2 x - 1) + 5}{{(2 x - 1)}^{2}} = 0$

Paso 2.3.2

Expande $(2 x - 1) (2 x - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.3.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 (2 x (2 x - 1) - 1 (2 x - 1)) - 11 (2 x - 1) + 5}{{(2 x - 1)}^{2}} = 0$

Paso 2.3.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 (2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x - 1)) - 11 (2 x - 1) + 5}{{(2 x - 1)}^{2}} = 0$

Paso 2.3.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 (2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) - 11 (2 x - 1) + 5}{{(2 x - 1)}^{2}} = 0$

Paso 2.3.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.3.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{2 (2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) - 11 (2 x - 1) + 5}{{(2 x - 1)}^{2}} = 0$

Paso 2.3.3.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 2.3.3.1.2.1

Mueve $x$ .

$\frac{2 (2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) - 11 (2 x - 1) + 5}{{(2 x - 1)}^{2}} = 0$

Paso 2.3.3.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{2 (2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) - 11 (2 x - 1) + 5}{{(2 x - 1)}^{2}} = 0$

Paso 2.3.3.1.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{2 (4 x^{2} + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) - 11 (2 x - 1) + 5}{{(2 x - 1)}^{2}} = 0$

Paso 2.3.3.1.4

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{2 (4 x^{2} - 2 x - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) - 11 (2 x - 1) + 5}{{(2 x - 1)}^{2}} = 0$

Paso 2.3.3.1.5

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{2 (4 x^{2} - 2 x - 2 x - 1 \cdot - 1) - 11 (2 x - 1) + 5}{{(2 x - 1)}^{2}} = 0$

Paso 2.3.3.1.6

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{2 (4 x^{2} - 2 x - 2 x + 1) - 11 (2 x - 1) + 5}{{(2 x - 1)}^{2}} = 0$

Paso 2.3.3.2

Resta $2 x$ de $- 2 x$ .

$\frac{2 (4 x^{2} - 4 x + 1) - 11 (2 x - 1) + 5}{{(2 x - 1)}^{2}} = 0$

Paso 2.3.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 (4 x^{2}) + 2 (- 4 x) + 2 \cdot 1 - 11 (2 x - 1) + 5}{{(2 x - 1)}^{2}} = 0$

Paso 2.3.5

Simplifica.

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Paso 2.3.5.1

Multiplica $4$ por $2$ .

$\frac{8 x^{2} + 2 (- 4 x) + 2 \cdot 1 - 11 (2 x - 1) + 5}{{(2 x - 1)}^{2}} = 0$

Paso 2.3.5.2

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$\frac{8 x^{2} - 8 x + 2 \cdot 1 - 11 (2 x - 1) + 5}{{(2 x - 1)}^{2}} = 0$

Paso 2.3.5.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{8 x^{2} - 8 x + 2 - 11 (2 x - 1) + 5}{{(2 x - 1)}^{2}} = 0$

Paso 2.3.6

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{8 x^{2} - 8 x + 2 - 11 (2 x) - 11 \cdot - 1 + 5}{{(2 x - 1)}^{2}} = 0$

Paso 2.3.7

Multiplica $2$ por $- 11$ .

$\frac{8 x^{2} - 8 x + 2 - 22 x - 11 \cdot - 1 + 5}{{(2 x - 1)}^{2}} = 0$

Paso 2.3.8

Multiplica $- 11$ por $- 1$ .

$\frac{8 x^{2} - 8 x + 2 - 22 x + 11 + 5}{{(2 x - 1)}^{2}} = 0$

Paso 2.4

Resta $22 x$ de $- 8 x$ .

$\frac{8 x^{2} - 30 x + 2 + 11 + 5}{{(2 x - 1)}^{2}} = 0$

Paso 2.5

Suma $2$ y $11$ .

