Álgebra Ejemplos

$\frac{4}{x^{2} - 3 x} - \frac{1}{x^{2} - 9} = 0$

Paso 1

Simplifica el denominador.

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Paso 1.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{4}{x^{2} - 3 x} - \frac{1}{x^{2} - 3^{2}} = 0$

Paso 1.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 3$ .

$\frac{4}{x^{2} - 3 x} - \frac{1}{(x + 3) (x - 3)} = 0$

Paso 2

Para escribir $\frac{4}{x^{2} - 3 x}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{(x + 3) (x - 3)}{(x + 3) (x - 3)}$ .

$\frac{4}{x^{2} - 3 x} \cdot \frac{(x + 3) (x - 3)}{(x + 3) (x - 3)} - \frac{1}{(x + 3) (x - 3)} = 0$

Paso 3

Para escribir $- \frac{1}{(x + 3) (x - 3)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x^{2} - 3 x}{x^{2} - 3 x}$ .

$\frac{4}{x^{2} - 3 x} \cdot \frac{(x + 3) (x - 3)}{(x + 3) (x - 3)} - \frac{1}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{x^{2} - 3 x}{x^{2} - 3 x} = 0$

Paso 4

Escribe cada expresión con un denominador común de $(x^{2} - 3 x) (x + 3) (x - 3)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 4.1

Multiplica $\frac{4}{x^{2} - 3 x}$ por $\frac{(x + 3) (x - 3)}{(x + 3) (x - 3)}$ .

$\frac{4 ((x + 3) (x - 3))}{(x^{2} - 3 x) ((x + 3) (x - 3))} - \frac{1}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{x^{2} - 3 x}{x^{2} - 3 x} = 0$

Paso 4.2

Multiplica $\frac{1}{(x + 3) (x - 3)}$ por $\frac{x^{2} - 3 x}{x^{2} - 3 x}$ .

$\frac{4 ((x + 3) (x - 3))}{(x^{2} - 3 x) ((x + 3) (x - 3))} - \frac{x^{2} - 3 x}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 3 x)} = 0$

Paso 4.3

Reordena los factores de $(x^{2} - 3 x) ((x + 3) (x - 3))$ .

$\frac{4 ((x + 3) (x - 3))}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 3 x)} - \frac{x^{2} - 3 x}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 3 x)} = 0$

Paso 5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{4 ((x + 3) (x - 3)) - (x^{2} - 3 x)}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 3 x)} = 0$

Paso 6

Reescribe $\frac{4 ((x + 3) (x - 3)) - (x^{2} - 3 x)}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 3 x)}$ en forma factorizada.

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Paso 6.1

Expande $(x + 3) (x - 3)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 6.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 (x (x - 3) + 3 (x - 3)) - (x^{2} - 3 x)}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 3 x)} = 0$

Paso 6.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 (x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 (x - 3)) - (x^{2} - 3 x)}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 3 x)} = 0$

Paso 6.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 (x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3) - (x^{2} - 3 x)}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 3 x)} = 0$

Paso 6.2

Combina los términos opuestos en $x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3$ .

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Paso 6.2.1

Reordena los factores en los términos $x \cdot - 3$ y $3 x$ .

$\frac{4 (x \cdot x - 3 x + 3 x + 3 \cdot - 3) - (x^{2} - 3 x)}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 3 x)} = 0$

Paso 6.2.2

Suma $- 3 x$ y $3 x$ .

$\frac{4 (x \cdot x + 0 + 3 \cdot - 3) - (x^{2} - 3 x)}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 3 x)} = 0$

Paso 6.2.3

Suma $x \cdot x$ y $0$ .

$\frac{4 (x \cdot x + 3 \cdot - 3) - (x^{2} - 3 x)}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 3 x)} = 0$

Paso 6.3

Simplifica cada término.

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Paso 6.3.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{4 (x^{2} + 3 \cdot - 3) - (x^{2} - 3 x)}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 3 x)} = 0$

Paso 6.3.2

Multiplica $3$ por $- 3$ .

$\frac{4 (x^{2} - 9) - (x^{2} - 3 x)}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 3 x)} = 0$

Paso 6.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 x^{2} + 4 \cdot - 9 - (x^{2} - 3 x)}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 3 x)} = 0$

Paso 6.5

Multiplica $4$ por $- 9$ .

$\frac{4 x^{2} - 36 - (x^{2} - 3 x)}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 3 x)} = 0$

Paso 6.6

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 x^{2} - 36 - x^{2} - (- 3 x)}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 3 x)} = 0$

Paso 6.7

Multiplica $- 3$ por $- 1$ .

$\frac{4 x^{2} - 36 - x^{2} + 3 x}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 3 x)} = 0$

Paso 6.8

Resta $x^{2}$ de $4 x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2} - 36 + 3 x}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 3 x)} = 0$

Paso 6.9

Reordena los términos.

