Álgebra Ejemplos

$\frac{3}{n} + \frac{2}{n - 1} = 2$

Paso 1

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{3}{n} + \frac{2}{n - 1} - 2 = 0$

Paso 2

Simplifica $\frac{3}{n} + \frac{2}{n - 1} - 2$ .

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Paso 2.1

Para escribir $\frac{3}{n}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{n - 1}{n - 1}$ .

$\frac{3}{n} \cdot \frac{n - 1}{n - 1} + \frac{2}{n - 1} - 2 = 0$

Paso 2.2

Para escribir $\frac{2}{n - 1}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{n}{n}$ .

$\frac{3}{n} \cdot \frac{n - 1}{n - 1} + \frac{2}{n - 1} \cdot \frac{n}{n} - 2 = 0$

Paso 2.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $n (n - 1)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 2.3.1

Multiplica $\frac{3}{n}$ por $\frac{n - 1}{n - 1}$ .

$\frac{3 (n - 1)}{n (n - 1)} + \frac{2}{n - 1} \cdot \frac{n}{n} - 2 = 0$

Paso 2.3.2

Multiplica $\frac{2}{n - 1}$ por $\frac{n}{n}$ .

$\frac{3 (n - 1)}{n (n - 1)} + \frac{2 n}{(n - 1) n} - 2 = 0$

Paso 2.3.3

Reordena los factores de $(n - 1) n$ .

$\frac{3 (n - 1)}{n (n - 1)} + \frac{2 n}{n (n - 1)} - 2 = 0$

Paso 2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{3 (n - 1) + 2 n}{n (n - 1)} - 2 = 0$

Paso 2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 2.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 n + 3 \cdot - 1 + 2 n}{n (n - 1)} - 2 = 0$

Paso 2.5.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{3 n - 3 + 2 n}{n (n - 1)} - 2 = 0$

Paso 2.5.3

Suma $3 n$ y $2 n$ .

$\frac{5 n - 3}{n (n - 1)} - 2 = 0$

Paso 2.6

Para escribir $- 2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{n (n - 1)}{n (n - 1)}$ .

$\frac{5 n - 3}{n (n - 1)} - 2 \cdot \frac{n (n - 1)}{n (n - 1)} = 0$

Paso 2.7

Combina $- 2$ y $\frac{n (n - 1)}{n (n - 1)}$ .

$\frac{5 n - 3}{n (n - 1)} + \frac{- 2 (n (n - 1))}{n (n - 1)} = 0$

Paso 2.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{5 n - 3 - 2 (n (n - 1))}{n (n - 1)} = 0$

Paso 2.9

Simplifica el numerador.

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Paso 2.9.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{5 n - 3 - 2 n \cdot n - 2 n \cdot - 1}{n (n - 1)} = 0$

Paso 2.9.2

Multiplica $n$ por $n$ sumando los exponentes.

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Paso 2.9.2.1

Mueve $n$ .

$\frac{5 n - 3 - 2 (n \cdot n) - 2 n \cdot - 1}{n (n - 1)} = 0$

Paso 2.9.2.2

Multiplica $n$ por $n$ .

$\frac{5 n - 3 - 2 n^{2} - 2 n \cdot - 1}{n (n - 1)} = 0$

Paso 2.9.3

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$\frac{5 n - 3 - 2 n^{2} + 2 n}{n (n - 1)} = 0$

Paso 2.9.4

Suma $5 n$ y $2 n$ .

$\frac{7 n - 3 - 2 n^{2}}{n (n - 1)} = 0$

Paso 2.9.5

Reordena los términos.

$\frac{- 2 n^{2} + 7 n - 3}{n (n - 1)} = 0$

Paso 2.9.6

Factoriza por agrupación.

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Paso 2.9.6.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = - 2 \cdot - 3 = 6$ y cuya suma es $b = 7$ .

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Paso 2.9.6.1.1

Factoriza $7$ de $7 n$ .

$\frac{- 2 n^{2} + 7 (n) - 3}{n (n - 1)} = 0$

Paso 2.9.6.1.2

Reescribe $7$ como $1$ más $6$

$\frac{- 2 n^{2} + (1 + 6) n - 3}{n (n - 1)} = 0$

Paso 2.9.6.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- 2 n^{2} + 1 n + 6 n - 3}{n (n - 1)} = 0$

Paso 2.9.6.1.4

Multiplica $n$ por $1$ .

$\frac{- 2 n^{2} + n + 6 n - 3}{n (n - 1)} = 0$

Paso 2.9.6.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.9.6.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{(- 2 n^{2} + n) + 6 n - 3}{n (n - 1)} = 0$

Paso 2.9.6.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{n (- 2 n + 1) - 3 (- 2 n + 1)}{n (n - 1)} = 0$

Paso 2.9.6.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- 2 n + 1$ .

$\frac{(- 2 n + 1) (n - 3)}{n (n - 1)} = 0$

Paso 2.10

Factoriza $- 1$ de $- 2 n$ .

$\frac{(- (2 n) + 1) (n - 3)}{n (n - 1)} = 0$

Paso 2.11

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{(- (2 n) - 1 (- 1)) (n - 3)}{n (n - 1)} = 0$

Paso 2.12

Factoriza $- 1$ de $- (2 n) - 1 (- 1)$ .

$\frac{- (2 n - 1) (n - 3)}{n (n - 1)} = 0$

Paso 2.13

Reescribe $- (2 n - 1)$ como $- 1 (2 n - 1)$ .

$\frac{- 1 (2 n - 1) (n - 3)}{n (n - 1)} = 0$

Paso 2.14

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{(2 n - 1) (n - 3)}{n (n - 1)} = 0$

Paso 3

Establece el numerador igual a cero.

$(2 n - 1) (n - 3) = 0$

Paso 4

Resuelve la ecuación en $n$ .

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Paso 4.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$2 n - 1 = 0$

$n - 3 = 0$

Paso 4.2

Establece $2 n - 1$ igual a $0$ y resuelve $n$ .

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Paso 4.2.1

Establece $2 n - 1$ igual a $0$ .

$2 n - 1 = 0$

Paso 4.2.2

Resuelve $2 n - 1 = 0$ en $n$ .

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Paso 4.2.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$2 n = 1$

Paso 4.2.2.2

Divide cada término en $2 n = 1$ por $2$ y simplifica.

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Paso 4.2.2.2.1

Divide cada término en $2 n = 1$ por $2$ .

$\frac{2 n}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 4.2.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 n}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 4.2.2.2.2.1.2

Divide $n$ por $1$ .

$n = \frac{1}{2}$

Paso 4.3

Establece $n - 3$ igual a $0$ y resuelve $n$ .

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Paso 4.3.1

Establece $n - 3$ igual a $0$ .

$n - 3 = 0$

Paso 4.3.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$n = 3$

Paso 4.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $(2 n - 1) (n - 3) = 0$ verdadera.

$n = \frac{1}{2}, 3$