$\frac{8 x^{2} - 30 x + 13 + 5}{{(2 x - 1)}^{2}} = 0$

Paso 2.6

Suma $13$ y $5$ .

$\frac{8 x^{2} - 30 x + 18}{{(2 x - 1)}^{2}} = 0$

Paso 2.7

Simplifica el numerador.

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Paso 2.7.1

Factoriza $2$ de $8 x^{2} - 30 x + 18$ .

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Paso 2.7.1.1

Factoriza $2$ de $8 x^{2}$ .

$\frac{2 (4 x^{2}) - 30 x + 18}{{(2 x - 1)}^{2}} = 0$

Paso 2.7.1.2

Factoriza $2$ de $- 30 x$ .

$\frac{2 (4 x^{2}) + 2 (- 15 x) + 18}{{(2 x - 1)}^{2}} = 0$

Paso 2.7.1.3

Factoriza $2$ de $18$ .

$\frac{2 (4 x^{2}) + 2 (- 15 x) + 2 (9)}{{(2 x - 1)}^{2}} = 0$

Paso 2.7.1.4

Factoriza $2$ de $2 (4 x^{2}) + 2 (- 15 x)$ .

$\frac{2 (4 x^{2} - 15 x) + 2 (9)}{{(2 x - 1)}^{2}} = 0$

Paso 2.7.1.5

Factoriza $2$ de $2 (4 x^{2} - 15 x) + 2 (9)$ .

$\frac{2 (4 x^{2} - 15 x + 9)}{{(2 x - 1)}^{2}} = 0$

Paso 2.7.2

Factoriza por agrupación.

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Paso 2.7.2.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 4 \cdot 9 = 36$ y cuya suma es $b = - 15$ .

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Paso 2.7.2.1.1

Factoriza $- 15$ de $- 15 x$ .

$\frac{2 (4 x^{2} - 15 (x) + 9)}{{(2 x - 1)}^{2}} = 0$

Paso 2.7.2.1.2

Reescribe $- 15$ como $- 3$ más $- 12$

$\frac{2 (4 x^{2} + (- 3 - 12) x + 9)}{{(2 x - 1)}^{2}} = 0$

Paso 2.7.2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 (4 x^{2} - 3 x - 12 x + 9)}{{(2 x - 1)}^{2}} = 0$

Paso 2.7.2.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.7.2.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{2 ((4 x^{2} - 3 x) - 12 x + 9)}{{(2 x - 1)}^{2}} = 0$

Paso 2.7.2.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{2 (x (4 x - 3) - 3 (4 x - 3))}{{(2 x - 1)}^{2}} = 0$

Paso 2.7.2.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $4 x - 3$ .

$\frac{2 ((4 x - 3) (x - 3))}{{(2 x - 1)}^{2}} = 0$

$\frac{2 (4 x - 3) (x - 3)}{{(2 x - 1)}^{2}} = 0$

Paso 3

Establece el numerador igual a cero.

$2 (4 x - 3) (x - 3) = 0$

Paso 4

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 4.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$4 x - 3 = 0$

$x - 3 = 0$

Paso 4.2

Establece $4 x - 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.2.1

Establece $4 x - 3$ igual a $0$ .

$4 x - 3 = 0$

Paso 4.2.2

Resuelve $4 x - 3 = 0$ en $x$ .

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Paso 4.2.2.1

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$4 x = 3$

Paso 4.2.2.2

Divide cada término en $4 x = 3$ por $4$ y simplifica.

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Paso 4.2.2.2.1

Divide cada término en $4 x = 3$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{3}{4}$

Paso 4.2.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.2.2.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 4.2.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 x}{4} = \frac{3}{4}$

Paso 4.2.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{3}{4}$

Paso 4.3

Establece $x - 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.3.1

Establece $x - 3$ igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Paso 4.3.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 3$

Paso 4.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $2 (4 x - 3) (x - 3) = 0$ verdadera.

$x = \frac{3}{4}, 3$