$\frac{3 x^{2} + 3 x - 36}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 3 x)} = 0$

Paso 6.10

Reescribe $3 x^{2} + 3 x - 36$ en forma factorizada.

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Paso 6.10.1

Factoriza $3$ de $3 x^{2} + 3 x - 36$ .

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Paso 6.10.1.1

Factoriza $3$ de $3 x^{2}$ .

$\frac{3 (x^{2}) + 3 x - 36}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 3 x)} = 0$

Paso 6.10.1.2

Factoriza $3$ de $3 x$ .

$\frac{3 (x^{2}) + 3 (x) - 36}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 3 x)} = 0$

Paso 6.10.1.3

Factoriza $3$ de $- 36$ .

$\frac{3 (x^{2}) + 3 x + 3 \cdot - 12}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 3 x)} = 0$

Paso 6.10.1.4

Factoriza $3$ de $3 (x^{2}) + 3 x$ .

$\frac{3 (x^{2} + x) + 3 \cdot - 12}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 3 x)} = 0$

Paso 6.10.1.5

Factoriza $3$ de $3 (x^{2} + x) + 3 \cdot - 12$ .

$\frac{3 (x^{2} + x - 12)}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 3 x)} = 0$

Paso 6.10.2

Factoriza.

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Paso 6.10.2.1

Factoriza $x^{2} + x - 12$ con el método AC.

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Paso 6.10.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 12$ y cuya suma es $1$ .

$- 3, 4$

Paso 6.10.2.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{3 ((x - 3) (x + 4))}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 3 x)} = 0$

Paso 6.10.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$\frac{3 (x - 3) (x + 4)}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 3 x)} = 0$

Paso 6.11

Factoriza.

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Paso 6.11.1

Factoriza $x$ de $x^{2} - 3 x$ .

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Paso 6.11.1.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{3 (x - 3) (x + 4)}{(x + 3) (x - 3) (x \cdot x - 3 x)} = 0$

Paso 6.11.1.2

Factoriza $x$ de $- 3 x$ .

$\frac{3 (x - 3) (x + 4)}{(x + 3) (x - 3) (x \cdot x + x \cdot - 3)} = 0$

Paso 6.11.1.3

Factoriza $x$ de $x \cdot x + x \cdot - 3$ .

$\frac{3 (x - 3) (x + 4)}{(x + 3) (x - 3) (x (x - 3))} = 0$

Paso 6.11.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$\frac{3 (x - 3) (x + 4)}{(x + 3) (x - 3) x (x - 3)} = 0$

Paso 6.12

Combina exponentes.

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Paso 6.12.1

Eleva $x - 3$ a la potencia de $1$ .

$\frac{3 (x - 3) (x + 4)}{(x + 3) x ((x - 3) (x - 3))} = 0$

Paso 6.12.2

Eleva $x - 3$ a la potencia de $1$ .

$\frac{3 (x - 3) (x + 4)}{(x + 3) x ((x - 3) (x - 3))} = 0$

Paso 6.12.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{3 (x - 3) (x + 4)}{(x + 3) x {(x - 3)}^{1 + 1}} = 0$

Paso 6.12.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{3 (x - 3) (x + 4)}{(x + 3) x {(x - 3)}^{2}} = 0$

Paso 6.13

Reduce la expresión $\frac{3 (x - 3) (x + 4)}{(x + 3) x {(x - 3)}^{2}}$ mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 6.13.1

Factoriza $x - 3$ de $3 (x - 3) (x + 4)$ .

$\frac{(x - 3) (3 (x + 4))}{(x + 3) x {(x - 3)}^{2}} = 0$

Paso 6.13.2

Factoriza $x - 3$ de $(x + 3) x {(x - 3)}^{2}$ .

$\frac{(x - 3) (3 (x + 4))}{(x - 3) ((x + 3) x (x - 3))} = 0$

Paso 6.13.3

Cancela el factor común.

$\frac{(x - 3) (3 (x + 4))}{(x - 3) ((x + 3) x (x - 3))} = 0$

Paso 6.13.4

Reescribe la expresión.

$\frac{3 (x + 4)}{(x + 3) x (x - 3)} = 0$

Paso 7

Establece el numerador igual a cero.

$3 (x + 4) = 0$

Paso 8

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 8.1

Divide cada término en $3 (x + 4) = 0$ por $3$ y simplifica.

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Paso 8.1.1

Divide cada término en $3 (x + 4) = 0$ por $3$ .

$\frac{3 (x + 4)}{3} = \frac{0}{3}$

Paso 8.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.1.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 8.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 (x + 4)}{3} = \frac{0}{3}$

Paso 8.1.2.1.2

Divide $x + 4$ por $1$ .

$x + 4 = \frac{0}{3}$

Paso 8.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.1.3.1

Divide $0$ por $3$ .

$x + 4 = 0$

Paso 8.2

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 4$