Álgebra Ejemplos

$\frac{4}{x^{2} - 4} - \frac{1}{x + 2} = \frac{x - 1}{x - 2}$

Paso 1

Resta $\frac{x - 1}{x - 2}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{4}{x^{2} - 4} - \frac{1}{x + 2} - \frac{x - 1}{x - 2} = 0$

Paso 2

Simplifica $\frac{4}{x^{2} - 4} - \frac{1}{x + 2} - \frac{x - 1}{x - 2}$ .

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Paso 2.1

Simplifica el denominador.

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Paso 2.1.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{4}{x^{2} - 2^{2}} - \frac{1}{x + 2} - \frac{x - 1}{x - 2} = 0$

Paso 2.1.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

$\frac{4}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{1}{x + 2} - \frac{x - 1}{x - 2} = 0$

Paso 2.2

Obtén el denominador común

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Paso 2.2.1

Multiplica $\frac{1}{x + 2}$ por $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{4}{(x + 2) (x - 2)} - (\frac{1}{x + 2} \cdot \frac{x - 2}{x - 2}) - \frac{x - 1}{x - 2} = 0$

Paso 2.2.2

Multiplica $\frac{1}{x + 2}$ por $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{4}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{x - 2}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{x - 1}{x - 2} = 0$

Paso 2.2.3

Multiplica $\frac{x - 1}{x - 2}$ por $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{4}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{x - 2}{(x + 2) (x - 2)} - (\frac{x - 1}{x - 2} \cdot \frac{x + 2}{x + 2}) = 0$

Paso 2.2.4

Multiplica $\frac{x - 1}{x - 2}$ por $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{4}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{x - 2}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{(x - 1) (x + 2)}{(x - 2) (x + 2)} = 0$

Paso 2.2.5

Reordena los factores de $(x - 2) (x + 2)$ .

$\frac{4}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{x - 2}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{(x - 1) (x + 2)}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Paso 2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{4 - (x - 2) - (x - 1) (x + 2)}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Paso 2.4

Simplifica cada término.

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Paso 2.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 - x - - 2 - (x - 1) (x + 2)}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Paso 2.4.2

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$\frac{4 - x + 2 - (x - 1) (x + 2)}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Paso 2.4.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 - x + 2 + (- x - - 1) (x + 2)}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Paso 2.4.4

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{4 - x + 2 + (- x + 1) (x + 2)}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Paso 2.4.5

Expande $(- x + 1) (x + 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.4.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 - x + 2 - x (x + 2) + 1 (x + 2)}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Paso 2.4.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 - x + 2 - x \cdot x - x \cdot 2 + 1 (x + 2)}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Paso 2.4.5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 - x + 2 - x \cdot x - x \cdot 2 + 1 x + 1 \cdot 2}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Paso 2.4.6

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.4.6.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.4.6.1.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 2.4.6.1.1.1

Mueve $x$ .

$\frac{4 - x + 2 - (x \cdot x) - x \cdot 2 + 1 x + 1 \cdot 2}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Paso 2.4.6.1.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{4 - x + 2 - x^{2} - x \cdot 2 + 1 x + 1 \cdot 2}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Paso 2.4.6.1.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{4 - x + 2 - x^{2} - 2 x + 1 x + 1 \cdot 2}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Paso 2.4.6.1.3

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{4 - x + 2 - x^{2} - 2 x + x + 1 \cdot 2}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Paso 2.4.6.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{4 - x + 2 - x^{2} - 2 x + x + 2}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Paso 2.4.6.2

Suma $- 2 x$ y $x$ .

$\frac{4 - x + 2 - x^{2} - x + 2}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Paso 2.5

Suma $4$ y $2$ .

$\frac{- x + 6 - x^{2} - x + 2}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Paso 2.6

Resta $x$ de $- x$ .

$\frac{- 2 x + 6 - x^{2} + 2}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Paso 2.7

Suma $6$ y $2$ .

$\frac{- 2 x - x^{2} + 8}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Paso 2.8

Simplifica el numerador.

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Paso 2.8.1

Sea $u = x$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x$ .

$\frac{- 2 u - u^{2} + 8}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Paso 2.8.2

Factoriza por agrupación.

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Paso 2.8.2.1

Reordena los términos.

$\frac{- u^{2} - 2 u + 8}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Paso 2.8.2.2

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = - 1 \cdot 8 = - 8$ y cuya suma es $b = - 2$ .

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Paso 2.8.2.2.1

Factoriza $- 2$ de $- 2 u$ .

$\frac{- u^{2} - 2 (u) + 8}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Paso 2.8.2.2.2

Reescribe $- 2$ como $2$ más $- 4$

$\frac{- u^{2} + (2 - 4) u + 8}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Paso 2.8.2.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- u^{2} + 2 u - 4 u + 8}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Paso 2.8.2.3

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.8.2.3.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{(- u^{2} + 2 u) - 4 u + 8}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Paso 2.8.2.3.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{u (- u + 2) + 4 (- u + 2)}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Paso 2.8.2.4

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- u + 2$ .

$\frac{(- u + 2) (u + 4)}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Paso 2.8.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x$ .

$\frac{(- x + 2) (x + 4)}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Paso 2.9

Cancela el factor común de $- x + 2$ y $x - 2$ .

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Paso 2.9.1

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$\frac{(- (x) + 2) (x + 4)}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Paso 2.9.2

Reescribe $2$ como $- 1 (- 2)$ .

$\frac{(- (x) - 1 (- 2)) (x + 4)}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Paso 2.9.3

Factoriza $- 1$ de $- (x) - 1 (- 2)$ .

$\frac{- (x - 2) (x + 4)}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Paso 2.9.4

Reescribe $- (x - 2)$ como $- 1 (x - 2)$ .

$\frac{- 1 (x - 2) (x + 4)}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Paso 2.9.5

Cancela el factor común.

$\frac{- 1 (x - 2) (x + 4)}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Paso 2.9.6

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1 (x + 4)}{x + 2} = 0$

Paso 2.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{x + 4}{x + 2} = 0$

Paso 3

Establece el numerador igual a cero.

$x + 4 = 0$

Paso 4

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 4$